八下解题技巧专题：共顶点的等腰三角形

模型构建专题：“手拉手”模型【考点导航】目录【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】【类型二共顶点的等腰直角三角形】【类型三共顶点的一般等腰三角形】【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．(3)由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∠BAM=∠CAN AB=AC∠ABM=∠ACN∴△ABM≌△ACN(ASA)．(3)由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．【变式训练】1(2023春·山西运城·八年级统考期中)如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有个．①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=90°．【答案】①②③④⑤【分析】根据等边三角形的性质得到AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，得到∠ACE=∠BCE，∠DCE=60°，根据平行线的判定定理得到AD∥CE，根据平行线的性质得到∠DAP=∠PEC，故③正确；根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CDB，根据三角形的内角和得到∠DPM=∠ACM=60°，故②正确，推出△ACM≌△DCN，故④正确；根据全等三角形的性质得到CM=CN，得到△CMN是等边三角形，求得∠CMN=60°，根据平行线的判定定理得到MN∥AB，故①正确；根据三角形的内角和得到∠AEB= 90°．故⑤正确．【详解】解：∵△DAC 、△ECB 都是等边三角形，∴AC =CD ，BC =CE ，∠ACD =∠BCE =60°，∴∠ADC =∠DCE =60°，∴∠ACE =∠BCD ，∠DCE =60°，∴AD ∥CE ，∴∠DAP =∠PEC ，故③正确；在△ACE 与△BCD 中，AC =CD∠ACE =∠BCD CE =CB，∴△ACE ≌△BCD SAS ，∴∠CAE =∠CDB ，∵∠PMD =∠AMC ，∴∠DPM =∠ACM =60°，故②正确，在△ACM 与△DCN 中，∠CAM =∠CDNAC =CD ∠ACM =∠DCN =60°，∴△ACM ≌△DCN ，故④正确；∴CM =CN ，∴△CMN 是等边三角形，∴∠CMN =60°，∴∠CMN =∠ACD ，∴MN ∥AB ，故①正确；∵∠DBE =30°，∠BPE =∠APD =60°，∴∠AEB =90°．故⑤正确；故答案为：①②③④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合)，在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ．求证：(1)AD =BE ；(2)△CPQ 为等边三角形；【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】(1)由等边三角形的性质可知AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，从而可求出∠ACD =∠BCE ，即可利用“SAS ”证明△ADC ≌△BEC ，即得出AD =BE ；(2)由等边三角形的性质可知∠ACB =∠DCE =60°，AC =BC ，即可求证∠ACP =∠BCQ =60°．再根据△ADC ≌△BEC 可得出∠CAP =∠CBQ ，利用“ASA ”证明△APC ≌△BQC ，据此即可证明结论成立．【详解】(1)证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∵∠ACD =∠ACB +∠BCD ，∠BCE =∠DCE +∠BCD ，∴∠ACD =∠BCE ，∴AC =BC∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ADC ≌△BEC (SAS )，∴AD =BE ；(2)证明：∵△ABC 和△CDE 是等边三角形，∴∠ACB =∠DCE =60°，AC =BC ，∴∠BCQ =180°-∠ACP -∠ECD =60°，∴∠ACP =∠BCQ =60°．∵△ADC ≌△BEC∴∠CAP =∠CBQ ．∴∠CAP =∠CBQAC =BC∠ACP =∠BCQ∴△APC ≌△BQC ASA ．∴CP =CQ ，又∵∠PCQ =60°，∴△CPQ 为等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a 和b a >b 的两个等边三角形纸片ABC 和三角形C DE 叠放在一起(C 与C 重合)的图形．(1)将△C DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连接AD ，BE ．如图2：在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△C DE ，绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3：在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD 的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD 的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．【答案】(1)BE =AD ，证明见解析(2)BE =AD ，证明见解析(3)当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a +b ；当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a -b ．【分析】(1)先由等边三角形判断出AC =BC ，CE =CD ，再由旋转判断出∠BCE =∠ACD ，进而判断出△BCE ≌△ACD ，即可得出结论；(2)同(1)的方法，即可得出结论；(3)当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为a +b ，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为a -b ，即可得出结论．【详解】(1)解：BE =AD证明：∵点C 与C 1重合，△ABC 和△C 1DE ，∴△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CE =CD ，由旋转知，∠BCE =∠ACD =30°，在△BCE 和△ACD 中，BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD (SAS )，∴BE =AD ，(2)解：BE =AD ，证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CE =CD ，由旋转知，∠BCE =∠ACD ，在△BCE 和△ACD 中，BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD (SAS )，∴BE =AD ；(3)解：当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为AC +CD =a +b ，如图，∴当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a +b ，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为AC -CD =a -b ，如图，∴当α为0度或360度时，线段AD的长度最小，最小值为a-b．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△BCE≌△ACD是解本题的关键．4(2023春·广东梅州·七年级校考期末)【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP 为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)平行EC=AC+CD(3)有最小值，5【分析】(1)由ΔABC和ΔADE是等边三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因为∠BAC=∠DAE，则∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”证明ΔABD≌ΔACE；(2)①由(1)得ΔABD≌ΔACE(SAS)，得出∠B=∠ACE=60°，CE=BD，∠BAC=∠ACE，则AB∥CE；②因为CE=BD，AC=BC，所以CE=BD=BC+CD=AC+CD；(3)在BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，可证ΔEPC≌ΔEDM(SAS)，EC=EM，求得∠CEM= 60°，得出ΔCEM是等边三角形，则∠ECD=60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP =CP，当点E与点C重合时，BE+PE=BE+P E≥BP =5，进而解答此题．