2015北京101中高三(上)期中数学

2015北京66中高三（上）期中数学（理）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）若集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，5，7}，B={1，3，5，6，7}，则集合∁U（A∩B）是（）A．{2，4，6} B．{1，3，5，7} C．{2，4} D．{2，5，6}2．（4分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．B．C．y=x3D．y=tanx3．（4分）已知命题p：∃x≥0，2x=3，则（）A．¬p：∀x＜0，2x≠3 B．¬p：∀x≥0，2x≠3 C．¬p：∃x≥0，2x≠3 D．¬p：∃x＜0，2x≠34．（4分）已知点P（，﹣）在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（）A． B． C．D．5．（4分）已知，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．（4分）已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．97．（4分）在△ABC中，=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形8．（4分）已知向量=（1，0），=（0，1），=+λ（λ∈R），向量如图所示．则（）A．存在λ＞0，使得向量与向量垂直B．存在λ＞0，使得向量与向量夹角为60°C．存在λ＜0，使得向量与向量夹角为30°D．存在λ＞0，使得向量与向量共线9．（4分）已知函数的最小值为（）A．﹣4 B．2 C．D．410．（4分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）函数f（x）=log2（1﹣x2）的定义域为．12．（5分）cosxdx= ．13．（5分）已知直线y=ex与函数f（x）=e x的图象相切，则切点坐标为．14．（5分）已知=（2，0），||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|= ．15．（5分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．16．（5分）定义在正整数集上的函数f（n）满足（1）f（f（n））=4n+3（n∈N*）；（2）f（125）=m（m∈N*），则有f（m）= f（2015）= ．三、解答题（共80分）17．（13分）已知在等比数列{a n}中，f（﹣x）=﹣f（x），且x∈R是f（x）和x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．18．（13分）已知函数f（x）=2cos2x+asinxcosx，．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间．19．（12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？20．（13分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．21．（14分）已知函数（其中a为常数，且a＜0）．（1）求函数f（x）的定义域及单调区间；（2）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式成立，求a的取值范围．22．（15分）已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0，且f（1）=﹣2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）解关于x的不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（ax）+4．数学试题答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．【解答】因为A={1，3，5，7，}，B={1，3，5，6，7}，∴A∩B={1，3，5，7}．∵U={1，2，3，4，5，6，7}；∴C U（A∩B）={2，4，6}．故选：A．2．【解答】A选项的定义域不关于原点对称，故不正确；B选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；C选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；D选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增．故选B3．【解答】∵存在性命题”的否定一定是“全称命题∴命题p：∃x≥0，2x=3的否定为：∀x≥0，2x≠3故选B4．【解答】∵已知点P（，﹣）在角θ的终边上，∴x=，y=﹣，θ的终边在第四象限，tanθ==﹣．再结合θ∈[0，2π），则θ=，故选：C．5．【解答】∵0＜c=sin160°＜sin135°＜1，a==sin135°，∴0＜c＜a＜1，又b=log23＞log22=1，∴c＜a＜b．故选C．6．【解答】等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以 a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9解法二：S6=（）×6=12a7=S7﹣S6=9故选D7．【解答】由正弦定理可得=∵=∴=，求得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴A=B或2A+2B=180°，A+B=90°∴三角形为等腰或直角三角形．故选C8．【解答】由图知，，则若则4+3λ=0得，故A错若夹角为60°则有即11λ2+96λ+39=0，有两个负根；故B错；若夹角为30°，则有即39λ2﹣96λ+9=0有两个正根，故C错；若两个向量共线则有4λ=3解得，故D对．故选D9．【解答】∵，∴x＞1 时，f（x）=2，≤x≤1时，≤πx﹣＜，f（x）=4sin（πx﹣）在（，）上是增函数，在（，1）上是减函数．又∵x=时，f（x）=2，x=1时，f（x）=4•=2，故 f（x）的最小值为 2，故选 B．10．【解答】因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选C．二、填空题（每小题5分，共30分）11．【解答】要使函数有意义，必须1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1故答案为：（﹣1，1）．12．【解答】=sin﹣sin0=．13．【解答】设切点P（x，y）∵f′（x）=e x由导数的几何意义可得切线的斜率k=e=e x∴x=1，y=e即切点坐标（1，e）故答案为（1，e）14．【解答】∵=（2，0），∴．又∵||=3，，的夹角为60°，∴===3．∴|2﹣|===．故答案为：．15．【解答】由题意，可得故答案为：16．【解答】由于f（f（n））=4n+3，f（125）=m，则f（m）=f（f（125））=4×125+3=503；由于f（f（n））=4n+3，则f（f（f（n）））=f（4n+3）=4f（n）+3故有f（2015）=f（4×503+3）=4f（503）+3=4f（4×125+3）+3=42f（125）+4×3+3=16m+15．