对数函数的运算、性质以及幂函数图像性质
一、对数函数的运算
1、对数的定义：
如果a x =N （a >0，a ≠1）那么数x 叫做以a 为底N 的对数。 记作: x=lo g a N ，其中i a 叫做对数的底数，N 叫做真数， x=lo g a N 叫做对数式．
常用对数：log 10N=lgN 自然对数：log e N=lnN 2、指数式和对数式的联系： 指数 对数
x a N =⇔(a>log 0a 1)a N x =≠且
3、对数的运算性质
如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：
log log log a a a MN M N =+；log log log a a a M
M N N
=- log log ()n a a M n M n R =∈
语言表达:
两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍 给出四个等式:
1)lg(lg10)0;2)lg(ln )0;
3)e ==2
若lgx=10,则x=10;4)若lnx=2,则x=e
4、对数换底公式
log log log m a m N
N a
=
( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 两个推论:
设 a, b > 0且均不为1,则
1)log log 1a b b a ⋅=；2)log log m n a a n
b b m
=
二、对数函数图像与性质
三、幂函数图像及性质
1.幂函数的定义
形如 y = x a
的函数叫做幂函数，其中 a 是常数且 a ∈ R 2.幂函数的定义域：
是使 x a
有意义的实数的集合。随a 的不同而不同 幂函数与指数函数的对比
幂函数: y= x a指数底数幂值判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看未知数x是指数还是底数
幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象：
函数
性质y=x y=x2y=x312
y x
y=x
-1
定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0}
考点1 对数函数的运算
例题1 已知01a <<，1b >，1ab >，则下列不等式成立的是
（ ）
A ．11log log log b
a a
b b b << B ．11
log log log a b a b b b
<< C ． 11log log log a a b b b b << D ．11
log log log b a a b b b
<<
变式训练1 已知()|log |a f x x =，其中01a <<，则下列不等式成立的是
（ ）
A ．11
()(2)()43f f f >>
B ．1
1
(2)()()3
4
f f f >>
C ．11
()()(2)43
f f f >>
D ．11()(2)()34
f f f >>
例题2 已知lg2＝a ，lg7＝b ，那么log 898＝________.
变式训练2 已知a ＝log 32，用a 表示log 38－2log 36是
例题3 设3x
＝4y
＝36，求2x ＋1
y 的值．
变式训练3 若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 15
lg 12等于
拓展训练1 已知ln a ＋ln b ＝2ln(a －2b)，求log 2a
b 的值．
变式训练4设1643>===t z y x ，则1
1
z
x
-与
12y 的大小关系为 A ．1112z x y -< B ．1112z x y -=
C ．1112z x y ->
D ．11
z x
-与12y 的大小关系不确定
考点2 对数函数的性质
对数函数的概念、图象和性质，设计对数型函数的定义域、值域、单调性等问题。
例题4、已知函数)10)(1(log )(),1(log )(≠>-=+=a a x x g x x f a a 且，
（1）求函数)()(x g x f +的定义域；（2）判断)()(x g x f +的奇偶性，并说明理由；（3）探究)()(x g x f +在其定义域内的单调性。
例题5．求下列函数的定义域、值域和单调区间：
⑴1
(0,1)1
x x a y a a a -=>≠+；⑵2log (56)a y x x =-+（0a >且1a ≠）.
例题6若
22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞上是增函数，则a 的取值
范围是
变式训练5、已知函数)32(log )(24x x x f -+=，
（1）求)(x f 的定义域；（2）求)(x f 的单调区间；（3）求)(x f 的最大值，并求取得最大值时的x 的值。
变式训练6 已知0.70.7log (2)log (1)m m <-，求m 的取值范围
变式训练7求函数])8,1[(4
log 2
log 22∈⋅=x x x
y 的最大值和最小值。
