5维中心的9维二步幂零李代数的分类

第２８卷第２期　

２０１１年６月　苏州科技学院学报（自然科学版）　

ｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏｌ＿２８　Ｎｏ．２　

Ｊｕｎ．２０１１　

５维中心的９维二步幂零李代数的分类　

王　蕾．任　斌　

（苏州科技学院数理学院，江苏苏州２１５００９）　

摘要：通过选择适当的基，给出了中心是５维的９维二步幂零李代数的一个完整分类。在一定程度上完善了幂零　

李代数的分类。　

关键词：极小生成元系；基；极大环面　

中图分类号：０１５２　ＭＲ（２０００）Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：１７Ｂ３０　

文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—０６８７（２０１１）０２－－０００５—０４　

分类问题是特征为零的闭域上有限维李代数研究的一个主要问题。Ｌｅｖｉ定理使这一问题分为两种情　

形：半单李代数和可解李代数。又由于Ｍａｌｃｅｖ的工作，可解情形又可归结为幂零情形。复数域上有限维半单　

李代数的分类已得到了完美的结果，相比之下，幂零李代数的分类相去甚远。虽然人们运用了多种方法进行　

研究，但由于该问题的极端复杂性，研究工作进展缓慢。１９９３年，Ｃ．Ｓｅｅｌｙ给出了７维幂零李代数的分类【１］。８　

维及以上幂零李代数目前还没有完整的分类，只得到部分结果。如Ｅｃｈａｒｔｅ和Ｇｏｍｅｚ给出了９维ｆｉｌｉｆｏｒｍ李　

代数的分类［２１，Ｂｏｚａ．Ｅｃｈａｒｔｅ和Ｎｕｎｅｚ给出了１０维ｆｉｌｉｆｏｒｍ李代数的分类【引。二步幂零李代数是一类重要的幂　

零李代数．它在李群及微分几何等领域有很多应用。复数域上的二步幂零李代数的性质已有学者研究ｌ４】，笔　

者给出了复数域上中心为５维的９维二步幂零李代数的分类。文中所讨论的都是复数域上幂零李代数。　

１基础知识　

引理ｌ嘲如果Ⅳ是一个幂零李代数．则下述命题等价：　

（１）　。，　，…，Ｘｎ｝是一个极小生成元系；　

（２）　＋　，　：＋Ｎ２，…，　】是向量空间Ⅳ／，ｖ２的一个基。这里Ｎ２＝［Ⅳ，，ｖ］。　由幂零李代数Ⅳ上的半单导子构成的ＤｅｒＮ的极大交换子代数，称为Ⅳ上的一个极大环面。Ⅳ关于极大　

环面能够分解成根空间的直和：Ⅳ＝　。称ｍｕｌｔ（ｏｒ）：＝ｄｉｍＮ，￣为根　的重数。如果　∈Ⅳｎ，记ｄｉｍ［ｘ］＝ｄｉｍＮ￣。　ｄＥⅣ‘　定义ｌ【５Ｊ设日是Ⅳ上的一个极大环面，称由　的根向量构成的极小生成元系为Ⅳ的一个Ｈ－ｍｓｇ。　