故答案为：503，16m+15．三、解答题（共80分）17．【解答】（1）设等比数列{a n}的公比为q，a2是a1和a3﹣1的等差中项，所以：2a2=a1+a3﹣1，进一步解得：q=2，=2n﹣1（n∈N+），（2）∵b n=2n﹣1+a n，S n=（1+1）+（3+2）+…+（2n﹣1+2n﹣1）=（1+3+…+2n﹣1）+（1+2+…+2n﹣1）==n2+2n﹣1．18．【解答】（1）、由知∴∴（2）∵∴==∴，∴（k∈Z）∴（k∈Z）∴函数的最小正周期为π，单调增区间为（k∈Z）19．【解答】设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．所以S≤808﹣4=648（m2）当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值=648（m2）．答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．20．【解答】由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB，化简得sinB=cosB，即tanB=，又0＜B＜π，∴B=．（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，又∵A+B=，∴sin（﹣A）=2sinA，化简可得tanA=，而0＜A＜，∴A=，C=．解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4a2﹣2a2=3a2，∴b=，∴a：b：c=1：，知A=，C=．（2）由正弦定理得，即c=，由C=﹣A，得===+1 又由≤A≤，知1≤tanA≤，故c∈[2，]．21．【解答】（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}．（1分）f′（x）==．（3分）由f'（x）＞0，解得x＞a+1．由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．∴f（x）的单调递增区间为（a+1，+∞），单调递减区间为（﹣∞，a），（a，a+1）；（6分）（Ⅱ）由题意可知，a＜0，且f（x）=在（a，0]上的最小值小于等于时，存在实数x∈（a，0]，使得不等式f（x）≤成立．（7分）若a+1＜0即a＜﹣1时，∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e a+1．则e a+1≤，得a≤ln ﹣1=﹣2．（10分）若a+1≥0即a≥﹣1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为f（0）=﹣．由﹣≤得a≤﹣2（舍）．（12分）综上所述，a≤﹣2．则a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．22．【解答】（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）；则f（0）=0；取y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），∴f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立∴f（x）为奇函数；（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），又∵f（x）为奇函数∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）∵f（x）为奇函数，∴整理原式得 f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2）；即f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2）；而f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴ax2﹣2x＞ax﹣2；∴（ax﹣2）（x﹣1）＞0．∴当a=0时，x∈（﹣∞，1）；当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}；当a＜0时，；当0＜a＜2时，当a＞2时，．。

2 3
,
2 3
7、如图， AOB 为等腰直角三角形， OA = 1 ， OC 为斜边 AB 的高， P 为线段 OC 的中点，则 AP OP =
（
）
A. −1
B. − 1 8
C. − 1 4
D. − 1 2
8、已知点 A(0,1) ，曲线 C ： y = a ln x 恒过定点 B ， P 为曲线 C 上的动点且 AP AB 的最小值为 2，则 a =
得 (2sin C − sin B) cos A = sin A cos B ．
整理得 2sin C cos A − sin B cos A = sin Acos B ．所以 2sin C cos A = sin(A + B) = sin C ．
在△ ABC 中， sin C 0 ．所以 cos A = 1 ， A = ．
3/9
20、设集合 S = 1, 2,3,L , n(n N*, n 2) ， A, B 是 S 的两个非空子集，且满足集合 A 中的最大数小于集合 B 中
的最小数，记满足条件的集合对 ( A, B) 的个数为 Pn . （1）求 P2 , P3 的值； （2）求 Pn
一、 选择题：(每小题 5 分,共 60 分)
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
D
B
C
D
B
D
二、 填空题：(每小题 5 分,共 50 分)
9. x (−,0), x2 + x + 1 0 11. 9
10. [1, 3)
12.5，+ )
13. − 3 4
三、解答题:

2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1．（5分）若集合M={y|y=x2，x∈R}，N={y|y=x+2，x∈R}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，+∞）C．∅D．{（2，4），（﹣1，1）}2．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①∀x∈R，x4＞x2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣log2x（x＞0）B．y=x3+x（x∈R）C．y=3x（x∈R）D．y=﹣（x∈R，x≠0）6．（5分）函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）8．（5分）定义运算=ad﹣bc、若cosα=，=，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，则角A的大小为．10．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为．11．（5分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是CE与⊙O 的交点．若∠BAC=70°，则∠CBE=°；若BE=2，CE=4，则CD=．