考点38 正态分布和条件概率——2021年高考数学专题复习真题练习

2021年高考必做38套（12）（数学文）本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.若集合,,那么（）A．B．C．D．2. 对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（）A．若则B．若则C ．若则D ．若、与所成的角相等，则3. （ ）A ．B ．C ．D ．4. 不等式成立的充分不必要条件是（ ）A ．或B ．或C ．D ．5. 设是函数的导函数,的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）6. 若平面四边形满足,,则该四边形一定是（ ）A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7. 已知函数的图象经过点,则该函数的一条对称轴方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8. 等差数列中，已知前15项的和，则等于（ ）A ．B ．12C ．D ．69. 圆上与直线的距离等于的点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个10. 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文,例如,明文对应密文.当接收方收到密文时,则解密得到的明文为（ ）A ．B ．C ．D ． 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题（第13题前空2分，后空3分），每道试题考生都必须做答11．设函数，则的定义域是 ．12．现有一个关于平面图形（如下图）的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .13．已知某算法的流程图如右图所示，若将输出的值依次记为，，.（Ⅰ）若程序运行中输出的一个数组是，则 ；（Ⅱ）程序结束时，共输出的组数为 ．第15题图 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点引圆的一条切线，则切线长为 ．15．（几何证明选讲选做题）如上图，已知是半圆的直径，是延长线上一点，切半圆于点，于，于点，若，，则 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分)已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈（I ）求函数的最小正周期; （II ）求函数取得最大值的所有组成的集合.17．（本小题满分12分）把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为。

考点38 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．点、、、在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为A． B． C． D．【答案】B2．某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据三视图可将其还原为如下直观图，==，答案选C。

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】A4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． 8 B． 16C． 24 D． 48【答案】B【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，题中的三视图对应的几何体为四棱锥，5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为A． B．C． D．【答案】C6．如图所示，已知四棱锥的高为，底面为正方形，且，则四棱锥外接球的半径为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，四棱锥为正四棱锥，设外接球半径为连接、交于点，连接，外接球的球心在高上，连接，则四棱锥的高为，，即，，又为直角三角形，即，解得.故选B.7．圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C8．如图所示，在正方体中，为的中点，则图中阴影部分在平面上的正投影是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，点M在平面上的正投影是的中点，点和点的投影是本身，连接三个投影点.故选D.9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】B10．一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A． 28 B．C． D．【答案】B【解析】几何体为一个三棱柱与一个正方体的组合，表面为两个正方形（边长为2）、两个矩形（一个长为，宽为2，另一个长为3，宽为2），两个全等直角梯形（上下底分别为2，3，高为2），因此表面积为,选B.11．点，，，，是半径为5的球面上五点，，，，四点组成边长为的正方形，则四棱锥体积最大值为（）A． B． 256 C． D． 64【答案】A12．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】B【解析】∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=1，∴△PAB≌△PAC≌△PBC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=3π．故选：B．13．侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若△ABC是边长为的等边三角形，C1C=，则球O的表面积为A． B． C． D．【答案】D14．如图所示的是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为A．20π B．24π C．28π D．32π【答案】C15．如图所示，在四棱锥中，平面，，，.（1）求证：；（2）当几何体的体积等于时，求四棱锥的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连结BD，取CD的中点F，连结BF，则直角梯形ABCD中，BF⊥CD，BF=CF=DF，∴∠CBD=90°即：BC⊥BD∵DE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴BC⊥DE又BD∩DE=D∴BC⊥平面BDE由BE⊂平面BDE得：BC⊥BE16．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．(1)求证：平面；(2)若.求棱锥的高.【答案】（1）证明见解析（2）.17．如图所示，在梯形中，四边形为正方形，，将沿着线段折起，同时将沿着线段折起，使得，两点重合为点（1）求证：面面；（2）求四棱锥的体积．【答案】(1)见解析；（2）又面面，面18．如图，在四面体中，已知，，，为线段上的动点(不包含端点) ．（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：取中点，连，．由，为中点，故．由有，又，，则，故，∴平面，在平面内，∴．19．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若是线段上一点，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.20．在三棱柱中，平面，其垂足落在直线上.（1）求证：；（2）若为的中点，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）21．如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4．(1)求证：AC⊥平面BCE；(2)求三棱锥E－BCF的体积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】 (1)证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(2)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.V E－BCF＝V C－BEF＝××BE×EF×CM＝×2×4×2＝.22．棱长均为的直三棱柱的外接球的表面积是 _________．【答案】23．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是_________________【答案】【解析】由于两两相互垂直，所以阳马的外接球的直径为，即，因此外接球的表面积是.24．已知一所有棱长都是的三棱锥，则该三棱锥的体积为___________.【答案】25．已知长方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，且，，球O的表面积为，则OA 与平面ABCD所成的角为__________．【答案】【解析】设长方形的外心为，故对角线，故，依题意，故线面角，故.。

