关于复半单线性李代数的loop代数的幂零元的一些结果

完备Leibniz代数的性质及其低维分类曾阳;林磊【摘要】本文研究了完备Leibniz代数的性质及低维分类.利用Leibniz代数中平方元生成的双边理想,获得了小于五维的完备Leibniz代数完整的分类,以及五维时一类特殊情况下完备Leibniz代数的分类,从而推广了Leibniz代数的结构理论.%In this paper we study the properties of complete Leibniz algebras and their classification of low dimensions. By using the two-sided ideals which are generated by square elements, we obtain complete classification of complete Leibniz algebras of dimension less than five. We also obtain the classification of the special case of five-dimensional complete Leibniz algebras. All these results develop the construction theory of Leibniz algebras.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)003【总页数】12页(P487-498)【关键词】Leibniz代数;完备李代数;完备Leibniz代数【作者】曾阳;林磊【作者单位】华东师范大学数学系,上海200241;华东师范大学数学系,上海200241【正文语种】中文【中图分类】O152.5Leibniz代数最早是由Bloch在文献[12]中考虑,当时被称为D-代数.直至上世纪九十年代,Loday[13]在研究不满足交错性的广义李代数时,正式提出了这个概念.关于非李的Leibniz代数分类问题,二维、三维以及四维幂零的情况已有完整分类,而其它情况下Leibniz代数的结构尚未有清晰而完整的刻画,关于Leibniz代数其它方面的研究则主要集中在关于同调问题等的抽象理论上(参见文献[6,10,11]等).上世纪四五十年代一些学者提出了完备李代数的概念,并对这类代数进行过研究.所谓完备李代数,就是满足中心为零而且导子都是内导子的一类特殊的李代数,我们常见的有限维复半单李代数就是完备李代数.关于完备李代数的结构和性质已有很深刻的结果(参见文献 [3]),但完备李代数的分类问题并没有完全解决.对于低维完备李代数,朱林生,孟道骥在文献[8]中给出了幂零根基维数≤6以及所有的≤7维完备李代数的分类.在前人工作的基础上,综合上述两类代数的特点,东北师范大学的常丽在其硕士学位论文[5]中提出了完备Leibniz代数的概念.但是,经研究发现,此种定义方法存在着瑕疵,即不存在非李的完备Leibniz代数.本文由此启发给出了完备Leibniz代数一种更合理的定义,并对这类代数进行了初步的研究.本文中,我们假设线性空间的基域是复数域.这部分内容是对于李代数以及Leibniz代数相关的一些概念和结果的回顾,它们都是标准的,可参见文献[3,8,10,13]或[15].定义2.1.1 一个Leibniz代数G是一个线性空间,上面定义了一个双线性映射:显然,对于Leibniz代数,有[x,[y,y]]=0以及[x,[y,z]]+[x,[z,y]]=0.注许多代数的定义都涉及到Leibniz等式,参见文献[2]等.李代数是乘积满足交错律的Leibniz代数.定义2.1.2 一个Leibniz代数G的右零化子定义为Zr(G)={x∈G|[G,x]=0}.易知Zr(G)是Leibniz代数G的双边理想.命题2.1.1 设G是一个Leibniz代数,则G中由平方元生成的双边理想包含在Zr(G)之中.命题2.1.2[10] 设G是Leibniz代数,则G中由平方元生成的理想I(G)由形如[x,x]的元素线性张成.定义2.1.3[15] 若一个李代数L满足下面两个条件:(i)L的中心为零,即C(L)=0.(ii)L的所有的导子都是内导子,即Der(L)=ad(L).则称李代数L为完备李代数.在常丽[5]的硕士学位论文中,给出完备Leibniz代数的定义如下:若Leibniz代数G满足条件:Zr(G)={x∈G|[G,x]=0}=0,Der G=ad G,则称G为完备Leibniz代数.