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排列与组合、二项式定理 Word版含解析

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专题检测（八） 排列与组合、二项式定理
一、选择题
1．设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0,1,2,3}，Q
＝{1,2,3,4,5}，则P⊗Q中元素的个数是( )
A．4 B．9
C．20 D．24
解析：选C 依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5
＝20种不同取法，共有20个不同元素．
2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层
抽样，则不同的抽取方法数为( )
A．224 B．112
C．56 D．28
解析：选B 根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女
生1个男生的方法有C28C14＝112种．
3．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )
A．－15x4 B．15x4
C．－20ix4 D．20ix4
解析：选A 二项式的通项为Tr＋1＝Cr6x6－rir，由6－r＝4，得r＝2.故T3＝C26x4i2＝－
15x4.
4．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣
小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组
至少有一人报名，则不同报名方法有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．72种
解析：选C 由题意可知，从4人中任选2人作为一个整体，共有C24＝6(种)，再把这
个整体与其他2人进行全排列，对应3个活动小组，有A33＝6(种)情况，所以共有6×6＝36(种)
不同的报名方法．
5．在二项式x－1xn的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的
系数是( )
A．－56 B．－35
C．35 D．56
解析：选A 因为展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，所以
n＝8，所以二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8x8－r(－x－1)r＝(－1)rCr8x8－2r，令8－2r＝2得
r＝3，所以展开式中含x2项的系数是(－1)3C38＝－56.
6．若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A.13 B．12
C．1 D．2
解析：选D 依题意，注意到x＋1x10的展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr10·x10－r·1xr＝

Cr10·x10－2r，x＋1x10的展开式中含x4(当r＝3时)、x6(当r＝2时)项的系数分别为C310、C210，
因此由题意得C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得a＝2.
7．已知(x＋2)15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，则a13的值为( )
A．945 B．－945
C．1 024 D．－1 024
解析：选B 由(x＋2)15＝[3－(1－x)]15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，得
T14＝T13＋1＝C131532·(－1)13(1－x)13，∴a13＝C1315×32×(－1)13＝－945.
8．(2017·郑州第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为
( )
A．72 B．120
C．192 D．240
解析：选D 将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数．(1)若

末位数字为2，因为含有2个4，所以有5×4×3×2×12＝60种情况；(2)若末位数字为6，
同理有5×4×3×2×12＝60种情况；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有
5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．
9．若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 017x2 017，则a12＋a222＋…＋a2 01722 017的值为( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选C 当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.
当x＝12时，左边＝0，右边＝a0＋a12＋a222＋…＋a2 01722 017，
∴0＝1＋a12＋a222＋…＋a2 01722 017.
即a12＋a222＋…＋a2 01722 017＝－1.

10．(2017·石家庄质检)若a＝233－ (x＋|x|)dx，则在x－13xa的展开式中，x的幂
指数不是整数的项共有( )
A．13项 B．14项
C．15项 D．16项

解析：选C 因为a＝233－ (x＋|x|)dx＝230x＋xdx＋03x－xdx＝2x2| 30＝18，

所以该二项展开式的通项Tr＋1＝Cr18(x)18－r－13xr＝(－1)rCr18x596r－ (0≤r≤18，且r∈N)，
当r＝0,6,12,18时，展开式中x的幂指数为整数，所以该二项展开式中x的幂指数不是整数
的项有19－4＝15项．
11．某项科技实验中，要先后实验8个程序，其中程序A和B在实施时必须相邻，且
程序C只能出现在第一或最后一步，则该项实验顺序的编排方法种数为( )
A．720 B．1 440
C．2 880 D．3 600
解析：选C 第一步，程序C有C12种不同的安排方法；第二步，将A和B看成一个程
序与其他5个程序全排列，有A66种不同的安排方法；第三步，安排A和B的顺序，有A22种
不同的安排方法，根据分步乘法计数原理，知不同的安排方法共有C12A66A22＝2 880(种)．
12．已知(3x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，设(3x－1)n展开式的二项式
系数和为Sn，Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an(n∈N*)，则Sn与Tn的大小关系是( )
A．Sn>Tn
B．SnC．n为奇数时，SnTn
D．Sn＝Tn
解析：选C 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n＝Sn，令x＝0，得a0＝(－1)n，所以
Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝Sn－a0＝2n－(－1)n，所以当n为偶数时，Tn＝Sn－1奇数时，Tn＝Sn＋1>Sn.
二、填空题
13．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，
要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色
方法有________种．
解析：若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A44＝72种涂色法；若1,3同色，有C14C
1
3

A22＝24种涂色法．根据分类加法计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．
答案：96
14．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.
解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5. ①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5. ②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.
答案：3
15．(2017·东北四市模拟)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，若
甲、乙分得的电影票连号，则共有________种不同的分法．(用数字作答)
解析：电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙2人在这4种情况中选一种，共C14种
选法，2张票分给甲、乙，共有A22种分法，其余3张票分给其他3个人，共有A33种分法，
根据分步乘法计数原理，可得共有C14A22A33＝48种分法．
答案：48
16．计算C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn可采用以下方法：
构造等式：C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n，两边对x求导得C1n＋2C2nx＋3C3nx2＋…
＋nCnnxn－1＝n(1＋x)n－1，在上式中令x＝1得C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋nCnn＝n·2n－1，类比上述
计算方法计算C1n＋22C2n＋32C3n＋…＋n2Cnn＝______________.
解析：由题意得，构造等式：C1n＋2C2nx＋3C3nx2＋…＋nCnnxn－1＝n(1＋x)n－1，两边同乘
以x，得C1nx＋2C2nx2＋3C3nx3＋…＋nCnnxn＝n·x·(1＋x)n－1，再两边对x求导，得到C1n＋22C
2
n

x＋32C3nx2＋…＋n2Cnnxn－1＝n(1＋x)n－1＋n(n－1)x·(1＋x)n－2，在上式中，令x＝1，得C1n＋

22C2n＋32C3n＋…＋n2Cnn＝n(n＋1)2n－2.
答案：n(n＋1)2n－2

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排列组合与二项式定理

排列组合与二项式定理

排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是概率论和组合数学中重要的概念和定理。

它们在数学、统计学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍排列组合和二项式定理的概念、性质和应用，并探讨它们之间的关系。