专题38极坐标与参数方程知识点与大题16道高考真题（解析版）一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角.二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩（对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.(可化直角坐标: 22cos a ρρθ=222x y ax ⇒+=222()x a y a ⇒-+=.)四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:00sin ()()cos 2y y x x απαα-=-≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩,2πα=也成立，故直线的参数方程为00cos t sin x x t y y αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).五、圆的参数方程若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩.六、椭圆的参数方程椭圆2222C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.七、双曲线的参数方程双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k πθπ≠+∈Z . 八、抛物线的参数方程 抛物线22y px =的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.1．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44. 【分析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线 2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解. 【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t==为参数）， 两式相加得曲线1C1+=，1=-1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=， 曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=或136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为 11(,)44.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 2．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）()1:404C x y x +=≤≤；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 【分析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：()404x y x +=≤≤；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =， ∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=. 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.3．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+= 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴=（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=. 【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.4．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:2110l x +=；（2【分析】（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+ ()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈-又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x +=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d ==当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d =【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.5．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）4cos ()42ππρθθ=≤≤【分析】（1）先由题意，将0=3θπ代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围. 【详解】（1）因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin 3πρθ===即)3M π，所以tan3OM k π==因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为4)y x =-，即40x -=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）设(,)P x y ，则OP y k x =， 4AP y k x =-， 由题意，OP AP ⊥，所以1OP APk k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤， 所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()42ππρθθ=≤≤.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型. 6．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，(2,)4B π，(2,)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||3OP =求P 的极坐标. 【答案】(1)2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([,])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2) 3,)6π,(3,)3π,23,)3π,53,)6π. 【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件3ρ=P 点的极坐标. 【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,])4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos 3([0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为3,)6π解方程32sin 3([,])44ππθθ=∈得3πθ=或23πθ=，此时P 的极坐标为(3,)3π或2(3,)3π解方程32cos 3([,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5(3,)6π故P 的极坐标为(3,)6π,(3,)3π,2(3,)3π,5(3,)6π. 【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题. 7．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程. 【答案】(1) 22(1)4x y ++=. (2) 423y x =-+. 【解析】分析：(1)就根据cos x ρθ=，sin y ρθ=以及222x y ρ=+，将方程22cos 30ρρθ+-=中的相关的量代换，求得直角坐标方程；(2)结合方程的形式，可以断定曲线2C 是圆心为()1,0A -，半径为2的圆，1C 是过点()0,2B 且关于y 轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k 所满足的关系式，从而求得结果. 详解：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为()2214x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为()1,0A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点()0,2B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+． 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果. 8．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为24x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．【答案】（1）221416x y +=，当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =；（2）2- 【分析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分cos 0α≠ 与cos 0α=两种情况.(2)将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数几何意义得sin ,cos αα之间关系，求得tan α，即得l 的斜率．【详解】详解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程()()2213cos 4280tcos sin t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点()1,2在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得()1224213cos cos sin t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．9．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 【答案】（1）3(,)44ππ（2）2,22x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数，344ππα<<) 【解析】分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离d r <可得． （2）联立方程，由根与系数的关系求解 详解：（1）O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2πα=时，l 与O 交于两点．当2πα≠时，记tan k α=，则l的方程为y kx =l 与O交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 综上，α的取值范围是3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭． （2）l的参数方程为,(x tcos t y tsin αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，344ππα<< )． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(),x y满足,.P P x t cos y t sin αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P的轨迹的参数方程是2,2222x sin y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，344ππα<< )． 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．10．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l，求a ． 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-． 【解析】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点(3cos ,sin )θθ，由点到直线距离公式求参数．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0，2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点()3cos ,sin θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-. 综上，8a =或16a =-.点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．11．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值． 【答案】（1）()22x 2y 40x -+=≠（）；（2）2【详解】试题分析：（1）设出P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得OAB面积的最大值为2试题解析：解：（1）设P 的极坐标为（,ρθ）（ρ＞0），M 的极坐标为()1,ρθ（10ρ＞）由题设知|OP|=ρ，OM =14cos θρ=. 由OM ⋅|OP|=16得2C 的极坐标方程4cos 0ρθρ=（＞） 因此2C 的直角坐标方程为()22x 2y 40x -+=≠（）. （2）设点B 的极坐标为(),αB ρ （0B ρ＞）.由题设知|OA|=2，4cos αB ρ=，于是△OAB 面积1S AOB 4cos α|sin(α)|2|sin(2α)2233B OA sin ππρ∠=⋅=⋅-=-≤+当α12π=-时， S取得最大值2所以△OAB面积的最大值为2点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 12．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷） 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【答案】（1）()2240x y y -=≠（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==. 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.13．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos {1sin x a ty a t==+（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【答案】（Ⅰ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=（Ⅱ）1 【详解】试题分析：（Ⅰ）把cos {1sin x a ty a t==+化为普通方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）通过解方程组可以求得.试题解析：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.14．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.于是，..由得，.所以的斜率为或.15．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．16．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN∆的面积．【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=得1222,2ρρ= 所以2MN =12. 试题解析：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ== ，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ=， 所以MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯= 考点：坐标系与参数方程.。

考点49二项分步及其应用、正态分布
(2021·新高考II卷·T6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是()
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9.10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9.10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
【命题意图】本题考查正态分布的应用,意在考查直观想象及逻辑推理等核心素养.
【解析】选D.对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;
对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;
对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.。