经观察发现,此种定义方式存在着缺陷:对任意的Leibniz代数G,任取x,y∈G,都有[y,[x,x]]=[[y,x],x]-[[y,x],x]=0,即[x,x]∈Zr(G).若这个Leibniz代数满足定义中的条件,则有∀x∈G,[x,x]=0,此时Leibniz代数已经退化为李代数的情况,即不存在非李的完备Leibniz代数.下面,我们利用理想I(G),给出完备Leibniz代数的一个恰当的定义.定义2.2.1 设G是一个Leibniz代数,I(G)是G的由平方元生成的理想.若是一个完备李代数,则称G为完备Leibniz代数.根据上述定义方法,所有的完备李代数都是完备Leibniz代数,从而我们给出的完备Leibniz代数的定义与完备李代数的定义是相容的,完备Leibniz代数的概念是完备李代数概念的一种推广.下面我们给出完备Leibniz代数的几个代数性质:命题2.3.1 幂零Leibniz代数不是完备Leibniz代数.证设G是幂零Leibniz代数,由G幂零可以知道G/I(G)=L(G)是幂零李代数.而非零的幂零李代数中心不为零,而且存在外导子(参见文献[14]),故不是完备李代数,因此G不是完备Leibniz代数.命题2.3.2 设G是Leibniz代数,且G/J是李代数,其中J是G的理想,则J⊇I(G).证由于G/J是李代数,则对任意x∈G,设∈ G/J,有即[x,x]∈J.而I(G)由平方元所张成,由于J是G的理想,故有I(G)⊆J,命题得证.命题2.3.3 设G是Leibniz代数,I(G)是由其平方元生成的理想,则对于任意的x,y∈G,命题得证.引理2.3.1 不存在一维的完备Leibniz代数.证因为一维Leibniz代数是李代数,而一维李代数都是Abel的,中心为其本身,即中心不为零,故不存在一维的完备Leibniz代数.我们知道,在同构的意义下存在唯一的二维非Abel李代数G′,设其基为e1,e2,则有[e1,e2]=e2,[e2,e1]=-e2,其余括积为零.由此可得以下结论.引理2.3.2 [8] 二维非Abel李代数G′是完备李代数.引理2.3.2 中的李代数在以后的讨论中起着关键的作用,以下很多讨论都是以这个李代数为例进行一般性方法的阐述.在不特别说明的情况下,我们都用G′来指代这个完备李代数.根据上述论断,我们可以得到下面几个推论.推论2.3.1 若I(G)在G中的余维数为1,则G不是完备Leibniz代数.推论2.3.2 若I(G)在G中的余维数是2,且G/I(G)非交换,则G是完备Leibniz代数. 引理2.3.3 若I(G)=[G,G]/=G,则G不是完备Leibniz代数.关于完备Leibniz代数的中心,有以下命题.上面只抽象地给出了完备Leibniz代数的定义以及相关性质,但这并不能表明非李的完备Leibniz代数存在.实际上,非李的完备Leibniz代数确实存在,我们可以给出三维情况时的一个例子.例设G是一个以e1,e2,e3为基的3维Leibniz代数,它的乘法表为则G为非李的完备Leibniz代数.证因为[e1,e1]=e3,所以G不是李代数.我们对G的基验证Leibniz等式可证明,上述乘法表确实定义了一个Leibniz代数.下面验证此Leibniz代数的完备性.因为[e1,e1]=e3,所以Ce3⊆I(G).而Ce3显然是G的理想,且G/Ce3是李代数,由命题2.3.2可知Ce3⊇ I(G),因此I(G)=Ce3,即G/I(G)～=G′.而由引理2.3.2可知G′是完备李代数,所以G是完备Leibniz代数.直接通过定义进行验证可知,有如下结论成立.定理2.3.1 若G是Leibniz代数,G1,G2是G的双边理想,且G=G1⊕G2,则G是完备Leibniz代数的充分必要条件是G1,G2都是完备Leibniz代数.由这个定理的下述推论,我们可以给出许多非李的完备Leibniz代数的例子.推论2.3.3 若G1是非李的完备Leibniz代数,而G2是完备李代数,则G=G1⊕G2(作为理想的直和)是非李的完备Leibniz代数.当然,Leibniz代数中具有完备性的只是一小部分,我们也可以给出非完备的Leibniz 代数的例子.例设G是一个以e1,e2,e3为基的3维Leibniz代数,它的乘法表为则G不是完备Leibniz代数.证易见I(G)=Ce3,从而G/I(G)为二维Abel李代数,所以它不是完备李代数,因此在这种情况下G不是完备Leibniz代数.这一章我们将对小于4维非李的完备Leibniz代数给出完整分类.二维非李代数的Leibniz代数的分类已被Loday解决,有如下结果.