定义２【６】设　，　，…，Ｘｎ｝是幂零李代数Ⅳ的一个极小生成元系。麓的关联集定义为Ｃ（ｘ　）＝｛　ｌ　，矧≠０），　

ｐｉ＝ｌＧ（ｘ　）Ｉ称为　的关联数，整数列（ｐ　，Ｐ：，…，ｐ　）称为｛　，　，…，　Ｊ的关联序列。称Ⅳ的由关于其上环面　的　

根向量构成的极小生成元系为一个Ｈ—ｍｓｇ。　

定义３阁Ⅳ的一个极小生成元系称为一个（ｐ　，Ｐ２，…，ｐ　）一ｍｓｇ，若它的关联序列为　，Ｐ　，…，ｐ　）。称它为　

一个　，ｐ２，…，ｐ　）一日一脚ｇ，若它还是一个Ｈ－ｍｓｇ。　

定义４ｌ６ｌ若Ⅳ有一个子空间　．使得Ｎ＝Ｕ＋Ｃ　Ｃ２　…＋　，则称Ⅳ为拟循环的。　

定义５ｔ￣设　，　２，…，Ｘｎ】是Ⅳ的一个（Ｐ。，ＪＰ：，…，ｐ　）一　ｇ，定义【　＝＜ｋ，　】，…，［Ｘｉ　．】＞是由（　，　‘】，…，　

ｋ，　。］）生成的子空间，其中　，…，　．｝＝Ｇ（麓）。　

引理２【６】设Ｎ是拟循环的，　，　，…，　）是Ⅳ的一个Ｈ　一ｍｓｇ，｛ｙ　，ｙ２，…，　Ｊ是Ｎ的一个Ｈ　一臃ｇ。那么存　

【收稿日期】２０１０－０６－２２　

【作者简介】王　￣（１９８５一），女，山东青岛人，硕士研究生，研究方向：李代数及其表示理论。

　６　苏州科技学院学报（自然科学版）　２０１　１年　

在０∈ＡｕｔＮ，使得（ｙ　，ｙ２，…，　）Ｔ－Ａ（Ｏ（ｘ　），Ｏ（ｘ　），…，Ｏ（ｘ　））　。其中（Ｙ　，ｙ２，…，　）　是矩阵（Ｙ－，ｙ２，…，Ｙ　）的转置，Ａ　

是一个ｎｘｎ可逆矩阵。特别地，若ｄｉｍ［ｘｉ］＝１，Ｖ　，则Ａ是一个ｍｏｎｉｍｉａｌ矩阵（即每行每列恰有一个非零元素）。　

引理３旧若Ⅳ是一个二步幂零李代数（即　≠Ｏ，Ｎ３＝Ｏ），那么Ｃ（Ｎ）＝Ｎ２当且仅当对任意（Ｐ　，Ｐ　，…，Ｐ　）一　

ｍｓｇ，Ｐｉ＞０。　引理４ｍ设Ⅳ是一个二步幂零李代数，　，　：，…，　｝是Ⅳ的一个极小生成元系，若Ⅳ的一个线性变换ｈ　

满足：　，　＝　（筏），瑚十ｋ，　（　）］，０≤　√≤　。那么ｈ∈ＤｅｒⅣ。　引理５ｔｓｊ设Ⅳ是一个二步幂零李代数，　，　，…，　】是Ⅳ的一个极小生成元系，若ｊ　ｈｏ∈ＤｅｒⅣ满足　

。（耘）＝　ｉ，且ａ／＃ａ；，　≠　，那么存在『ｖ上的一个极大环面　，使得　，　，…，　｝是一个Ｈ－ｍｓｇ，且ｄｉｍ［ｘ￣］＝ｌ。　

２　主要结果　

定理１下列中心为５维的９维二步幂零李代数是不同构的：　

ＮＩ９，５：Ｎ有一个（２，３，２，３）一ｍｓｇ：｛　１，　２，　３，　４），使得　１，　２］，　ｌ，　４］，　２，　３】，　２，　４］，　３，ｘ４］是线性无关的。　

一：Ⅳ有一个（３，３，３，３）一ｍｓｇ：　ｌ，　２，　３，　４Ｊ，使得　ｌ，ｘ２］，　１，　３】，　１，ｘ４］，　２，ｘ３］，　３，　４］是线性无关的，且　

Ｉｘｌ，　３】＝　２，ｘ４］。　证明　对于Ⅳ１　，由引理４存在ｈ１∈ＤｅｒＮ，使得ｈ１关于基　１，　２，　３，　４，　１，　２］，　２，　３］，　２，　４］，　３，　４］，　１，　４］】　

