专题45 直线及其方程(押题专练)-2018年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)

宁夏回族自治区高考数学一轮复习：45 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知l1的斜率是2，l2过点A(-1，-2)，B(x，6)，且l1∥l2 ，则lo x=（）A .B . -C . 2D . -22. （2分）直线的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·南通期末) 在平面直角坐标系xoy中，已知直线l上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（）A . －2B . －C .D . 24. （2分）若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为（）A . 2x+y-3=0B . x-2y+1=0C . x+2y-3=0D . 2x-y-1=05. （2分）直线l1过点A(3，1)，B(-3，4)，直线l2过点C(1，3)，D(-1，4)，则直线l1与l2的位置关系为（）A . 平行B . 重合C . 垂直D . 无法判断6. （2分）(2018·长沙模拟) “ ”是“直线的倾斜角大于”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2020高一上·黄陵期末) 已知直线的倾斜角为，则的斜率是（）A .B .C .D .8. （2分）经过原点O(0,0)与点P(1,1)的直线的倾斜角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 135°9. （2分） (2016高二上·湖州期末) 直线x+1=0的倾斜角为（）A . 0B .C .D .10. （2分） (2016高二上·青海期中) 已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A . [﹣1，5]B . （﹣1，5）C . （﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）11. （2分） (2016高二上·武城期中) 已知直线l与直线y=2，x﹣y﹣1=0分别交于A，B两点，若线段AB 的中点为（2，﹣1），则直线l的斜率是（）A .B .C . ﹣D . ﹣12. （2分）过两点A(4，y)、B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y等于（）A . －1B . －5C . 1D . 5二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）直线的倾斜角 ________.14. （1分） (2018高一下·石家庄期末) 直线的倾斜角是________．15. （1分） (2018高一下·长阳期末) 下列命题正确的是________.①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应；②倾斜角的范围是: ,且当倾斜角增大时,斜率不一定增大；③直线过点，且横截距与纵截距相等，则直线的方程一定为；④过点 ,且斜率为1的直线的方程为 .16. （1分） (2016高一下·江阴期中) 直线x+ y+1=0的倾斜角是________．17. （1分）(2020·海南模拟) 函数的图象在点处的切线的倾斜角为________.18. （1分）直线2x﹣3y﹣12=0与坐标轴围成的三角形的面积为________三、解答题 (共3题；共25分)19. （10分） (2016高二上·苏州期中) 如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2 ， l1交y 轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．20. （5分）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.（1） A(2,3)，B(4,5)；（2） C(－2,3)，D(2，－1)；（3） P(－3,1)，Q(－3,10)．21. （10分）若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角α不是锐角，求实数t的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共3题；共25分) 19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、。

2018年高考数学讲练测【新课标版】【测】第九章 解析几何第一节 直线的方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.过点M (,N (的直线的倾斜角是( ) (A)34π(B)错误！未找到引用源。