【详解】(1)证明：∵ΔABC和ΔADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE在ΔABD和ΔACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴ΔABD≌ΔACE(SAS)；(2)平行，EC=AC+CD，理由如下：由(1)得ΔABD≌ΔACE(SAS)，∴∠B=∠ACE=60°，CE=BD，∴∠BAC=∠ACE，∴AB∥CE，∵CE=BD，AC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD；(3)有最小值，理由如下：如图，在射线BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，∵ΔABC和ΔDPE是等边三角形，∴PE=ED，∠DEP=∠ACB=60°，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，∴∠ACD+∠DEP=120°+60°=180°，由三角形内角和为180°，可知：∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠PCE+∠CEP+∠EPC+∠ECD+∠CDE+∠CED=360°，又∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED=∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=360°-180°=180°，∵∠EDM+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，在ΔEPC和ΔEDM中，PE=ED∠EPC=∠EDM PC=DM，ΔEPC≌ΔEDM(SAS)，∴EC=EM，∠PEC=∠DEM，∵∠PEC+∠CED=∠DEP=60°，∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴ΔCEM是等边三角形，∴∠ECD=60°，∠ACE=180°-∠ECD-∠ACB=180°-60°-60°=60°，即点E在∠ACD的角平分线上运动，在射线CD上截取CP =CP，连接EP ，在ΔCEP和ΔCEP 中，PC=P C∠PCE=∠P CE=60°CE=CE，ΔCEP≌ΔCEP (SAS)，∴PE=P E，由三角形三边关系可知，BE+P E≥BP ，即当点E与点C重合，BE+P E=BP 时，PE+BE有最小值BP ，∵BP =BE+CP =BC+CP=3+2=5，∴BE+PE=BE+P E≥BP =5，∴BE+PE最小值为5．【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．【类型二共顶点的等腰直角三角形】90°．(1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是．(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5，CE=22，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是．【答案】(1)BE=AD，BE⊥AD(2)成立，理由见解析(3)21+2或21-2【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质得出AC=BC，EC=DC，再作差，得出BE=AD，再用∠ACB= 90°，即可得出结论；(2)先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD SAS，得出BE=AD，∠CAD=∠CBE，AC与BE交于M，AD与BE交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出∠MAN+∠AMN=90°，即可得出结论；(3)分两种情况，①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，求出CM=EM=12DE= 2，再用勾股定理求出AM，利用线段的加减即可得出结论；②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，求出CM=EM=12DE=2，再由勾股定理求出根据勾股定理得，AN，利用线段的加减即可得出结论．【详解】(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，∴AC-DC=BC-EC，∴BE=AD，点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故：BE=AD，BE⊥AD；(2)成立；如图2，AC与BE交于M，AD与BE交于N，由题意可知：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠CE，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE与△ACD中：BC=AC∠BCE=∠ACD CE=CD∴△BCE≌△ACD SAS，∴BE=AD，∠CAD=∠CBE，又∵∠ACB=90°，∠BMC=∠AMN，在△ANM中，∴∠MAN+∠AMN=∠CBE+∠BMC=90°，∴∠ANM=90°，∴BE⊥AD，所以结论成立；(3)①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CM⊥AD，∴CM=EM=12DE=2，在Rt△ACM中，AC=5，∴AM=AC2-CM2=52-22=21，∴AE=AM-EM=21-2；②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CN⊥AD，∴CN =NE =12DE =2，在Rt △ACN 中，AC =5，∴AN =AC 2-CN 2=52-22=21，∴AE =AN +NE =21+2，综上，AE 的长为21-2或21+2，故答案为:21-2或21+2．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，在等腰直角三角形ABC 和DEC 中，∠BCA =∠DCE =90°，点E 在边AB 上，ED 与AC 交于点F ，连接AD ．(1)求证：△BCE ≌△ACD ；(2)求证：AB ⊥AD ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据∠BCA =∠DCE =90°，可得∠BCE =∠ACD ，再由等腰直角三角形的性质可得BC =AC ,CE =CD ，可证明△BCE ≌△ACD ，即可求证；(2)根据△BCE ≌△ACD ，可得∠B =∠CAD ，从而得到∠CAD +∠CAE =90°，即可求证．【详解】(1)证明：∵∠BCA =∠DCE =90°，∴∠BCE +∠ECA =∠ECA +∠ACD =90°，∴∠BCE =∠ACD ，∵△ABC 和△DEC 是等腰直角三角形，∴BC =AC ,CE =CD ，在△BCE 和△ACD 中，BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD SAS ；(2)证明：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠B =∠CAD ，∵∠ACB =90°，∴∠B +∠CAE =90°，∴∠CAD +∠CAE =90°，即∠DAE =90°，∴AB ⊥AD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．2(2023春·八年级课时练习)(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB 的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD；(2)∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由见解析【分析】(1)延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD SAS，即可解决问题；(2)由△ACE≌△BCD，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：(1)如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE+∠ECB=∠BCD+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°，∴∠AHB=90°，∴AE⏊BD．故答案为：AE=BD，AE⏊BD．(2)∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由如下：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由(1)可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DM=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．3(2023·山东枣庄·统考二模)感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)，连接BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接CE．求：①∠ACE的度数；②若AB=AC=32，CD=3，则线段DE的长是多少？【答案】(1)BD=CE成立，证明见解析(2)①45° ②310【分析】(1)只需要利用SAS证明△ABD≌△ACE即可证明BD=CE；(2)①由等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再证明△ABD≌△ACE即可得到∠ABD=∠ACE=45°；②先由勾股定理得到BC=6，由全等三角形的性质得到∠ACE=∠ABD=45°，BD=CE，则∠BCE=90°，CE=9；则DE=CE2+CD2=310．