引理3.1.1[13]设G为非李代数的Leibniz代数,且dimG=2,则G只有两种彼此不同构的情况:其中e1,e2为G的一组基,且基向量的其余括积均为0.定理3.1.1 不存在两维非李代数的完备Leibniz代数.证对于上述两种情况,0/=I(G)⊆[G,G],后者是一维的,所以dimI(G)=1.由推论2.3.1可以知道G不是完备Leibniz代数.我们再来看三维时的情况.蒋启芬在文献[1]中给出了三维Leibniz代数的完整分类,共有十三种彼此不同构的情况.我们根据第2章所得到的命题和定理,运用对第2章结尾两个例子类似的讨论方法,对这十三种情况进行一一验证,可以得到如下定理. 定理3.2.1 设G为一个三维非李代数的完备Leibniz代数,则G只有三种不同构的情况:其中e1,e2,e3为G的一组基,且基向量的其余括积均为0.由于除四维幂零情况外目前没有大于等于四维Leibniz代数的完整分类,而由命题2.3.1可知幂零Leibniz代数都不完备,所以我们不能继续采用验证的方法来给出完备Leibniz代数的分类.本文下面所要解决的最主要问题就是构造性地给出完备Leibniz代数.迄今为止,完备李代数的分类问题并没有完全得到解决,但是在朱林生和孟道骥的文章里,给出了低维完备李代数的分类.下面我们只把与本文相关的结果列举出来.命题4.1.1 [8]二维完备李代数只存在一种情况,即G′.三维完备李代数只存在一种情况,即sl(2).四维完备李代数只存在一种情况,即G′⊕G′.首先,对三维非李代数的完备Leibniz代数进行研究可以发现以下性质成立.命题4.2.1 若G是三维非李代数的完备Leibniz代数,则G/I(G)～=G′,而dimI(G)=1.证因为G不是李代数,故dim I(G)≥1.而低于三维的完备李代数只有G′这一种情况,所以G/I(G)～=G′. 命题得证.从这个结果可以看出,我们或许可以从完备Leibniz代数的商代数着手,得出相应的完备李代数的结构,再将其提升到原来的完备Leibniz代数,从而得到相应的完备Leibniz代数结构.由此,我们可以得到如下结果.定理4.2.1 设G是四维非李代数的完备Leibniz代数,则G/I(G)～=G′,此时dimI(G)=2;或者G/I(G)～=sl(2),此时dim I(G)=1.定理4.2.2 设G是五维非李代数的完备Leibniz代数,则G/I(G)～=G′,此时dim I(G)=3;或者G/I(G)～=sl(2),此时dim I(G)=2;或者G/I(G) ～=G′⊕ G′,此时dim I(G)=1.下面研究完备Leibniz代数的构造.在此之前,注意到以下事实.设G是一个Leibniz代数,G/I(G)=L(G)是其相应的李代数.从线性空间的角度,G可看成L(G)与I(G)的直和,即G=L(G)⊕I(G).在此观点下,设e1,…,em是L(G)的一组基,f1,…,fn是I(G)的一组基.设e1,…,em 在典范内射ι:L(G)→ G 下的象仍记为e1,…,em,则e1,…,em;f1,…,fn构成了G的一组基.因此下面在构造完备Leibniz代数的过程中,可将L(G)中的元素嵌入到G中从而将其看作G的元素.首先考虑dim I(G)=1时的情形.此种情况下有如下命题.命题4.2.2 设G是完备Leibniz代数,且I(G)=Ce,即I(G)是G的一维理想,[,]是G中的括积,[,]′是G相应的完备李代数G/I(G)～=L(G)中的括积.若存在线性函数f:L(G)-→C和双线性函数ϕ:L(G)×L(G)-→C满足以下条件:∀x,y∈L(G)均成立(因为L(G)同构地嵌入到了G,所以在等式左边,x,y可被看作G中的元素,[x,y]为G中的乘法).则以上定义的f和ϕ应满足以下条件:证因为Leibniz代数的结构由Leibniz等式完全确定,只要对其用Leibniz等式逐一验证即可.首先,我们讨论三个元素都在L(G)中的情况:∀x,y,z∈L(G),由Leibniz等式,而 x,y,z 作为李代数 L 中的元素有[x,[y,z]′]′=[[x,y]′,z]′-[[x,z]′,y]′,从而得到 (1).因为两式相等,可以得到(2).至此定理得证.在这里需要指出,对G的基元素验证其余的Leibniz等式,可以发现其余的Leibniz 等式都是平凡的,然后再利用线性性质即可得到条件(1),(2)是G构成Leibniz代数的充要条件.定理4.2.3 设L是李代数,[,]′是其括积,设I=Ce,构造向量空间G=L⊕Ce.