12．（5分）命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x=是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则函数解析式为．14．（5分）对a、b∈R．记min{a，b}=函数f（x）=min{x，﹣|x ﹣1|+2}（x∈R）的最大值为．三、解答题（80分）15．（12分）已知二次函数f（x）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣8），（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，3]上的最值；（3）求不等式f（x）≥0的解集．16．（12分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．17．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣）=，求f（α）的值；（3）若α=﹣1860°，求f（α）的值．18．（12分）设f（x）=6cos2x﹣2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当﹣≤x≤时，求函数f（x）的值域；（3）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式．19．（16分）△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=sin cos+cos2，求f（B）的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，又，求F（2）+F（﹣2）的值；（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．2014-2015学年北京市大兴区魏善庄中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1．（5分）若集合M={y|y=x2，x∈R}，N={y|y=x+2，x∈R}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，+∞）C．∅D．{（2，4），（﹣1，1）}【解答】解：由集合M中的函数y=x2≥0，得到集合M=[0，+∞）；由集合N中的函数y=x+2，由x∈R，得到y∈R，所以集合B=R，则M∩N=[0，+∞）．故选：A．2．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①∀x∈R，x4＞x2；②若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x∈R，x3﹣x2+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：易知①当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；②错，只需两个命题中至少有一个为假即可；③正确，全称命题的否定是特称命题，即只有一个命题是正确的，故选：B．3．（5分）在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（）A．B．C．D．【解答】解：把各个点的坐标（ρ，θ）代入圆的方程进行检验，∵1=2cos（﹣），∴选项A中的点的坐标满足圆C的方程．∵1≠2cos（），∴选项B 中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项C中的点的坐标不满足圆C的方程．∵≠2cos，∴选项D中的点的坐标不满足圆C的方程．综上，只有选项A中的点的坐标满足圆C的方程为ρ=2cosθ，故选：A．4．（5分）在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在△ABC中，∴0＜A＜π，∵sinA＞，∴＜A＜，∴sinA＞”⇒“∠A＞”，反之则不能，∴，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=﹣log2x（x＞0）B．y=x3+x（x∈R）C．y=3x（x∈R）D．y=﹣（x∈R，x≠0）【解答】解：对于A．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞）不关于原点对称，不为奇函数，排除A；对于B．y=x3+x（x∈R）定义域R，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣f（x），即为奇函数，又f′（x）=3x2+1＞0，即有f（x）在R上递增，故B正确；对于C．y=3x，定义域为R，但f（﹣x）=3﹣x≠﹣f（x），即f（x）不是奇函数，排除C；对于D．y=﹣（x∈R，x≠0）定义域关于原点对称，且f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数，但在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为增函数，排除D．故选：B．6．（5分）函数﹣sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：令f（x）=0，则x=sinx，上的零点个数就转化为两个函数y=x和y=sinx的交点问题，分别画出它们的图象：由图知交点个数是2．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选：C．8．（5分）定义运算=ad﹣bc、若cosα=，=，0＜β＜α＜，则β等于（）A．B．C．D．【解答】解：依题设得：sinα•cosβ﹣cosα•sinβ=sin（α﹣β）=．∵0＜β＜α＜，∴cos（α﹣β）=．又∵cosα=，∴sinα=．sinβ=sin[α﹣（α﹣β）]=sinα•cos（α﹣β）﹣cosα•sin（α﹣β）=×﹣×=，∴β=．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，则角A的大小为60°．【解答】解：∵b2+c2=a2+bc∴b2+c2﹣a2=bc∴cosA=即A=60°，故答案为60°10．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为2．【解答】解：把圆M的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，得到圆心M的坐标为（1，2），由直线的参数方程化为普通方程得：3x﹣4y﹣5=0，则圆心M到直线的距离d==2．故答案为：211．（5分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是CE与⊙O 的交点．若∠BAC=70°，则∠CBE=70°；若BE=2，CE=4，则CD=3．【解答】解：∵BE是圆的一条切线，∴∠CBE是圆的弦切角，∵∠BAC与∠CBE对应着同一条弧，∴∠BAC=∠CBE=70°，∵BE是圆的一条切线，EDC是圆的一条割线，∴BE2=ED•EC，∵BE=2，CE=4，∴ED=1，∴CD=4﹣1=3故答案为：70°；312．