【详解】(1)解：BD=CE成立，证明如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，由旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE SAS，∴BD=CE；(2)解：①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，∠BAD=CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE SAS，∴∠ABD=∠ACE=45°；②∵AB=AC=32，∴BC=AB2+AC2=6，∵△ACE≌△ABD，∴∠ACE=∠ABD=45°，BD=CE，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，CE=BD=BC+CD=6+3=9；∴DE=CE2+CD2=92+32=310．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【类型三共顶点的一般等腰三角形】1(2023春·山东泰安·七年级校考开学考试)如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=42°，AD、BE相交于点M．(1)试说明：AD=BE；(2)求∠AMB的度数．【答案】(1)见解析(2)42°【分析】(1)由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD；(2)根据全等三角形的性质可得∠CAD=∠CBE，再利用三角形内角和定理计算∠AMB．【详解】(1)解：证明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠BAC+∠ABC=180°-42°=138°，∴∠BAM+∠ABM=∠BAC-∠CAD+∠ABC+∠CBE=∠BAC+∠ABC=138°，∴∠AMB=180°-138°=42°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)如图，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，连接CD、BE．(1)如图1，当∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD、△ACE的形状是；②求证：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2，当AB=AD，AC=AE时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB=DB，AC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】(1)①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质即可证明；(2)①证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得△BAE与△DAC不全等，即可得出结论．【详解】(1)①∵△ABD是等腰三角形，△ACE是等腰三角形，∠BAD=∠CAE=60°∴△ABD、△ACE是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△BAE与△DAC中，∵AB=AD∠BAE=∠DAC AE=AC，∴△BAE≌△DAC SAS．∴BE=DC．(2)①当AB=AD，AE=AC时，成立．理由：如图，∵AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，∴△BAE≌△DAC SAS，∴BE=DC；②当AB=DB，AC=EC时，不成立．理由：如图，∵∠BAD=∠CAE≠60°，∴AB=DB≠AD，AC=EC≠AE，∴△BAE与△DAC不全等，∴BE≠DC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023秋·全国·八年级专题练习)定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC 和△CDE 为“同源三角形”，AC =BC ，CD =CE ，∠ACB 与∠DCE 为“同源角”．(1)如图1，△ABC 和△CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”△ABC 和△CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且∠ACE =90°，则∠EMD =°．(3)如图3，△ABC 和△CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明△PCQ 是等腰直角三角形．【答案】(1)AD =BE ，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】(1)由“同源三角形”的定义可证∠ACD =∠BCE ，然后根据SAS 证明△ACD ≌△BCE 即可；(2)由“同源三角形”的定义和∠ACE =90°可求出∠DCE =ACB =45°，由(1)可知△ACD ≌△BCE ，得∠ADC =∠BEC ，然后根据“8”子三角形即可求出∠EMD 的度数；(3)由(1)可知△ACD ≌△BCE ，可得∠CAQ =∠CBP ，BE =AD ．根据SAS 证明△ACQ ≌△BCP ，可得CQ =CP ，∠ACQ =∠BCP ，进而可证结论成立．【详解】(1)AD =BE ．理由：因为△ABC 和△CDE 是“同源三角形”，所以∠ACB =∠DCE ，所以∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ,∠ACD =∠BCE ,CD =CE ,所以△ACD ≌△BCE SAS ．所以AD =BE ．(2)∵△ABC 和△CDE 是“同源三角形”，∴∠ACB =∠DCE ．∵∠ACE =90°，∴∠DCE =ACB =45°．由(1)可知△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC =∠BEC ．∵∠MOE =∠COD ，∴∠EMD =∠DCE =45°．故答案为：45；(3)由(1)可知△ACD ≌△BCE ，所以∠CAQ =∠CBP ，BE =AD ．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ =BP ．在△ACQ 和△BCP 中，CA =CB ,∠CAQ =∠CBP ,AQ =BP ,所以△ACQ ≌△BCP SAS ，所以CQ =CP ，∠ACQ =∠BCP ．又因为∠BCP +∠PCA =90°，所以∠ACQ +∠PCA =90°．所以∠PCQ =90°，所以△PCQ 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3(2023春·辽宁丹东·七年级统考期末)(1)如图1，两个等腰三角形△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，连接BD ，CE ．则△ADB ≌，此时线段BD 和线段CE 的数量关系式；(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =90°，连接BD ，CE ，两线交于点P ，请判断线段BD 和线段CE 的关系，并说明理由；(3)如图3，分别以△ABC 的两边AB ，AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，两线交于点P ．请直接写出线段BE 和线段CD 的数量关系及∠PBC +∠PCB 的度数．【答案】(1)△AEC ，BD =CE ；(2)BD =CE 且BD ⊥CE ；(3)CD =BE ，∠PBC +∠PCB =60°【分析】(1)先判断出∠DAB =∠EAC ，进而判断出△ADB ≌△AEC ，即可得出结论；(2)先判断出△DAB ≌△EAC ，得出BD =CE ，∠DBA =∠ECA ，进而判断出∠DBC +∠ECB ，即可得出结论；(3)先判断出△ACD ≌△AEB ，得出CD =BE ，∠ADC =∠ABE ，进而求出∠BPD =60°，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAE +∠BAE =∠BAC +∠BAE ．即∠DAB =∠EAC ，在△ADB 和△AEC 中，AD =AE∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△ADB ≌△AEC SAS ，∴BD =CE ，故答案为：△AEC ，BD =CE ；(2)BD =CE 且BD ⊥CE ；理由如下：∵∠DAE =∠BAC =90°，∴∠DAE +∠BAE =∠BAC +∠BAE ．即∠DAB =∠EAC ．在△DAB 和△EAC 中，AD =AE∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△ADB ≌△AEC SAS ，∴BD =CE ，∠DBA =∠ECA ，∵∠ECA +∠ECB +∠ABC =90°，∴∠DBA +∠ECB +∠ABC =90°，即∠DBC +∠ECB =90°，∴∠BPC =180°-(∠DBC +∠ECB )=90°，∴BD ⊥CE ，综上所述：BD =CE 且BD ⊥CE ；(3)如图3所示，BE =CD ，∠PBC +∠PCB =60°，理由如下：∵△ABD 和△ACE 是等边三角形，∴AD =AB ，AC =AE ，∠ADB =∠ABD =∠BAD =∠CAE =60°，∴∠BAD +∠BAC =∠CAE +∠BAC ，∴∠CAD =∠EAB ，在△ACD 和△AEB 中，AD =AB ∠CAD =∠EAB AC =AE，∴△ACD ≌△AEB (SAS )，∴CD =BE ,∠ADC =∠ABE ，∴∠BPD =180°-∠PBD -∠BDP=180°-∠ABE -∠ABD -∠BDP=180°-∠ABD -∠ABE +∠BDP=180°-∠ABD -∠ADC +∠BDP=180°-∠ABD -∠ADB=60°，∴∠PBC +∠PCB =∠BPD =60°．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出△ADB ≌△AEC 是解本题的关键．。