若存在线性函数f:L-→ C和双线性函数ϕ:L×L-→ C,其中f与ϕ不全为零,且满足命题4.2.2的条件(1)和(2),则∀z=x+ke,z′=y+le,其中x,y∈L,k,l∈C,定义[z,z′]=[x,y]′+(ϕ(x,y)+kf(y))e,那么G是Leibniz代数.当L是完备李代数,且G中由平方元生成的理想包含e时,G是非李代数的完备Leibniz代数,并且dim I(G)=1. 由此可以看出,对于dim I(G)=1的情况,只要根据定理4.2.3的方法构造Leibniz代数G,然后根据命题4.2.2中的条件(1)和(2)列出方程,除此还要验证由平方元生成的理想确实为Ce,则可以得出相应的完备Leibniz代数.上面只是对一般情况的分析,当商代数为半单李代数时,是否有更强的结果?下面我们对此进行讨论.首先注意到,因为有限维半单李代数都是完备李代数,则由(2)可得:若L(G)是半单李代数,则[L(G),L(G)]=L(G),故对L(G)中任意的元素x,都有f(x)=0.这样命题4.2.2 中的条件(1),(2)可以简化为定理 4.2.4 若G是一个完备Leibniz代数,I(G)是G中由平方元生成的一维理想,且G/I(G)=L(G)是半单李代数,ϕ,f如命题4.2.2所定义,则它必须满足ϕ(x,[y,z]′)=ϕ([x,y]′,z)- ϕ([x,z]′,y), ϕ /=0,f=0(其中x,y,z ∈ L(G)).如此似乎可以得到一大类非李的完备Leibniz代数.但是,我们研究发现,这种情况其实并不存在.定理4.2.5 不存在这样的完备Leibniz代数G,使得I(G)是G中由平方元生成的一维理想,且G/I(G)=L(G)是一个半单李代数.证设e1,e2,...,en是L(G)的一组基,再添加向量e则张成空间G.由前面讨论可知∀z∈ L(G),f(z)=0.设z=k1e1+k2e2+…+knen+ke∈ G,则若证得对任意i,j均有ϕ(ei,ei)=0,ϕ(ei,ej)+ϕ(ej,ei)=0,此时I(G)=0,则产生矛盾,定理得证.根据复半单李代数中的根空间分解理论,我们取Cartan子代数和根空间构成的L(G)的一组基,可以很容易地证明这个结论.这个定理对一大类完备Leibniz代数的构造方法给出了否定的答案.因为sl(2)是单李代数,在研究四维完备Leibniz代数的分类时,利用上述定理可得到推论.推论4.2.1 不存在四维非李代数的完备Leibniz代数G,使得G/I(G)～=sl(2).下面研究dim I(G)=1时另一种比较简单的情况,即:G是五维非李代数的完备Leibniz代数,且G/I(G)～=G′⊕ G′,dim I(G)=1时的情况.设完备李代数G/I(G)=L(G)～=G′⊕G′的一组基为e1,e2,e3,e4,其中括积运算满足: 其余基元间的括积均为零.再添加I(G)中的基元素e,则它们构成了完备Leibniz代数G的一组基.先假设一组未知变量:下面就用命题4.2.2中的条件(1)和(2)来推导aij,bj所应满足的关系式.首先,先对f应满足的关系式进行讨论:下面根据条件(1),再讨论ϕ应满足的关系式:对其他情况进行类似计算,再将多余等式删去,则可得一个方程组值得注意的是,仅满足这个方程组并不能保证G的完备性,因为这些方程并不能保证I(G)是一维的,即平方元能生成Ce,所以要对完备Leibniz代数的结构进行更深入细致的讨论.对于Leibniz代数的同构映射,有如下比较显然的结论.引理4.2.1 设ψ:G1-→G2是Leibniz代数的同构,则其中C(G),C(G)分别是G,G的中心.下面根据所得方程组对Leibniz代数的乘法表进行化简整理.因为化简过程类似,只对其中一种情况进行详细说明.对其它情况进行类似整理化简,并将平方元不能生成Ce的情况删去,然后将同构的情况进行合并,我们可以得到如下定理.定理4.2.6 设G是五维非李代数的完备Leibniz代数,并且满足G/I(G)～=G′⊕G′.则在同构的意义下,存在着下面六种互相不同构的情况:证由上面的讨论可知,在同构的意义下,所有情况均可归纳为上述六大类.以第四与第六种情况为例证明这六大类彼此不同构.从而得出矛盾.其它情况类似可证,至此得到定理得证.下面对dimI(G)=2时的情况进行讨论.首先对一般情形进行研究:设G是完备Leibniz代数,且I(G)=Ce3⊕Ce4,即I(G)是由G中平方元生成的二维Abel理想.在构造完备Leibniz代数的过程中,与4.2.2节采取同样的讨论,可将完备李代数L(G)中的元素嵌入到G从而看作为G的元素.由此可得如下命题.