(C)错误！未找到引用源。

(D)错误！未找到引用源。

【答案】B【解析】由斜率公式得k==1.又倾斜角范围为[0,)π,∴倾斜角为错误！未找到引用源。

.2. 过点P 且倾斜角为45°的直线方程为（ ）A ．3y x +=B ．y x =C ．y x =-．y = 【答案】C【解析】斜率145tan ==k ,由直线的点斜式方程可得⇒-=+)3(13x y y x =- C.3.直线134x y+=与两坐标轴围成的三角形的周长为（ ） A ．6 B ．7 C ．12 D ．14 【答案】C. 【解析】直线134x y+=与两坐标轴的交点分别为)0,3(，)4,0(，因此与两坐标轴围成的三角形周长为12434322=+++.4.【2017届吉林省吉林大学附属中学高三第八次模拟】322παπ<<,则直线cos sin x yαα+＝１必不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B5.【2017届河南省郑州市第一中学高三4月模拟】点)4在直线:10l ax y -+=上，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 120 【答案】C【解析】将点)代入直线方程,求得a =所以直线+1=0l y - ,斜率k =所以倾斜角为60 ,选C.6.下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点),(00y x 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示B ．经过定点)0A b ，（的直线都可以用方程b kx y +=表示C ．经过任意两个不同的点),(111y x P ，),(222y x P 的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1=+bya x 表示 【答案】C【解析】A 中的方程)(00x x k y y -=-表示有斜率的直线,但过定点不一定有斜率,错误;B 的错误原因与A 相同;D 中的方程1=+bya x 表示在y x ,轴有截距的直线，不过原点但可能在轴上,所以错误.7.直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是( ) (A)40° (B)50° (C)130° (D)140° 【答案】B【解析】∵直线xcos 140°+ysin 140°=0 的斜率k=-=-=-===tan 50°,∴直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角为50°.8.在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点)21,(-a P 的所有直线中（ ）A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B ．恰有()2≥n n 条直线，每条直线上至少存在两个有理点C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点D ．每条直线至多过一个有理点 【答案】C9.【2017届广西柳州市高三10月模拟】已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（ ） A ．14 B ．34 C ．45 D ．25【答案】C【解析】22tan 4tan 2,sin 21tan 5θθθθ===+，选C.10.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】B 【解析】直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，∵k MA ＝，k MB ＝，由图可知，－a>且－a<，∴a∈.选B.11.直线l经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l的方程为（）．A．8x－5y＋20＝0 或 2x－5y+10＝0 B．2x－5y－10＝0C．8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0 D．8x－5y＋20＝0【答案】C12.已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是（）.A．9 B．4 C．3 D．2【答案】CCA CB分别为x轴、y轴建立直角坐标系如图所示，则直线AB的方程【解析】以C为原点,为143x y +=.由重要不等式得：43x y +≥即13xy ≥⇒≤.点P 到AC 、BC 的距离乘积即xy ，所以点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是3，选C .5分，共20分。

【考向解读】考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.【命题热点突破一】 直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1、【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++=错误！未找到引用源。

与圆2212x y +=错误！未找到引用源。

交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =错误！未找到引用源。

，则||CD =错误！未找到引用源。

__________________.【变式探究】(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12 B.12或－6 C ．－12或12 D ．0或12【特别提醒】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【变式探究】已知A (3,1)，B (－1,2)两点，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝0【命题热点突破二】 圆的方程及应用1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆． 例2、(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为____________．【变式探究】【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43- （B ）34- （C （D ）2 【变式探究】(1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为 ( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x ＋1)2＋y 2＝4C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4【特别提醒】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【变式探究】(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________________．(2)已知直线l 的方程是x ＋y －6＝0，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点)，则△OAB 外接圆的方程是____________________．【命题热点突破三】 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离；(2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切；(3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交；(4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切；(5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3、【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。