解题技巧专题：共顶点的等腰三角形——形成精准思维模式，快速解题◆类型一共顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.求证：(1)AF＝AD；(2)EF＝BD.◆类型二共顶点的等边三角形3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC ＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________．5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：延长AD分别交BC和CE于G和F.由(1)知△ABD≌△CBE，∴∠BAD ＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC ＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.2．证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝180°－∠ABC＝135°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD.∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD，∴△ABF≌△ACD(SAS)，∴AF＝AD.(2)由(1)知△ABF≌△ACD，AF＝AD，∴∠F AB＝∠DAC.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∠EAB ＝∠EAF＋∠F AB＝90°，∴∠EAF＝∠BAD.∵AE＝AC，AB＝AC，∴AE＝AB，∴△AEF≌△ABD(SAS)，∴EF＝BD.3．D4．120°解析：设AC与BD交于点H.∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°.5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ，∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)．(2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .(3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .。

模型构建专题：共顶点的等腰三角形——明模型，记结论◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.(1)求∠AEB的度数；(2)探究线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．(常州中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，分别延长DC，BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是等边三角形．(1)求证：AE＝AF；(2)求∠EAF的度数．参考答案与解析1．解：(1)∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠1＋∠DCB ＝∠2＋∠DCB ＝90°，∴∠1＝∠2.在△ACD 和△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝EC ，∠1＝∠2，AC ＝BC ，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC .∵△DCE 是等腰直角三角形，∴∠3＝∠4＝45°，∴∠ADC ＝180°－∠3＝135°，∴∠BEC ＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠4＝135°－45°＝90°；(2)AE ＝BE ＋2CM .理由如下：∵△DCE 是等腰直角三角形，CM ⊥DE ，∴△DCM 、△ECM 均为等腰直角三角形，∴DM ＝ME ＝CM ，∴DE ＝2CM .由(1)可知AD ＝BE .∵AE ＝AD ＋DE ，∴AE ＝BE ＋2CM .2．(1)证明：∵△BCE 和△CDF 是等边三角形，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴∠EBC ＝∠CDF ＝60°，BC ＝BE ＝AD ，CD ＝DF ＝AB ，∠5＝60°.又∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠6＝∠5＝∠4＝60°，∴∠6＋∠EBC ＝∠4＋∠CDF ，即∠ABE ＝∠FDA ＝120°.在△ABE 和△FDA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FD ，∠ABE ＝∠FDA ，BE ＝DA ，∴△ABE ≌△FDA (SAS )，∴AE ＝AF ；(2)解：∵AB ∥CD ，∴∠4＋∠BAD ＝180°.由(1)可知∠4＝60°，∴∠BAD ＝120°.由(1)可知△ABE ≌△FDA ，∠FDA ＝120°，∴∠2＝∠3，∠1＋∠2＝60°，∴∠1＋∠3＝60°.∴∠EAF ＝∠BAD －∠1－∠3＝120°－60°＝60°.。

