两个等腰直角三角形共一个顶点

共点旋转模型

模型概述：

两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

基本模型：

一、等边三角形手拉手-出全等

图1 图2

图3 图4

1.解读：

⑴图1中，等边△CDE和等边△CBA构成“A”字型相似；

⑵将△CDE绕点C顺时针旋转一定角度，分别至图2、图3、和图4（B、C、E共线）

⑶两三角形的“头部”C始终重合，“大手”A对应于“小手”E，“大手”B对应于“小手”D，旋转过程中，“大手”始终拉着（连接）“小手”；

⑷“大手臂”CB、“小手臂”CD及其连线BD构成的△CBD与“大手臂”CA、“小手臂”CE及其连线AE构成的△CAE始终全等；

⑸两连线BD和AE所在直线的夹角始终为60°。

2.结论：

⑴图2、图3和图4中都有：①△CBD≌△CAE；②直线BD和直线AE的夹角为60°。

⑵图3中的其他结论：①FC平分∠BFE；②FB=FA+FC；③FE=FD+FC；

⑶图3中结论在图4中成立，此外，在图4中还有：

①△BCM≌△CAN；②△DCM≌△ECM；③MN∥BE；④△CMN为等边三角形；

典型例题1-1

如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD、AE。

⑴求证：BD=AE；

⑵直线BD和直线AE的夹角是多少？说明理由。

典型例题1-2

如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点F，连接FC。

求证：⑴FC平分∠BFE；

⑵FB=FA+FC；

⑶FE=FD+FC；

典型例题1-3

如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，且B、C、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接AE交CD于N，连接MN，点F为AE与BD的交点。

选择：

1．如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并

延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，

则以下结论：①DE=DG；②BE=CG；③DF=DH；④BH=CF．其中正确的是（）

A．②③B．③④C．①④D．①②③④

2．等边三角形的一边长为6cm，则以这边上高线为边长的正方形的面积为

（）

A．36cm2B．27cm2C．18cm2D．12cm2

3．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，

则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于（）A．B．C．D．无法确定

4．已知点A和点B（如图），以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰

直角三角形，一共可作出（）

A．2个B．4个C．6个D．8个5．小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的

正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少

为（

）

A．40B．30+2C．20D．10+10

6．平面上有A、B两点，在平面内找点C，使得△ABC为等腰直角三角形的点C

有（）

A．2个B．4个C．6个D．8个

7．以线段AB为一边的等腰直角三角形有（）

A．1个B．2个C．4个D．6个

8．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，

画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰

Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）

A．2n﹣2B．2n﹣1C．2nD．2n+1

9．下列命题中不正确的是（）

A．有两个角相等的三角形是等腰三角形

B．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

C．等腰三角形两底角相等

D．有一个角的平分线平分对边的三角形一定是等腰直角三角形10．如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正

方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（

第08讲模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类

热点题型讲练)

目录

【类型一共顶点的等边三角形】......................................................................................................1

【类型二共顶点的等腰直角三角形】.............................................................................................11

【类型三共顶点的一般等腰三角形】.............................................................................................21

【类型一共顶点的等边三角形】

例题：（

2023上

·内蒙古呼和浩特

·八年级统考期末）如图，已知点C是

AB上一点，ACM△、CBN△都是等

边三角形，连接AN交CM于点

E，连接

BM交CN于点

F．

(1)求证：NACBMC

(2)连接

EF，判断

CEF△的形状，并说明理由．

【答案】

(1)证明见解析

(2)

CEF△是等边三角形，理由见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质，

（

1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明

SASACNMCB≌

，即可得证；

（

2）由（

1）可得EACFMC，继而得到ACEMCF，证明

ASAACEMCF≌

，得

CECF，

根据等边三角形的判定即可得出结论；

掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．

【详解】（

1）证明：

∵ACM△与CBN△为等边三角形，

∴60ACMBCN，

ACMC，NCBC，

∴ACMMCNBCNNCM，

即

ACNMCB，

DF，( 1) 设 F 点的坐标是( x，y) ，求 x、y 之间的关系;

( 2) 求线段 DF 的最小值．

( 3) 求 F 点经过的路径的长．

图 6 图 7

七、反思解题 改善教学

高效课堂常见于课堂容量大，教师分析、讲解高位切入、云端行走，把学生的质疑、分析、修改、反思寄希望于课下或者同一节课辗转题目之间时的时间缝隙，

这样的做法恰恰忽视了数学“逻辑关联、前后一致”的本质，久而久之，学生的深层次的逻辑思维能力、逻辑

严谨性没有培养起来，解题总是停留在刻意模仿的阶段( 形式运算阶段) ，与“培养学生走上社会所需要的 各种能力”的数学教育理念大相径庭． 通过研究以上变式题目使笔者深深体会到欲通过一道“孤立”的难 题培养学生的各方面的能力不可小觑，教师的引导要 脚踏实地，一步一个脚印，帮助学生按照知识源、方法 论与解题需求关联性的远近程度排列并串联起来，方 是题目解法的自然生成，也能够体现题目在培育人的 逻辑思维完善性、严谨性等方面的重要价值． 此外，教学时可详尽剖析各知识源的异同点和使用条件、特征与范围，以提高学生的辨析与应用能力［1］． 总之，尊重教育教学规律、尊重学生的数学现实、尊重数学学科的特 点，步步为营、环环相扣才能够释放出解题的精彩，流露出切实的学生本位，让学生获得对于他生命成长有 意义的东西．

参考文献:

［1］ 刘华为． 从教“怎样做”到教“怎样想”［J］． 中学数学教学参考: 中旬，2016( 6) : 26 － 28．

［1． 山东省淄博市周村区王村中学 ( 255300)

2． 山东省淄博市周村区第三中学 ( 255300) ］

双等腰直角三角形旋转定值问题探究

■ 熊 猛

摘要: 等腰直角三角形是特殊的等腰三角形( 有一个角是直角) ，也是特殊的直角三角形( 等腰) ，因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有 性质( 如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等) ． 旋转问题中的定值问题的解决，一般思路是从特殊到一般，化动为静． 本文对双等腰直角三角形中的旋转定值问题进行探究，以期读者通过本专题的思考， 2DE2．