命题4.2.3 设G是Leibniz代数,且I(G)=Ce3⊕Ce4,即I(G)是由G中平方元生成的二维理想,[,]是G中的括积,[,]′是G相应的李代数G/I(G)L(G)中的括积,若存在四个线性函数:f11,f12,f21,f22:L(G)-→C和两个双线性函数ϕ1,ϕ2,:L(G)×L(G)-→C满足以下条件:∀x,y∈L(G)均成立(因为L(G)同构地嵌入到了G,所以等式左边x,y可看作G中的元素).则以上定义的fij(其中i,j=1,2)和ϕ应满足以下条件:运用4.2.2节dim I(G)=1时类似的研究方法,对Leibniz等式进行验证即可得到结论.在这里需要指出,对G的基元素验证其余的Leibniz等式,可以发现其余的Leibniz 等式都是平凡的,然后再利用线性性质即可得到条件(1)–(6)是G构成Leibniz代数的充要条件.定理 4.2.7 设L是李代数,[,]′是其括积,设I=Ce3⊕Ce4,构造向量空间G=L⊕Ce3⊕Ce4.若存在线性函数fij:L-→ C和双线性函数ϕi:L×L-→ C,其中i,j=1,2,fij与ϕi不全为零,且满足命题4.2.3的条件(1)—(6),则那么G是Leibniz代数.当L是完备李代数,且G中由平方元生成的理想包含e3,e4时,G是非李代数的完备Leibniz代数,并且dim I(G)=2.下面研究一种特殊的情况:设G是四维非李代数的完备Leibniz代数,G/I(G)G′,其中dim I(G)=2.类似于前面对一维情况的讨论,可以作如下假设.设e1,e2是G′的一组基,乘法表是[e1,e2]′=e2,[e2,e1]′=-e2,可把e1,e2同构地嵌入到G中.再设e3,e4是I(G)的一组基,则e1,e2,e3,e4构成了G的一组基.我们可以假定一组未知量,再根据命题4.2.3中的六个条件列出这组未知量所应满足的关系式,可得到由Leibniz等式所派生出来的方程.利用方程组中未知量关系式将乘法表进行化简整理,可以得到如下定理.定理4.2.8 若G是四维非李代数的完备Leibniz代数,则必有G/I(G)～=G′,且在同构的意义下,存在着下列十二种彼此不同构的情况:以上均假设e1,e2,e3,e4为G的一组基,且基向量的其余括积为0.证由定理4.2.1可知四维完备Leibniz代数存在着两种可能的情况,再由推论4.2.1可知G/I(G)G′.根据推导出的乘法表系数所应满足的关系式,对满足条件的Leibniz 代数运用类似于4.2.2节的方法进行分类并归纳整理可以得到,在同构的意义下,所有情形都可以归纳到上述十二种彼此不同构的情况,而且在每种情况下乘法表所对应的Leibniz代数的平方元确实能生成二维理想I(G),即得到的Leibniz代数是完备的,至此定理得证.【相关文献】[1]蒋启芬.三维Leibniz代数的分类[J].数学研究与评论,2007,27(4):677–686.[2]佟洁,靳全勤.李代数的Possion代数结构II[J].数学杂志,2010,30(1):145–151.[3]孟道骥,朱林生,姜翠波.完备李代数[M].北京:科学出版社,2001.[4]段永健.关于低维Leibniz代数的一些相关性质的研究[D].上海:华东师范大学,2007.[5]常丽.Leibniz代数中的一些结果[D].上海:华东师范大学,2006.[6]刘东.无限维Lie代数和Leibniz代数[D].上海:华东师范大学,2004.[7]Albeverio S,Ayupov Sh A,Omirov B A.On nilpotent and simple Leibnizalgebras[J].Communications in Algebra,2005,33:159–172.[8]Zhu Linsheng,Meng Daoji.The classification 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2021 年4 月Apr 2021第43 卷第2 期Vol43 No2菏泽学院学报JournalofHezeUniversity 多项式剩余类环中幂零元计数问题研究田东代（山东省菏泽市体育训练中心，山东菏泽274000）摘 要:结合多项式剩余类环中元素整除性质，利用中国剩余定理构造了多项式剩余类环与局部环直和 之间的同构映射，得到了相应的直和分解，在此基础上将一般剩余类环中幂零元计数问题进行了优化•通过 引入广义Euler 函数、多项式系数公因子等概念，提出了系数公因子为1的剩余类代表元计数方法，最后，给 出了素数幂阶剩余类环中幂零元的计数表达式.