第08讲模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)目录【类型一共顶点的等边三角形】 (1)【类型二共顶点的等腰直角三角形】 (11)【类型三共顶点的一般等腰三角形】 (21)【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点C 是AB 上一点，ACM △、CBN △都是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．(1)求证：NAC BMC(2)连接EF ，判断CEF △的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CEF △是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质，（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明 SAS ACN MCB ≌，即可得证；（2）由（1）可得EAC FMC ，继而得到ACE MCF ，证明 ASA ACE MCF ≌，得CE CF ，根据等边三角形的判定即可得出结论；掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵ACM △与CBN △为等边三角形，∴60ACM BCN ，AC MC ，NC BC ，∴ACM MCN BCN NCM ，即ACN MCB ，在ACN △和MCB △中，AC MC ACN MCB NC BC，∴ SAS ACN MCB ≌；∴NAC BMC ；（2）CEF △为等边三角形．理由：∵180ACB ，60ACM BCN ，∴180606060MCF ACE ，∵NAC BMC ，即EAC FMC ，在ACE △和MCF △中，EACFMC AC MC ACE MCF，∴ASA ACE MCF ≌∴CE CF，∵60MCF ，∴CEF △是等边三角形．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形BCD 和等边三角形ACE ，连接AD ，BE ，其中AC BC ．(1)求证：AD BE ；(2)如图2，当点A C 、、B 在一条直线上时，AD 交CE 于点F ，BE 交CD 于点G ，求证：BG DF ；(3)利用备用图补全图形，直线AD ，BE 交于点H ，连接CH ，若3DH ，5CH ，直接写出BH 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8BH 【分析】（1）由“SAS ”可证ACD ECB △≌△，可得AD BE ；（2）由“ASA ”可证BCG D CF ≌，可得BG DF ；（3）如图3，过点C 作CP BE 于P ，CN AD 于N ，由面积法可求CP CN ，可证60BH C CH A ，由直角三角形的性质可求 2.5PH HN ，由“AAS ”可证BCP D CN ≌，可得 5.5D N BP ，即可求解．【详解】（1）证明：BCD ∵ 和ACE △是等边三角形，BC CD ，AC CE ，60BCD ACE ，BCE DCA ，在ACD 和ECB 中，AC CE ACD ECB CD BC，()ACD ECB ≌SAS ，AD BE ；（2）证明：AC D EC B ∵ ≌，EBC ADC ，∵点C 在线段AB 上，60BCD ACE ，60DCE BCD ，在BCG 和DCF 中，90EBC ADC BC CD BCG DCF，()BCG DCF ≌ASA ，BG DF ；（3）解：如图3，过点C 作CP BE 于P ，CN AD 于N ，EBC ADC∵，DBH EBC，60DHB DCB，120BHA2．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．教材再现：如图，ABD △，AEC △都是等边三角形．求证：BE DC ．(1)请写出证明过程；继续研究：(2)如图，在图1的基础上若CD 与BE 交于点O ，AB 与CD 交于点M ，AC 与BE 交于点N ，连接AO ，求证：AO 平分DOE ；(3)在（2）的条件下再探索OA ，OC ，OE 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)OE OA OC ，理由见解析．【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB AD ，AE AC ，60BAD BDA DBA CAE ，求出BAE DAC ，根据SAS 证ABE ADC △≌△即可；（2）过点A 分别作AG BE ，AH DC ，垂足为点G ，H ，由得到ABE ADC △≌△，从而ABE ADC S S ，故有AM AN ，根据角平分线判定即可求证；（3）在OE 上截取一点Q ，使得OQ OA ，证明AOQ △是等边三角形，即可证明 SAS OAC QAE ≌，从而得证．由（1）知：ABE ADC △≌△，BE ∴ABE ADC S S ，∴11··22BE AM DC AN ，∴AM AN ，由（1）知：ABE ADC△≌△， ，∴ADC ABE∴ADC BDO ABE BDO 在BOD中，为边在直线AD 右侧作等边三角形ADE ．(1)如图1，当点D 在BC 边上时，连接CE ，此时AB ，CD ，CE 之间的数量关系为______，ACE ______；(2)如图2，当点D 在BC 的延长线上时，连接CE ，（1）中AB ，CD ，CE 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；(3)如图3，当点D 在射线BC 上运动时，取AC 的中点F ，连接EF ，当EF 的值最小时，请直接写出CFE 的度数．【答案】(1)CE CD AB ；60(2)不成立，CE CD AB ，证明见解析(3)30【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明ABD ACE ≌△△，可得ACE B ，CE BD ，即可得到AB ，CD ，CE 之间的数量关系；（2）同（1）中原理证明ABD ACE ≌△△，可得AB ，CD ，CE 之间新的数量关系；（3）本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，连接CE ，取AB 的中点G ，连接DG ，根据ABD ACE ≌△△，证明BDG CFE ≌，则可得EF DG ，当GD BC 时，取最小值，则EF 此时也去最小值，即可求得此时CFE 的值，见手拉手模型则考虑证全等，将EF 转换到ABD △中等量的中线看最小值，是解题的关键．【详解】（1）解：ABC ∵ 是等边三角形，ADE V 是等边三角形，,AB AC AD AE ，BAC DAE ，,60AB BC B ，BAC DAC DAE DAC ，即BAD CAE ，在BAD 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE， SAS BAD CAE △≌△，CE BD ，60ACE B ，CE DC BD DC BC AB ，即CE CD AB ，故答案为：CE CD AB ；60 ；（2）不成立，CE CD AB ，证明如下：证明：ABC ∵ 是等边三角形，ADE V 是等边三角形，,AB AC AD AE ，BAC DAE ，AB BC ，BAC DAC DAE DAC ，即BAD CAE ，在BAD 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE， SAS BAD CAE △≌△，CE BD ，CE CD BD CD BC AB ，即CE CD AB ；（3）解：如图，连接CE ，取AB 的中点G ，连接DG ，【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ．(1)如图1，点D 、E 在AB ，AC 上，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D 在ABC 内部，点E 在ABC 外部，连接BD ，CE ，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)BD CE ，BD CE(2)BD CE ，BD CE ，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形结合线段的和差即可得到结论；（2）延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，证明ABD ACE ≌△△，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；【详解】（1）解：∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ，∴AB AC ，AD AE ，∴AB AD AC AE ，即BD CE ，∵点D ，E 在AB ，AC 上，AD AC ，∴BD CE ；（2）BD CE ，BD CE ，理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ，∴AB AC ，AD AE ，∵BAD BAC DAC ，CAE DAE DAC ，∴BAD CAE ，在ABC 和ADE V 中，AB AC BAD CAE AD AE，∴ABD ACE ≌△△，∴BD CE ，ABD ACE ，∵A F B G F C ，180AFB ABD BAC GFC ACE CGF ，∴90CGF BAF ，即BD CE ；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，ABC 与CDE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，则线段AE 、BD 的数量关系为_______，AE 、BD 所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A ，E ，D 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，请判断ADB 的度数及线段CM ，AD ，BD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE BD ，AE BD ；（2）90ADB ，2AD CM BD ；理由见解析【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ．只要证明 SAS ACE BCD ≌，即可解决问题；（2）由ACE BCD ≌，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，∴AC BC ，CD CE ，∴90ACE ECB BCD ECB ，∴ACE BCD ，∴ SAS ACE BCD ≌，∴AE BD ，CAE CBD ，∵90CAE AOC ，AOC BOH ，∴90BOH CBD ，∴90AHB ，∴AE BD ．故答案为：AE BD ，AE BD ．（2）90ADB ，2AD CM BD ；理由如下：如图2中，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，∴45CDE CED ，∴180135AEC CED ，由（1）可知：ACE BCD ≌，∴AE BD ，135BDC AEC ，∴1354590ADB BDC CDE ；在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM DM ME ，∴2DE CM ，∴2AD DE AE CM BD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点D 是直线BC 上的一动点（点D 不与B ，C 重合），连接CE ．（1）在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：BC =CE +CD ；（2）在图2中，当点D 在边BC 的延长线上时，结论BC =CE +CD 是否还成立？