的矩阵是ｄｉａｇ（１，一１，３，一３，０，２，一４，０，－２）。由引理５，存在Ⅳ　，　上的一个极大环面目　，使得　，Ｘ２　３，　）是一　

个Ｈ广ｍｓｇ，且ｄｉｍ［ｘ　１＝１，１≤　≤４。　

对于Ⅳ２９　，由引理４存在ｈ２∈ＤｅｒＮ，使得ｈ２关于基　１，　２，　３，　４，　１，ｘ２］，　２，　３】，　３，　４］，　ｌ，ｘ４］，　ｌ，　３］｝的矩阵　

是ｄｉａｇ（１，３，一ｌ，一３，４，２，一４，一２，０）。由引理５，存在　，　上的一个极大环面Ｈ　，使得　，Ｘ２　３，　）是一个日ｚ—　

ｍｓｇ，且ｄｉｍ［ｘｉ］＝１。１≤ｉ≤４。　

由引理２可知，这两个李代数不同构。　

引理６若ｄｉｍＮ２＝５，　１，Ｘ２　３，　）是Ⅳ的一个（Ｐ１，ｐ２，ｐ３，Ｐ　）一ｍｓｇ，若存在一个瓤，使得ｄｉｍ［［ｘｉ］］≤２，则Ｎ　

有一个（２，２，３，３）一ｍｓｇ，那么Ⅳ与定理１中的Ⅳｌ９　同构。　

证明　由于ｄｉｍＮ２＝５，故Ｐ　＞１，１≤　≤４。不妨设ｄｉｍ［￣１］］≤２。　

若ｐ　＝２，易知Ⅳ有一个（２，２，３，３）一ｍｓｇ，故Ⅳ与定理１中的Ⅳ１　同构。　

若Ｐ１：３，由于ｄｉｍ［￣１］］≤２，有０　１，ｘ２］＋ｂ［ｘ１，　３】＋ｃ　１，￣１７４］＝０，从而　１，ａｘ２＋ｂｘ３＋ＣＸ４］＝０。易知Ⅳ与定理１中的　

Ⅳ１　９＇　同构。　

定理２若Ⅳ是一个二步幂零李代数，且ｄｉｍＮ＝９，ｄｉｍＮ２＝５，则Ⅳ与定理１中的一个李代数同构。　

证明　设｛　。，　２，　３，　）是Ⅳ的一个（Ｐ。，ｐ２，ｐ３，Ｐ４）一ｍｓｇ。若存在麓，使得ｄｉｍ［Ｉｘ　］］≤２，由引理６，Ｎ有一个　

（２，３，２，３）一　ｇ。故与定理１中Ⅳ１　，　的同构。讨论如下情况：ｄｉｍ［　Ｊ】＝３，１≤　≤４。此时　，Ｘ２，Ｘｓ，　）是一个　

（３，３，３，３）一ｍｓｇ。由于ｄｉｍＮ２＝５，存在不全为零的ａ　，ｂ　，ｃ　，ｄ　，ｅ　使得　

０　Ｉｘ１，　２］＋６　ｌ，Ｘ３］＋Ｃ　ｌ，　４］＋ｄ　２，ｘ３］＋ｅ　３，ｘ４］　２，Ｘ４］＝０　情形１　ａ　，ｂ　，Ｃ　，ｄ　，ｅ　厂中至少有一个等于零。　

由于可以做下标置换，不妨设ｅ　：０。　

情形１．１　ｆ≠Ｏ　

不妨设　２，　４】＝（　ｌ，　２］＋６　ｌ，　３］＋ｃ　１，　４］＋ｄ　２，　３】。　

情形１．１．１　ｂ＝０　

此时有　２，ｘ４］：Ⅱ　１，　２］＋ｃ　１，ｘ４］＋ｄ［ｘ２，　３】，于是有　２，　４一　３＋ａｘ１］＝【ｃ　１，ｘ４－ｄｘ３＋ｏａｆ１］＋［ｃ　１，ｄｘ３］，从而　

２一ＣＸｌ，Ｘ，４一（　３＋（ｚ　ｌ】＝【ｃ　１，ｄｘ３】　

当ｃｄ≠Ｏ时，令ｙｌ：ｃ　１，ｙ２　２－－ＣＸ１，Ｙ３＝ｄｒ，３，ｙ４＝ｘ４一　３＋ａｘ１。由于ｄｉｍ［Ｍ］＝３，１≤　≤４，（Ｙ１，ｙ２，ｙ３，ｙ４）是一个　

（３，３，３，３）一　ｇ，且［ｙ　，ｙ３］＝ｙ２，ｙ４］，故Ⅳ与Ⅳ２９　同构。　

当ｃｄ＝Ｏ时，令　１，ｙ２＝Ｘ２一ｃｘ１，ｙ３＝Ｘ３，ｙ４＝ｘ４一　３＋ａｘ１。易知（），ｌ，ｙ２，ｙ３，　）是一个（３，２，３，２）一ｒｍｇ，故Ⅳ与Ⅳｌ　’