一、排列组合的概念和性质排列和组合是组合数学中的基本概念，用于计算事物的不同排列和组合方式。

1. 排列：排列是指从若干个元素中选择一部分元素按照一定的顺序进行排列。

设有n个元素，要从中选择r个元素进行排列，有P(n,r)种排列方式。

排列的计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合：组合是指从若干个元素中选择一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。

设有n个元素，要从中选择r个元素进行组合，有C(n,r)种组合方式。

组合的计算公式为C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)排列和组合的计算公式是基于阶乘的，阶乘表示从1到某个正整数的连乘积。

排列和组合的性质包括交换律、结合律和分配律等。

二、二项式定理的概念和性质二项式定理是代数中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。

二项式是两个项的和，形式为 (a + b)^n，其中a和b为实数或变量，n为非负整数。

二项式定理的表达式为：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中C(n,r)为组合数，表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数。

二项式定理的性质包括二项式系数的对称性、二项式系数的递推性和二项式系数与排列组合的关系等。

三、排列组合与二项式定理的应用排列组合和二项式定理在许多领域中有广泛的应用。

1. 概率论：排列组合和二项式定理用于计算事件的可能性和概率。

通过组合数可以计算从一组元素中选择特定数量的元素的概率。

2. 统计学：排列组合和二项式定理用于计算事件的组合和排列数量，从而分析数据的分布和规律。

排列组合二项式定理

排列组合二项式定理

排列组合和二项式定理一、排列组合1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分进行操作，按照一定的顺序进行排列。

在排列中，每个元素只能使用一次。

例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列，可以得到以下6个排列： 12、13、21、23、31、32。

排列的数目可以用符号P表示，表示从n个元素中选取r 个进行排列。

排列数的计算公式如下所示： P(n, r) = n! / (n - r)!其中，!表示阶乘，例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。

1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分进行操作，不考虑元素的顺序。

与排列不同，组合中的元素只有选择与不选择两种情况。

例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合，可以得到以下三个组合： 12、13、23。

组合的数目可以用符号C表示，表示从n个元素中选取r 个进行组合。

组合数的计算公式如下所示： C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开任意幂的二项式。

二项式定理公式如下所示： (a + b)^n = C(n, 0) × a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2 + … + C(n, n) × a^0 × b^n其中，C(n, r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个进行组合。

a和b表示两个变量，n表示幂。

在二项式定理中，展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积，这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。

二项式定理在代数学中有着广泛的应用，它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。

二项式定理也是高中数学课程中常见的内容，通过学习二项式定理，可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。

(完整word版)高中数学复习排列组合基础篇

(完整word版)高中数学复习排列组合基础篇

排列、组合、二项式定理学习指导排列、组合与二项式定理是高中数学中相对独立的内容，不论是思考方法还是解题技巧，与其它章节都有很大的是同。

本章内容比较抽象,解题方法比较灵活，重在抽象思维能力与逻辑思维能力的培养与提升.因此在学习过程中,要重视教材的基础作用，重视过程的学习。

二项式定理的学习要从基础出发，对二项式的展开式、通项公式、二项式系数的性质等，要弄懂原理,牢固掌握，并会灵活运用。

要在练习中领悟原理公式与概念的实质，注意计算的准确性和解题的规范性，从而形成解题方法和能力.排列、组合、二项式定理之一――基础篇一、要点导读1、分类计数原理： ； 分步计数原理： .2、 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,排列数mn A ＝_____________________________=_________。

3、 叫做从n 个不同元素中取出m 元素的一个组合，组合数m n C ＝_____________ _________=_______________.4、组合数的性质：（1）m n C ＝ ；（2）m n C ＋1-m n C ＝ .5、二项式定理的内容是 .其通项为1+r T ＝ ；二项式系数的性质是① ；② ;③ .二、思维点拔1、两个计数原理的区别在于一个和“分类"有关，一个和“分步”有关。

在使用两个基本原理时，要认真审题，特别要理解题中所讲的“事情”是什么？明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”,还是既要“分类”又要“分步",并注意“分类”或“分步”的标准.在分析过程中，如能借助图形、表格帮助分析,则可使问题更加直观、清楚，而且可防止“分类"或“分步”中的重复和遗漏现象。

2、排列中最具典型的两类问题是“排数"和“排队”。

无论是哪类问题，无外乎“元素”与“位置”的关系，即“某个元素排在什么位置"或“某个位置上排什么元素”。

如按元素与位置的多少分类，排列组合大体上可分为三类：元素个数多于位置个数、元素个数等于位置个数、元素个数少于位置个数。

(完整版)排列组合二项式定理知识总结,推荐文档

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n n +1n nn排列组合、二项式定理总结复习1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m nm=n ! nm !(n - m )!性质 C m = Cn -mCm = C m + C m -1排列组合题型总结 一． 直接法1 .特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个CC（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。

分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理：5 4A2 A2 =2405 42．特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下5 4 4的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=2524 4 4 4二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =2526 5 4Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ⨯ 23 ⨯A3 个，其中 0 在5 3百位的有C 2 ⨯ 22 ⨯A2 个，这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数4 2C 3 ⨯ 23 ⨯A3 - C 2 ⨯ 22 ⨯A2 =4325 3 4 2Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法292928 113 二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。