若不成立，请猜想BC ，CE ，CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D 在边BC 的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC ，CE ，CD 之间存在的数量关系及直线CE 与直线BC 的位置关系．【答案】（1）见解析；（2）结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由见解析；（3）BC CD CE ；CE BC ，理由见解析【分析】（1）证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC =BD +CD =CE +CD 成立；（2）同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC BD CD CE CD 成立，故BC =CE +CD 不成立；（3）补全图形，同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），利用全等三角形的性质即可作出结论：BC CD CE ；CE BC ．【详解】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AB =AC ，AD =AE ，90BAC DAE∴90BAD DAC CAE DAC∴BAD CAE∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴BD =CE∴BC =BD +CD =CE +CD（2）结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由如下：∵90BAC DAEBAC CAD DAE CADBAD CAE又∵AB =AC ，AD =AEBAD CAE SAS BD CEBC BD CD CE CD（3）BC CD CE ；CE BC ；理由如下：补全图形如图3，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，由（1）同理可得，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD EAC AD AE，(1)如图1，若30CAD ，10DCB ，求DEB 的度数；(2)如图2，若A 、D 、E 三点共线，AE 与BC 交于点F ，且CF BF ，AD (3)如图3，BE 与AC 的延长线交于点G ，若CD AD ，延长CD 与AB 交于点△BNM≌△BNT （SAS ），利用全等三角形的性质，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，90ACB DCE Q ，ACB BCD DCE BCD ，ACD BCE ，在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE，ACD ≌ SAS BCE ，30CAD CBE ，10DCB ∵，901080ECB ，180803070CEB ，45CED ∵，704525DEB ；（2）如图2中，过点C 作CQ DE 于Q ．∵，AD CD90ADC ，同理：ACD ≌BCE ，90ADC BEC ，90BCT ECB ∵，90ECB CBG ，BCT CBG ，在CBT 和BCG 中，90BCT CBG CB BC CBT BCG，CBT ≌ ASA BCG ，BT CG ，CT BG ，BM CG ∵，BM BT ，在BNM 和BNT 中，45BM BT NBM NBT BN BN，BNM ≌ SAS BNT ，MN NT ，CN MN CN NT CT BG ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若ABC 和ADE V 均为等腰三角形，且AB AC AD AE ，当ABC 和ADE 互余时，称ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，ABC 的边BC 上的高AH 叫做ADE V 的“余高”．(1)如图1，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，若连接BD ，CE ，判断ABD △与ACE △是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)如图1，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，当0180BAC 时，若ADE V 的“余高”是AH ．①请用直尺和圆规作出AH ；（要求：不写作法，保留作图痕迹）②求证：2DE AH ．(3)如图2，当90BAC 时，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，连接BD 、CE ，若6BD ，8CE ，请直接写出AB 的长．【答案】(1)是(2)见详解(3)5【分析】（1）根据题意可得90ABC ADE ，90ACB AED ，四边形内角和为360 ，求出【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，AB AC BC ．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE 时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC ．(2)若60BAD CAE ，①如图2，当AB AD AC AE ，时，BE DC 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ，时，BE DC 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD ，AE AC ，60DAB CAE ，证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE 与DAC △不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE∴ABD △、ACE △是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵ABD △、ACE △是等边三角形，∴AB AD ，AE AC ，60DAB CAE ，∵DAC DAB BAC ，BAE CAE BAC ，∴DAC BAE ，在△BAE 与△DAC 中，∵AB AD BAE DAC AE AC，∴ SAS BAE DAC ≌ ．∴BE DC ．（2）①当AB AD ，AE AC 时，成立．理由：如图，∵AB AD ，BAE DAC ，AE AC ，∴ SAS BAE DAC ≌ ，∴BE DC ；②当AB DB ，AC EC 时，不成立．理由：如图，∵60BAD CAE ，∴AB DB AD ，AC EC AE ，∴BAE 与DAC △不全等，∴BE DC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC 和CDE 为“同源三角形”，AC BC ，CD CE ，ACB 与DCE 为“同源角”．(1)如图1，ABC 和CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC 和CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE ，则 EMD ______°．(3)如图3，ABC 和CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE ，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE ，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE 可求出45DCE ACB ，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ，然后根据“8”子三角形即可求出EMD 的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP ，BE AD ．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP ，ACQ BCP ，进而可证结论成立．【详解】（1）AD BE ．理由：因为ABC 和CDE 是“同源三角形”，所以ACB DCE ，所以ACD BCE ．在ACD 和BCE 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE所以 SAS ACD BCE △≌△．所以AD BE ．（2）∵ABC 和CDE 是“同源三角形”，∴ACB DCE ．∵90ACE ，∴45DCE ACB ．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ．∵MOE COD ，∴45EMD DCE ．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，所以CAQ CBP ，BE AD ．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ BP ．在ACQ 和BCP 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP所以 SAS ACQ BCP △≌△，所以CQ CP ，ACQ BCP ．又因为90BCP PCA ，所以90ACQ PCA ．所以90PCQ ，所以PCQ △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①，在ABC 与ADE V 中，AB AC ，当BAC BAD BAE 、、、满足条件____时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”；(2)如图②，在ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC ，BE CD 、相交于点M ，连AM ，求证：MA 平分BMD(3)如图③，在四边形ABCD 中，180BAD BCD ，AD AB ，AC BC DC ，求BAD 的度数．【答案】(1)BAE BAC BAD ；(2)见解析(3)60BAD【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出BAC BAD BAE 、、的关系便可；（2）过点A 作AM BE 于点M ，作AN CD 于点N ，再证明ABE ACD ≌得AM AN ，再根据角平分线的判定定理得结论；（3）延长CD 至E ，使得DE BC ，连接AE ，证明ABC ADE △≌△，进而得ACE △是等边三角形，便可得60BAD CAE ．【详解】（1）∵在ABC 与ADE V 中，AB AC ，∴当BAC DAE 时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，∵BAE DAE BAD ，∴BAE BAC BAD ，故当BAE BAC BAD 时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，故答案为BAE BAC BAD ；（2）过点A 作AH BE 于点H ，作AN CD 于点N ，∵在ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC ，∴BAC DAE ，AD AE ，∴BAE CAD ，∴ SAS ABE ACD ≌，∴AH AN （全等三角形的对应高相等），∴MA 平分BMD ；（3）延长CD 至E ，使得DE BC ，如图③，∵180BAD BCD ，∴360180180 ABC ADC ，∵180ADC ADE ，∴ABC ADE ，∵AB AD ，∴ SAS ABC ADE ≌，∴AC AE BAC DAE ，，∴BAD CAE ，∵AC BC DC DE DC CE ，∴AC CE AE ，∴60CAE ，∴60BAD ．【点睛】此题考查了新定义，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形和全等三角形是解本题的关键．。

