函数的基本性质
1.奇偶性
(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:
1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性○质;
2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域○内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○
2 确定f(-x)与f(x)的关系;○
3 作出相应结论:○若f(-x) = f(x) 或f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:
①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
②设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:DD,)(xx)g(f21
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶??2.单调性
内的某个I如果对于定义域,I的定义域为)x(f=y)定义:一般地,设函数1(.
区间D内的任意两个自变量x,x,当x (f(x)>f(x)),那么21121221就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;○ 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x,x;当x (3)设复合函数y= f[g(x)],其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间,B是映射g : x→u=g(x) 的象集: ①若u=g(x) 在A上是增(或减)函数,y= f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y= f[g(x)]在A上是增函数; ②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y= f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: 1 任取x,x∈D,且x 2 作差f(x)-f(x);○21 3 变形(通常是因式分解和配方)○; 4 定号(即判断差f(x)-f(x)的正负)○;21 5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)○。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数 f(xx))(fx)??gf(x)?(g(x)减函数是增函数;减函数增函数是减函 数。)()?xg(x)gf(x3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x∈I,使得f(x) = M。那么,称M是函数y=f(x)00的最大值。 最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x∈I,使得f(x) = M。那么,称M是函数y=f(x)00的最大值。 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x∈I,使得f(x) = M;○00 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,○都有f(x)≤M(f(x)≥M)。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;○ 2 利 用图象求函数的最大(小)值;○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:○如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 4.周期性 ,都有x,使得对于函数定义域内的任意T)定义:如果存在一个非零常数1(. ),则称f(x)为周期函数;x+Tf()= f(x TT的周期中,存在一个最x))f)性质:①(x+T)=f(x若f常常写作((2),(fx?)?f(x?22(ω)则T,f(ωx)②若周期函数(小的正数,则称它为fx)的最小正周期;f(x的周期为T。≠0)是周期函数,且周期为?|| 函数的基本性质 一、典型选择题 )上为增函数的是(.在区间1.. D . B . A C. (考点:基本初等函数单调性) .函数是单调函数时,的取值范围( 2 ) C . A. B. D. (考点:二次函数单调性) 具有最大值,那么该函数在有( 3 .如果偶函数在) A.最大值 B.最小值 C .没有最大值 D.没有最小值(考点:函数最值) .函数,是( 4) A.偶函数 B.奇函数C.不具有奇偶函数 D.与有关(考点:函数奇偶性) 若,且那么( 5.)函数在和都是增函数,. A D. B C..无法确定 (考点:抽象函数单调性) 是增函数,则的递增区间是( 6 .函数在区间) . C B. D A.. (考点:复合函数单调性) .函数在实数集上是增函数,则( 7) C. D. A . B.(考点:函数单调性) 且在区间上为递增,则(上的偶函数满足,)定义在8.R,.. B A. D.C (考点:函数奇偶、单调性综合) .已知) 9 ,则下列正确的是(在实数集上是减函数,若 .. B A D.. C (考点:抽象函数单调性)二、典型填空题 . ,(考点:1.R 函数在上为奇函数,且,则当利用函数奇偶性求解析式) 2.函数,单调递减区间为,最大值和最小值的情况为 .(考点:函数单调性,最值) 三、典型解答题 1.(12分)已知,求函数得单调递减区间. (考点:复合函数单调区间求法) . ,,求2.(12分)已知(考点:函数奇偶性,数学整体代换的思想) 一、BAABDBAAD 二、1.; 2.和,; 三、函数.3解:,,. 故函数的单调递减区间为 =中中 4.解:已知为奇函数,即, . ,,也即,得 高一数学必修一(集合、函数)知识点归纳 1、集合三要素(三大特性) 确定性 无异性 无序性 2、元素与集合之间的关系 属于∈与不属于? 例如:N ∈0 , *0N ?。 3、集合与集合之间的关系 包含? 真包含?≠ 例如:{}{}10 数学高一函数练习题(高一升高二衔接) 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2 的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数,且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =+,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1 ()()1 f x g x x += -,求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数,则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是 ;函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y , 52-=x y ; ⑵111-+=x x y , )1)(1(2-+=x x y ; ⑶x x f =)(, 2)(x x g = ; ⑷x x f =)(, ()g x ; ⑸21)52()(-=x x f , 52)(2-=x x f 。 高中数学函数知识点总结 (1)高中函数公式的变量:因变量,自变量。 在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴上的点自变量,用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 (2)一次函数:①若两个变量 ,间的关系式可以表示成(为常数,不等于0)的形式,则称是的一次函数。②当 =0时,称是的正比例函数。(3)高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中,当 0, O,则经2、3、4象限;当 0, 0时,则经1、 2、4象限;当 0, 0时,则经1、 3、4象限;当 0, 0时,则经1、2、3象限。 ④当 0时,的值随值的增大而增大,当 0时,的值随值的增大而减少。(4)高中函数的二次函数: ①一般式: ( ),对称轴是 顶点是; ②顶点式: ( ),对称轴是顶点是; ③交点式: ( ),其中(),()是抛物线与x轴的交点 (5)高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时,在对称轴()左侧,值随值的增大而减少;在对称轴()右侧;的值随值的增大而增大。当时,取得最小值 ③时,在对称轴()左侧,值随值的增大而增大;在对称轴()右侧;的值随值的增大而减少。当时,取得最大值 9 高中函数的图形的对称 (1)轴对称图形:①如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 (2)中心对称图形:①在平面内,一个图形绕某个点旋转180度,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 3. 函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围;常用来解,型 如: ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; 常针对根号,举例: 令 ,原式转化为: ,再利用配方法。 ⑤利用函数有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: )0(>+ =k x k x y ,利用平均值不等式公式来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 高一数学函数试卷及答 案 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高一数学必修一集合 函数知识点归纳
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