　第２期　王　蕾等：５维中心的９维二步幂零李代数的分类　

同构。　

情形１．１．２　ｂ≠０　

若ｂ＋ｃｄ＃Ｏ，则　２，　４＿＿　３＋　１］：　１，ｂｘ３＋ｃｘ４］。令　７　

则　ｔ，ｙ２，ｙ３，ｙ４｝是一个极小生成元系。若　，　＝０，由于　，ｙｓ】＝［ｙ２，ｙ４］，这与ｄｉｍＮ２＝５矛盾。于是（），　，ｙ２，Ｙ。，ｙ４ｊ是一　

个（３，３，３，３）一ｍｓｇ，故Ⅳ与Ⅳ２９’　同构。　

若ｂ＋ｃｄ＝０，有　２，蜘＝出ｌ，　＋　１，—　３　４］　２，　３］，从而　２一删Ｊ，一ｄｘ３协４］＝口　Ｊ，Ｘ２－６＇Ｘｉ］。即　２一ｃ　Ｉ，—　３忆４＋　

似　】＝Ｏ。令　

（Ｙ１，ｙ２，Ｙ３，　）＝（　１，　２，　３，　４）　

于是有　ｚ，ｙ４］＝０。则｛ｙ　，ｙ２，Ｙ３，ｙ４ｌ是一个（３，２，２，３）一ｍｓｇ，故Ⅳ与Ⅳ　’　同构。　

情形１．２　ｆ＝ｏ　

此时Ｏ，ｔ　１，　２】＋６　Ｉｘｌ，．９Ｃ３］－Ｉ－Ｃ　１，ｘ４］＋ｄ　２，　３】＝０。因为ｄｉｍ［［ｘ１】】＝３，故ｄ　≠０。　

不妨设　２，　３］＝（　ｌ，　２］＋６　１，ｘ￣ｌ＋ｃ［ｘ１，　４１。　

若ｃ＝０，于是有［ｘ２－ｂｘｌ，ｘ３＋ａｘ１］＝０。令ｙｌ　ｌ，），２　２－ｂｘ１，，，３　３＋ａｘ１，　＝礼。易知　１，ｙ２，），３，州是一个（３，２，２，３）－　

ｍｓｇ，故Ⅳ与，、，１　，　同构。　

若Ｃ≠０，于是有　２，　３＋僦１］＝　ｌ＇ｂｘｚ＋ｃｘ４］。令　１，　２，ｙ３＝ｂｘ３￣＂ｔ－ＣＸ４，ｙ４＝ｘ３＋僦】。此时ｆＹ】，ｙ２，ｙ３，　）是一个　

（３，３，３，３）一ｍｓｇ，且［ｙ　，　】＝　，ｙ４］，故Ⅳ与Ⅳ２９　同构。　

情形２　０　，ｂ　，Ｃ　，ｄ　，ｅ　均不为零。　

不妨设　２，　４］＝出１，ｘ２］＋ｂ［ｘ１，ｘ￣ｌ＋ｃ［ｘ１，ｘ４ｌ＋ｄ［ｘ２，ｘ３］＋ｅ［ｘ３，ｘ４］，其中ａｂｃｄｅ≠Ｏ。　

情形２．１　ｂ≠一ａｅ—ｃｄ　

有　２，　４］＝　ｌ，ａａｃｚ＋ｂｘ３＋ｃｘ４］＋［ｘ３，ｅｘ４－ｄｘ２］。　

两边同时乘以ｅ得　

２，ｅ　４－ｄｘ２］＝［ｅｘｌ，　２＋ｂｘ３＋ｃｘ４］＋［ｅｘ３，ｅｘ４－ｄｘ２］　

从而　２一ｅｘ３，ｅ　４－ｄｘ２］＝［ｅｘｌ，ａ，Ｔｆ，２＋ｂｘ３ｑ－ＣＸ４］。令　

易知｛），。，ｙ２，ｙ３，ｙ４｝是一个（３，３，３，３）一ｍｓｇ，且满足　，），３】＝　，ｙ４］，故Ⅳ与　’　同构。　

情形２．２　６＝一　一ｃｄ　

：于二是有　２，　４］＝（牡１，Ｘ２卜（　ｌ，ｘ３］－ｃｄ［ｘ１，　３］＋ｃ　１，　４］＋ｄ　２，　３］＋ｅ　３，ｘ４］。　

于是有　２，　４＋ａｘ１一　３］＝【ｃ　ｌ，　４一　３］＋［ｅ　３，　４＋似１］。　

从而有　２一ｅ　３一ｃ　１，　４＋蕊１－ｄｘ３］＝Ｏ。令　０　０　●　Ｏ　Ｏ　６　Ｃ　０　１　０　０　１　Ｏ　Ｏ　０　

０　Ｏ　０　１　口Ｏ　●　

Ｏ　Ｏ