共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论共顶点等腰三角形旋转模型是数学中常见的几何问题，它涉及到旋转、对称等概念与性质。

本文将以共顶点等腰三角形旋转模型为主题，探讨其基本做法与结论。

一、问题描述我们考虑一个共顶点等腰三角形ABC，其中AB=AC，以A为顶点作一条直线AD，且AD与BC相交于点D。

现在，我们将等腰三角形ABC绕点D进行旋转，旋转角度为θ，求旋转后的三角形A'B'C'的性质。

二、基本做法1. 确定旋转后的三角形根据旋转的定义，我们知道旋转是将一个图形绕着某个点旋转一定角度，得到一个新的图形。

在本题中，我们将等腰三角形ABC绕点D旋转，因此旋转后的三角形为A'B'C'。

2. 确定旋转角度旋转角度θ是一个关键的参数，它决定了旋转后的图形与原图形的关系。

在本题中，我们需要确定旋转角度θ的值。

3. 分析旋转后的三角形性质旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC之间存在一些性质的关系，我们需要分析旋转后的三角形的各个性质，如边长、角度等。

三、结论通过对共顶点等腰三角形旋转模型的分析和计算，我们得出以下结论：1. 旋转后的三角形A'B'C'也是一个等腰三角形，即A'B' = A'C'；2. 旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC共顶点A，即A'、B'、C'三点共线。

这些结论可以通过具体的计算和证明进行验证，但在本文中我们不做具体的推导和证明。

四、实际应用共顶点等腰三角形旋转模型在几何学中具有重要的应用价值。

例如，在建筑设计中，我们常常需要通过旋转来生成对称的图形，而共顶点等腰三角形旋转模型就是一种常用的方法。

通过对旋转后的图形进行分析，我们可以更好地理解建筑物的结构和形态，并进行合理的设计和规划。

在计算机图形学中，共顶点等腰三角形旋转模型也是一种常见的变换操作。

共顶点的等腰直角三角形哎，今天咱们聊聊一个有趣的话题，等腰直角三角形。

这听起来有点数学味道，不过别担心，我会让它变得轻松有趣，保证你听了之后也想说，“这玩意儿还真挺有意思！”想象一下，一块蛋糕被切成两半，结果发现这两半又完全相同，就像等腰直角三角形的两个直角边一样，都是一模一样的！是不是觉得挺可爱的？嘿，数学里的那些点、线、面，看似冰冷的符号，其实背后藏着不少温暖的故事呢。

说到等腰直角三角形，首先得提它那两个相等的边。

哦，想象一下，你和你的好朋友，身高一样，穿着同样的衣服，走到街上，回头率简直爆表。

可不是因为你们长得特别好看，而是那种一模一样的感觉，真让人忍不住想多看几眼。

再说，直角三角形嘛，那个90度的角就像是我们生活中的“转折点”，每次遇到问题，往往就能从这个“角度”找到新的解决办法。

嘿，谁说生活一定要直线前进？偶尔拐个弯，也许会发现更美的风景。

等腰直角三角形还有个特性，最短的边和最长的边之间的关系就像朋友之间的默契。

就拿咱们的好朋友小明和小红来说吧。

小明总是喜欢说，“小红，你这儿有点儿不对劲。

”小红呢，总是可以一眼看出小明心里的小九九。

这个直角三角形里的斜边就像是小明的那些心思，虽说藏得深，但总能被小红一眼看穿。

哈哈，数学真的是生活的缩影，处处都能找到共鸣。

再说说它的面积吧。

记得小时候，我总是和同学们一起比赛，谁能算出这个三角形的面积。

公式就是底乘高除以二，听上去简单，但做起来可得小心翼翼。

这就像我们的生活，有时候简单的道理却难以实践。

就像把生活中的小烦恼变成一大堆的困扰，搞得自己晕头转向。

没事儿，学会把问题化繁为简，运用好这等腰直角三角形的思想，就能轻松应对。

在学校里，老师总是喜欢用等腰直角三角形教我们那些抽象的知识。

嘿，那时候总觉得它是数学课上的“明星”，大家都想在课堂上表现得特别棒。

想想那种感觉，心里乐滋滋的。

可是到了现实生活中，有时我发现，等腰直角三角形的“明星”光环就没那么耀眼了。

人教版八年级数学专题复习两个等腰直角三角形共点专题本文介绍了两个等腰直角三角形共点的相关知识和解题方法。

基本方法：对于两个等腰直角三角形，如果它们共点，但顶点直角开口方向相反，可以通过平移其中一个三角形，使它们的底边重合，从而进行相关问题的求解。

典型例题：考虑同侧型问题，如图所示，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DEF中，连接DC，M是中点，求EM,AM的大小关系。