（5分）命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【解答】解：命题“ax2﹣2ax﹣3＞0不成立”是真命题，即对于任意的x∈R，不等式ax2﹣2ax﹣3＞0都不成立①当a=0时，不等式为﹣3＞0，显然不成立，符合题意；②当a≠0时，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3在R上恒小于或等于0∴，解之得﹣3≤a＜0综上所述，得实数a的取值范围是﹣3≤a≤0故答案为：[﹣3，0]13．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x=是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0，0＜φ＜，则函数解析式为y=2sin（4x+）+2．【解答】解：由题设得，a+n=4，﹣A+n=0，得A=2，n=2，ω=4，且当x=时，sin（π+φ）=±1，故φ=．所求解析式为y=2sin（4x+）+2．故答案为y=2sin（4x+）+214．（5分）对a、b∈R．记min{a，b}=函数f（x）=min{x，﹣|x﹣1|+2}（x∈R）的最大值为1．【解答】解：由题意知=∴当x＜﹣2时，f（x）=x+1＜﹣1当﹣2≤x≤2时，﹣1≤f（x）≤1当x＞2时，f（x）=3﹣x＜1综上所述，函数f（x）的最大值为1故答案为：1三、解答题（80分）15．（12分）已知二次函数f（x）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣8），（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，3]上的最值；（3）求不等式f（x）≥0的解集．【解答】解：（1）由题意设f（x）=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），因为f（x）的图象过点C（1，﹣8），所以﹣8=a（1+1）（1﹣3），解得a=2．所以f（x）=2（x+1）（x﹣3）．（2）f（x）图象的对称轴为x=1，f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以f（x）在[0，3]上的最小值为f（1）=﹣8，又f（0）=﹣6，f（3）=0，所以最大值为f（3）=0．所以f（x）在[0，3]上的最小值为﹣8，最大值为0．（3）f（x）≥0即2（x+1）（x﹣3）≥0，解得x≤﹣1或x≥3．所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}．16．（12分）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（Ⅰ）若a=3，求P；（Ⅱ）若Q⊆P，求正数a的取值范围．【解答】解：（I）由，得P={x|﹣1＜x＜3}．（II）Q={x||x﹣1|≤1}={x|0≤x≤2}．由a＞0，得P={x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．17．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若cos（α﹣）=，求f（α）的值；（3）若α=﹣1860°，求f（α）的值．【解答】解：（1）f（α）==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα=，α为第三象限角，∴f（α）=﹣cosα==；（3）若α=﹣1860°，则f（α）=﹣cos（﹣1860°）=﹣cos（﹣60°）=﹣．18．（12分）设f（x）=6cos2x﹣2sinxcosx．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当﹣≤x≤时，求函数f（x）的值域；（3）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式．【解答】解：（1）f（x）=6cos2x﹣2sinxcosx=．f（x）的最小正周期为：π；令（k∈Z），解得：，函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）；（2）由于：﹣≤x≤，所以：，，进一步解得函数f（x）的值域：[0，]．（3）由于f（x）=把图象向右平移个单位得到：g（x）=即：g（x）=sin2x+319．（16分）△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=sin cos+cos2，求f（B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可得cosA=．（余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分）（3分）∵0＜A＜π（或写成A是三角形内角）（4分）∴A=．（5分）（Ⅱ）函数f（x）==（7分）=sin（x+）+，（9分）∵A=∴B∈（0，）∴（没讨论，扣1分）（10分）∴当，即B=时，f（B）有最大值是．（13分）20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，又，求F （2）+F （﹣2）的值；（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f （x ）|≤1在区间（0，1]上恒成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）据题意，，得，∴f （x ）=x 2+2x +1=（x +1）2， 于是，∴F （2）+F （﹣2）=（2+1）2﹣（﹣2+1）2=8．（Ⅱ）a=1，c=0时，f （x ）=x 2+bx ，|x 2+bx |≤1在区间（0，1]上恒成立， 等价于﹣1≤x 2+bx ≤1对0＜x ≤1恒成立， 即，即，在0＜x ≤1时，在x=1时取最大值﹣2，而在x=1时取最小值0，故b ≥﹣2且b ≤0， 于是﹣2≤b ≤0．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

1 2
,
又由
0
<
a
<
1,
从而
0
<
a
1 2
;
②当
1 < a < 2 时, g(x) = (a − 2)x + 4a + 1 在 (−∞, 2] 上单调递减, h(x) = 2ax−1 在 (2, +∞) 上单调
递增, 又因为 f (x) 存在最小值, 故 与 1 < a < 2 矛盾; ③当 a = 2 时,
π 6
个单位
(B) 向右平移
π 12
个单位
(D) 向右平移
π 6
个单位
5. 在菱形 ABCD 中, ∠DAB = 60◦, |A# B–| = 2, 则 |B# C– + D# C–| = ( )
√
√
√
√
(A) 3
(B) 2 3
(C) 2
(D) 2 2
北京一零一中 2024-2025 学年度第一学期高三数学统考二 第 1 页（共 4 页）
a − sin x cos x
在区间
(
π 6
,
π 3
)
上单调递增,
则实数
a
的取值范围是
＿＿＿＿＿
.
15. 若函数 f (x) = ax2 − 2x − |x2 − ax + 1| 有且仅有两个零点, 则 a 的取值范围为 ＿＿＿＿＿ .
三、解答题共 6 小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
左平移
π 3
个单位长度并向下平移
1 2
个单位长度, 得到函数 g(x) 的图象. 若在 △ABC