关键词：幂零元；反演公式；直和分解;局部环中图分类号:0156, 2 文献标识码:A 文章编号：1673-2103（2021 ）02-0011-051 预备知识11有限可交换环有限交换环研究是代数学的基础性工作,主要内容包括唯一性分解问题、准素理想理论和公理化体系等 方面［1］,从高次互反律、二元二次型和费马大定理等初等数论问题出发，围绕一系列经典案例展开研究，范围 涉及代数数论、代数几何与不变量理论等领域•交换环研究初期以唯一因子分解问题为主，通过对复整数环、 理想数等不同代数的精细刻画，提出了理想、序环等概念.E. Noether 通过对理想升链条件的深入分析，实现 了诺特环的公理化体系，从而建立起一般交换环理论,特别是她给出诺特环（含有限环）的结构分解定理，真 正实现了交换环理论体系质的飞跃.在理论发展比较完善之后，其不断提升的理论层次拓宽了它的应用范 围，渗透到数学的多个分支，相互间的影响和融合不断促进彼此的创新发展，呈现出未来发展的趋势.1.2有限交换环与编码设计随着20世纪通信技术的快速发展，通信编码技术对交换环理论的依赖日渐显著,具有特殊结构的有限 环（域）已成为现代编码理论的核心支撑.经典纠错码如Hamming 码、BCH 码、RS 码等23］在通信和信息领 域得到了普遍应用，已成为信息技术领域重要的基础性工作•近年来，移动通信技术的发展也对编码技术提 出了更加个性化的要求,具有编码码字多、最小距离大等特点的非线性编码技术成为研究热点，促进了有限 环上编码技术的实质性进步，极大丰富了纠错码理论的研究领域.13剩余类环由于剩余类环中仍保留了欧几里得辗转除法运算，剩余类环中元素具有因子分解特性,不可约多项式判 定与零因子、幕零元分类成为有限环中最为重要的两个基本问题•不可约多项式判别方法早期的成果主要是 Eisenstein 判别法和Berlamkamp ［,］关于多项式计数的结果，同时也出现了一些确定性判别算法和随机性 检测算法，但是都没有一个简单可行的算法思路，至今仍是一件较为复杂的工作•而零因子和幕零元的计数 问题则依赖于多项式分解问题，与不可约多项式问题有关联性.14研究思路与结果本文利用中国剩余定理，首先给出多项式剩余类环的直和分解，把一般情况下的幕零元问题转化为素数 幕阶有限交换环的幕零元问题,再通过定义一般的莫比乌斯、欧拉函数等工具,使用组合反演公式给出幕零 元的计数公式,结论刻画思路清晰,表达形式简明统一.收稿日期：2021-03-15作者简介：田东代（1962—），男，山东菏泽人，高级讲师，山东省特级教师，研究方向:数学及职业教育.2021 年荷泽学院学报第2 期2基本概念与相关成果2.1基本概念2. 1. 1 唯一分解概念没有零因子的交换环结构相对简单，其元素能唯一表示为素元的乘积，称为唯一分解整环，有关研究内 容已经十分成熟.具有零因子的交换环则难以给出统一刻画,但仍然可以表示为理想的直和分解.域上的多 项式环是整环，每个多项式都可分解成不可约多项式的乘积，两个多项式表示可能相差一个单位元.因此,一 般约定不可约多项的首项系数为1 .整数剩余类环乙狓］上的多项式环中由于系数零因子的存在，多项式表 示方式变化增多,虽然仍可以进行欧几里得除法运算，但整环中的唯一分解性不再保留，差异是乙（模n 剩 余类环）中的一个零因子.因此,多项式计数问题需要考虑分解方式的变化，下面从一些概念定义入手，给出 乙狓］中多项式的分解描述.定义 1 设多项式 f （狓）=a n x n +a n -（x n ^（ +a n —狓_2 ------a 1x 2 +a 0，式中 a n ,a n -1，…,a i , a 0 G 乙，那么多项式f （狓）的系数公因子定义为整数a ” ,a ”—，…犪 a 的最大公因子gcd （great common divisor ）,即有：gcd （f （狓））=gcd （a ” ,a ”_1,… 犪 a ）.若gcd （f 狓））为乙中的可逆元,则称f 狓）为系数公因子等于（的多项式•此时,两个系数公因子相差 一个可逆元的多项式被认为是同一多项式.多项式环乙狓］中多项式表示的标准形式.结论1任意多项式可表示为f 狓）=gcd （f 狓））f （狓）,式中f （狓）是系数公因子等于1的多项式.证明 假若多项式fQ ）有两个不同的分解 faf （狓和fO =bf 2狓）.不妨设f 狓），f 2 （狓是 两个不同的系数公因子等于1的多项式，则此时应有a = b ,否则按照定义有：gcd （f （狓））= gcd （af （狓））=a • gcd f （狓））=a • 1 = agcd （f （狓））=gcd （bf 2（狓））=b • gcd （f 2（狓））=b • 1 = b则有a = b ,矛盾.