我们可以将DE平移到CF，或者将EM倍长到MF，然后证明△XXX≌△AFC，关键在于证明∠ABE=∠ACF。

由于DE⊥BE，CG⊥XXX，因此有∠ABE=∠ACF。

这样就可以得到EM=MF，AM=MC，即EM=AM/2.对于对侧型问题，如图所示，在两个等腰直角三角形ABC和AEF中，顶角互补，我们可以将AE平移到BC，或者将中线AF倍长到BC，从而进行相关问题的求解。

提高：考虑如图所示，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DBE中，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF。

我们需要探究FG与DC的位置关系和数量关系，以及△BDE绕B点逆时针旋转180°时，(1)中的结论是否仍然成立。

首先可以证明四边形BEFG是矩形，然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以得到FG与DC垂直且FG=DC/2.当且仅当FG=EF时，平行四边形BEFG是正方形，即△BDE绕B点逆时针旋转180°时，(1)中的结论仍然成立。

最后，我们还介绍了一个关于正方形的问题：如图所示，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC。

我们需要探究当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形。

我们可以先证明四边形BEFG是矩形，然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以得到PG与PC的夹角为60°时，平行四边形BEFG是正方形。

专题 利用共顶点的等腰三角形证全等一、共顶点的等边三角形：01．已知△ABC 与△ADE 均为等边三角形，点A 、E 在BC 的同侧．⑴如图1,点D 在BC 上,写出线段AC 、CD 、CE 之间的数量关系,并证明;⑵如图2,若点D 在BC 的延长线上,其它条件不变,直接写出AC 、CD 、CE 之间的数量关系．【解答】：解：⑴CD ＋CE ＝AC ，证△ABD ≌△ACE （SAS )，BD ＝CE ．⑵CD －CE ＝AC ，证法同⑴．点评：由等边△ABC 和等边△ADE 共顶点A ，证三角形全等．二、共直角顶点的等腰直角三角形：02．如图，AB ＝AC ，AE ＝AF ，∠BAC ＝∠EAF ＝90°，BE 、CF 交于M ，连AM ．⑴求证：BE ＝CF ；⑵求证：BE ⊥CF ；⑶求∠AMC 的度数．【解答】：解：⑴证△BEA ≌△CF A ．⑵∠ABE ＝∠ACF ，∴∠CMB ＝∠CAB ＝90°．⑶作AG ⊥BE 于G ，AH ⊥CF 于H ，证△AGB ≌△AHC ，AG ＝AH ，∠AMG ＝45°，∴∠AMC ＝135°．点评：由共直角顶点A 的两个等腰直角三角形证三角形全等．AB E CF MG H A BE CF MA B DC E图2 ABD CE 图1三、构造共顶角顶点的等腰三角形：03．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一动点，且AB ＝AC ，DA ＝DE ，∠BAC ＝∠ADE ＝120°，求∠BCE 的度数．【解答】：解：作∠CDM ＝120°，交CA 的延长线于M ，△ADM ≌△EDC （SAS )，∠DCE ＝∠M ＝30°．点评：图中有两个等腰△ABC 和△ADE ，但不共顶角顶点，故构造两个共顶角顶点等腰△MDC 和△ADE ．AB EC DMAB EC D。

等腰三角形解题技巧等腰三角形是一种具有特殊性质的三角形，其两边长度相等，两个底角相等。

在解题时，我们可以根据等腰三角形的性质，采用不同的技巧来解决问题。

1. 边相等对于边相等的等腰三角形，可以根据三边长度确定三个内角的大小，从而得到等腰三角形的所有性质。

例如，可以根据三角形内角和公式计算出三角形第三个角的大小，或者根据等腰三角形的对称性，得到底角的大小。

2. 角相等对于角相等的等腰三角形，可以通过角边夹角和圆周角等知识点得到等腰三角形的所有性质。

例如，可以根据角边夹角公式，计算出三角形另外两个角的大小，或者根据圆周角公式，得到三角形三个内角大小的关系。

3. 轴对称对于轴对称的等腰三角形，可以根据对称轴将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，从而得到等腰三角形的所有性质。

例如，可以根据轴对称的性质，得到等腰三角形底边中点到顶点的距离等于底边的一半。

4. 运用定理对于一般的等腰三角形，可以根据一些定理来解题，例如“等边对等角”和“等腰三角形底边中点到顶点的距离等于底边的一半”等。

这些定理可以直接应用于解题中，帮助我们快速得到问题的答案。

5. 构造等腰三角形对于一些难以直接解决的题目，可以构造出等腰三角形，从而将题目转化为比较简单的形式。

例如，在证明两个角相等时，可以构造一个等腰三角形，利用其对称性得到两个角相等。

6. 分类讨论对于一些比较复杂的题目，可以将题目进行分类讨论，从而得到解决。

例如，在解决等腰三角形内部一点到三边的距离之和为定值的问题时，可以分别讨论该点在等腰三角形内部的位置，从而得到不同的答案。

7. 转化为线段或角度问题对于一些仍然难以解决的题目，可以将其转化为线段或角度问题，从而找到解决的方法。

例如，在解决等腰三角形内部一点到三边的距离之和为定值的问题时，可以将问题转化为证明两边之和大于第三边的问题，从而利用三角形三边的关系来解决该问题。