第45课 圆的方程[最新考纲]1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) [解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确． (2)中，当t ≠0时，表示圆心为(－a ，－b )，半径为|t |的圆，不正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．－2＜a ＜23 [由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得－2＜a ＜23.]3．(2016·全国卷Ⅱ改编)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝________.－43 [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．x 2＋(y －1)2＝1 [根据题意，圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，则标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.]5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN ＝________. 46 [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0得y ＝－2＋26或y ＝－2－2 6. ∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)． ∴MN ＝4 6.](1)外接圆的圆心到原点的距离为________．(2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________．(1)213(2)(x－2)2＋y2＝9 [(1)法一：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得AB＝AC＝BC＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以AE＝23AD＝233，从而OE＝OA2＋AE2＝1＋43＝213.法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则⎩⎨⎧1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D＝－2，E＝－433，F＝1.所以△ABC外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233.因此圆心到原点的距离d＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213.(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝CM＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.][规律方法] 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[变式训练1] 经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．x 2＋y 2－4x －2y －5＝0(或(x －2)2＋(y －1)2＝10) [法一：∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．易知线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．设所求圆的圆心为C (a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，b ＝－12a －，解得a ＝2，且b ＝1.因此圆心坐标C (2,1)，半径r ＝|AC |＝10. 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法二：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.]已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求MQ 的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值. 【导学号：62172245】 [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又QC ＝＋2＋－2＝42，∴MQ max ＝42＋22＝62，MQ min ＝42－22＝2 2.(2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. [迁移探究1] (变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值． [解] 设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋－2＝22，∴b ＝9或b ＝1.因此y －x 的最大值为9，最小值为1.[迁移探究2] (变换条件结论)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求MQ 的最小值．[解] ∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴QC min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7. 又圆C 的半径r ＝22， ∴MQ 的最小值为7－2 2.[规律方法] 1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值．根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的．[变式训练2] 设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，求四边形PACB 的面积的最小值．[解] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心为C (1,1)，半径为r ＝1.根据对称性可知，四边形PACB 的面积为 2S △APC ＝2×12PAr ＝PA ＝PC 2－r 2.要使四边形PACB 的面积最小，则只需PC 最小，最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋－2＝105＝2. 所以四边形PACB 面积的最小值为PC 2min －r 2＝4－1＝ 3.形MONP ，求点P 的轨迹. 【导学号：62172246】[解] 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． (2)定义法：根据圆的定义列方程求解． (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． [变式训练3] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，连结BN(图略)．在Rt△PBQ中，PN＝BN.设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[思想与方法]1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．[易错与防范]1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一前提条件．2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．3．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．课时分层训练(四十五)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________．(x －1)2＋(y －1)2＝2 [圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.]2．圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为________.【导学号：62172247】(x －2)2＋(y －1)2＝1 [(1,2)关于直线y ＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.]3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为________． 2 [圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)． 故圆心到直线x －y －1＝0的距离d ＝|1＋2－1|2＝ 2.]4．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为________．2x ＋y －3＝0 [易知圆心坐标为(2，－1)． 由于直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴该直径所在直线的斜率k ＝－2.故所求直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.]5．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________．(x ＋5)2＋y 2＝5 [设圆心为(a,0)(a ＜0)， 则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5， 所以圆O 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5.]6．经过原点并且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2,0)的圆的标准方程是________. 【导学号：62172248】(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 [设所求圆的圆心为(a ，b )． 依题意(a －2)2＋b 2＝a 2＋b 2，① ba －2＝1，②解①②得a ＝1，b ＝－1， 则半径r ＝a 2＋b 2＝2，∴所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.]7．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则PQ 的最小值为________．4 [如图所示，圆心M (3，－1)与直线x ＝－3的最短距离为MQ ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]8．(2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54<0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]9．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．x ＋y －1＝0 [圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，则k CM ＝1－02－1＝1.∵过点M 的最短弦与CM 垂直，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.]10．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．(x －1)2＋y 2＝2 [因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝－2＋－1－2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]二、解答题11．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程. 【导学号：62172249】[解] 法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )， 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，圆的半径r ＝MP ＝－2＋－2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2， 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )， 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝22，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.12．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．[解] (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设M (x ，y )，依题意C 1M →·OM →＝0，所以(x －3，y )·(x ，y )＝0，则x 2－3x ＋y 2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.又原点O (0,0)在圆C 1外，因此中点M 的轨迹是圆C 与圆C 1相交落在圆C 1内的一段圆弧．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，x 2＋y 2－6x ＋5＝0，消去y 2得x ＝53，因此53＜x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为________．36 [(x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d ＝－2＋－2＝5.则点P (x ，y )到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.]2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．[解] 法一：(代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则有⎩⎨⎧ 1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D －22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2F ＝1， 故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.法二：(几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.3．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积．[解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又OM ＝OP ＝22，O 到l 的距离为4105，PM ＝4105，所以△POM 的面积为165. 4．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．[解] (1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0， 则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.。