多项式剩余类环乙狓］/f 狓）元素表示的标准形式.剩余类元素一般用多项式代表元表示，记为ag （狓=a g Q ）mod （f 狓）），其中g 狓）是系数公因子等于1 的多项式,a 是乙中的元素.2.1.2 幂零元判别条件定义2多项式剩余类元素ag （）称作是幕零元，如果存在正整数加使得（g （狓））犿=0.显然,ag （5为幕零元当且仅当a 或者"为幕零元，所以剩余类环乙狓］/（f 狓））中幕零元的计数问 题可以转化为特殊多项式计数问题，即系数公因子等于1的多项式的计数问题•2.1.3多项式计数函数我们沿用文献［6］的符号与定义.定义3［］欧拉函数＜p （n ）表示模”剩余类环中与”互素的元素个数，设”=狆（狆…狆狉，狆狆2,…，狆 为两两不同的素数,那么我们有下列计数公式（欧拉函数）：狊19” = ”n （1—狆｝i =l \ 狆犻定义4［］若正整数”含有平方因子，则莫比乌斯函数“（”）的值为零,否则定义为：烄 1, n = 1认n ）=烅〔（一11s ,n =狆狆…狆，定义5［7］设f （）是多项式环F ”狓］中的”次多项式,定义9（ f ）为犉狆狓］中次数小于n 且与f （）互 素的多项式的个数，并称之为广义欧拉函数.定义6广义欧拉函数认n,m,d ）为乙狓］中系数公因子等于犱且次数小于犿的多项式的个数.结论2关于广义欧拉函数认n,m,d ）有如下结论：2021年田东代：多项式剩余类环中幂零元计数问题研究第2期衣(”犿犱)=”犿.证明首先乙狓］中所有次数小于犿的多项式总数为"犿•另一方面，可根据多项式系数公因子对多项式进行分类，分类数与”的因子个数相同，而每一个分类中元素计数公式为0(”,犿犱)，根据组合分类相加原则得到EX”犿犱)=”犿，证毕．定理1乙狓］中系数公因子等于i且次数小于犿的多项式的个数为：<p(n,m,1)=E"(””)犿•d”证明引用经典组合反演公式证明.如果有两个整数函数F(u),G(u)满足求和公式G(”)—E F(d).d l”则组合反演公式为F()—E“(””)Gd).d l”根据组合反演公式可直接得到0(”,m,1)=E"(””)d m.推论1设”=p r，则0(”，m,1)—p犿—狆犿l jj.证明利用莫比乌斯函数“(””)定义知道，当d=p u,u<(r—1)时，有“(””)=0,当d=p u, u—(r—1)，“(””)=—1；当d=p u,u=r,(”)—1;代入定理1中的公式即得推论公式.2.2相关成果关于域上的多项式剩余类环中幕零元计数问题已得到完整解决，具体如下.定理2刀设”一p r p r…p,p：,2,…，p s为不同的素数，则剩余类环乙中幕零元计数公式为：犚”=p i—i)p2—i”・(p s—i)，式中0(”)是欧拉函数.定理3m f(.狓)—p j J(x(狓)…p s()是多项式环F p(狓)中的”次多项式，其中p S x),犻—1,2,・・・s是互异首1不可约多项式，则类环F p Q)/(fQ))中幕零元的个数为：Rf=p l,—3(p j(狓)p2(狓)…p s(狓)),其中3犵狓))表示多项式犵狓)的次数.定理4［7］设f(狓)—p J{x}p22狓…p s(狓)，狆犻狓),—1,2,…,s是互异的首1不可约多项式，so p©))=”犻”=E”r，贝Q10(f)=p”(一貴)(J-貴)・"(1-貴).利用此表达式可给出幕零元计数的另外一种形式.剩余类环F p狓)/f狓)中幕零元的个数为：Rf)=----------------------------------0(犳------------()(,p n J—1)(”—1)…(”—1)2021年荷泽学院学报第2期3主要结果3.1直和分解本节将利用剩余类环中元素分解表示的特性给出具体的直和分解方法，并以此为基础讨论局部环中幕零元的计数问题.3.1.1乙的直和分解结论3[1b设”=p r p r…p,那么乙的局部直和分解为：Z”=z p；丄+z p?+…+Z p r.证明利用中国剩余定理构造环同构映射0.对于乙中任意元素a，考虑同余方程组：a a i mod p丄丄………(1a=a s mod p r s定义映射0：a—(a丄，…,a‘)，其中a,是一个小于p的整数，那么由中国剩余定理可得映射0是一一对应，且易验证其保持加法和乘法运算，从而得到一个环同构.证毕.3.1.2Z”[x]/(f r)的直和分解利用结论3同样的方法可得到乙[x b/f(x)的局部环分解结构.