有理数知识点有理数是数学中的一种基本的数学对象，它包括整数和分数。
以下是有理数的一些基本知识点：一、有理数的定义有理数是可以写成两个整数的比值形式的数，其中分母不为零。
二、有理数的比较两个有理数a和b的比较有以下几种情况：1. 如果a和b都是正数，那么a<b当且仅当a的分子乘以b的分母小于b的分子乘以a的分母。
2. 如果a和b都是负数，那么a<b当且仅当a的分子乘以b的分母小于b的分子乘以a的分母。
3. 如果a是正数，b是负数，那么a<b。
4. 如果a是负数，b是正数，那么a<b当且仅当a的分子乘以b的分母小于b的分子乘以a的分母。
三、有理数的四则运算有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
1. 加法：有理数a和b的和可以通过将a的分子与b的分母相乘再加上a的分母与b的分子相乘的结果作为新的分子，而将a的分母与b的分母的乘积作为新的分母。
2. 减法：有理数a和b的差可以通过将a的分子与b的分母相乘再减去a的分母与b的分子相乘的结果作为新的分子，而将a的分母与b的分母的乘积作为新的分母。
3. 乘法：有理数a和b的积可以通过将a的分子与b的分子相乘作为新的分子，而将a的分母与b的分母的乘积作为新的分母。
4. 除法：有理数a除以b可以通过将a的分子与b的分母相乘作为新的分子，而将a的分母与b的分子相乘作为新的分母。
四、有理数的绝对值有理数的绝对值是该数到0的距离。
对于一个非负有理数a，其绝对值等于a本身；而对于一个负有理数a，其绝对值等于-a。
五、有理数的乘方有理数的乘方运算是一个数与自身连乘n次的运算，其中n是一个整数。
六、有理数的应用有理数在日常生活中的应用非常广泛，它们可以用来表示人口数量、货币金额、温度、距离等。
七、有理数的化简有理数化简是指将一个有理数写成最简分数的形式，即分子和分母没有公因子。
八、有理数的性质1. 有理数的加法和乘法封闭性：两个有理数的和或积仍然是有理数。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎪⎩⎪⎨⎧---...5.351...2.03121321.0...321.，，负分数：如，，，正分数：如分数，，负整数：如，，，正整数：如整数数理有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧与有理数的关有---画法---单位长度正方向原点定义---数轴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--⎩⎨⎧有理数大小比较非负性性质代数意义几何意义意义绝对值）（0a )0a ()0a (a 0a |a |<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=1、 像5，1，2，21，…这样的数叫做正数，它们都比0大，为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”号，如+5，+1.2 2、 在正数前面加上“—”号的数叫做负数，如－10，－ 3，… 3、 0既不是正数也不是负数.4、 整数和分数统称为有理数.1、 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.2、 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3、 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.4、 相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.1、 在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对 值，记作|a|.2、 一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数，可表示为概念图1、 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2、 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧律合结律换交运算律一个数与零相加异号两数相加同号两数相加则法法加的数理有的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0.3、 一个数同0相加，仍得这个数.4、 有理数加法的运算律：（1） 加法的交换律：a+b=b+a（2） 加法的结合律：（a+b ）+c=a+(b+c)⎩⎨⎧上这个数的相反数—减去一个数，等于加—法则逆运算的加法是—减法—意义有理数的减法。
有理数的由来有理数的由来由来古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。
分数的使用是由于除法运算的需要。
除法运算可以看作求解方程px=q(p0)，如果p，q 是整数，则方程不一定有整数解。
为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。
在Z(Z -{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。
则称(p1，q2)～(p2，q1)。
Z(Z -{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。
(p，q)所在的有理数，记为。
一切有理数所成之集记为Q。
令整数p对应一于，即(p，1)所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。
因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
有理数集合是一个数域。
任何数域必然包含有理数域。
即有理数集合是最小的数域。
有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。
一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。
依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。
有理数是实数的(稠密)子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。
采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。
幸运的是，管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。
证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。
所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。
有理数的知识点整理一、有理数的概念1. 定义- 整数和分数统称为有理数。
整数包括正整数、0、负整数，例如3、0、-5等；分数包括有限小数和无限循环小数，有限小数如0.25，无限循环小数如0.3̇。
2. 有理数的分类- 按定义分类：- 有理数cases(整数begin{cases}正整数0负整数)分数cases(正分数负分数)end{cases}- 按性质符号分类：- 有理数cases(正有理数begin{cases}正整数正分数)0负有理数cases(负整数负分数)end{cases}二、数轴1. 定义- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。
2. 数轴上的点与有理数的关系- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（还有无理数）。
例如，2可以用数轴上原点右边距离原点2个单位长度的点来表示；-1.5可以用原点左边距离原点1.5个单位长度的点来表示。
3. 利用数轴比较有理数的大小- 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
例如，在数轴上3在1的右边，所以3 > 1；-2在-3的右边，所以-2>-3。
三、相反数1. 定义- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是0。
例如，3和-3互为相反数，-(1)/(2)和(1)/(2)互为相反数。
2. 性质- 互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b=0。
例如，5+(-5) = 0。
- 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。
例如，3和-3在数轴上到原点的距离都是3个单位长度。
四、绝对值1. 定义- 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
例如，|3| = 3，| - 3|=3。
2. 性质- 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