定理5多项式剩余类环的直和分解为：Z”[x b/f(x)=Z p丄丄[x b/(f(x))+Z p?[x b/(f(x))+----+Z fs[x b/(f(x)),式中Z p,[x b/(f(x))是剩余类环的局部子环.证明利用广义中国剩余定理构造环同构映射0.对于乙[x b/(f(x))中任意元素犵狓)，考虑多项式同余方程组：g(x)=g i(x)mod p?………(2g(x)=g s(x)mod p狉定义映射0：g(x)―(g i(x)，…,gs(x)),g i(x)，…,gs(x)是多项式，那么由中国剩余定理可得多项式同余方程组有唯一解.事实上利用p r丄，…,p r两两互素的性质知道此时存在一组整数u，…，弘满足条件：p U1+--------------pU s=1由此可证同余方程组(2)有唯一解.于是映射0是一一对应.另外，易验证其保持加法和乘法运算，从而得到一个环同构．证毕．3.1.3Zr[x]/ff(x))的幂零元计数设f(x)系数公因子为1的m次多项式.若f(x)为不可约多项式，则剩余类环Zp"[x b/(f(x))中系数公因子为1的多项式是幕零元的充分必要条件为f(x)的倍式，即零多项式.因此，只考虑可约多项式为模的情况.弓I理1设f()系数公因子为1的m次多项式，若f()为不可约多项式的方幕，设f()=p(), d(p(x))=狋则Z^lxb/CfCx))中系数公因子为1的幕零元计数个数为p mtr—p mt).证明若"是幕零元，那么显然剩余类g X)的代表元多项式gxx)与不可约p()不能互素，因此有g(x)=p(x)g i(x)，其中g i(x)是次数不大于m—t的公因子为1的多项式，由定理1得知其计数公式为0(p,m—1,1)，再由推论1得出引理公式.定理6设f()=p1(x xp r2(x)…p s(),式中p*(),i=1,2,…，s是互异不可约多项式，则ZrLxb/Cfxx))中系数公因子为1的幕零元计数公式为：<p(p r,m—t,1)=pa—pa.2021年田东代：多项式剩余类环中幂零元计数问题研究第2期式中t=3狆1(x狆2(狓)…狆(狓)).证明利用引理1,可知若"是幕零元，那么显然剩余类"的代表元多项式可表示为：g()=P1(X狆2狓)…狆狓)g1(x),于是幕零元"的计数与公因子系数为1的多项式gX)的计数对应，根据定理1得知计数公式为9(p",m—t,1).定理得证.4结语本文构造了多项式剩余类环的局部直和分解,将剩余类环中幕零元计数问题归约为局部环中的计数问题，给出了具体计数表达式.所采用的代数分析思路与组合函数计数考虑虽源于传统经典组合论内容，但也充分利用了多项式可整除性，融合了一些巧妙的论证技巧,方法上的创新性对于有限局部环特殊元素计数问题具有一定的借鉴作用，尤其是对于有限局部环上编码理论的研究有着重要的积极意义.参考文献：[1]Nathan Jacobson.Basic Algebra I[M].San Francisco：W.H.Freeman 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common factor of1.Finally,the counting expression of nilpotent elements in residue class rings of prime powerorderisgivenKeywords：nilpotentelement;inversionformula;directsumdecomposition;localring(责任编辑:王晓知)。

李代数的型心顾颐臣【摘要】研究了李代数的型心是否小的问题.主要结果:(1) 利用基和型心的关系得到了一类幂零李代数的型心不是小的.(2) 利用型心的定义得到了最简filform李代数型心以及Ln,Qn,Rn,Wn这4类filiform李代数的型心是小的.【期刊名称】《常熟理工学院学报》【年(卷),期】2007(021)010【总页数】4页(P7-10)【关键词】李代数;型心;小型心.【作者】顾颐臣【作者单位】苏州大学,数学科学学院,江苏,苏州,215006【正文语种】中文【中图分类】O152.1结构研究对于表示理论研究及其应用具有基本重要性，而李代数的型心是结构理论中一个重要的概念.型心的结构在某种程度上刻画了李代数的结构.但研究进展缓慢.我们知道单李代数的型心是个域，不可约李代数的型心是一个局部环，但是结构比较复杂的李代数其型心结构结论很少.近年来，G.Benkart等人在扩张Affine李代数的型心研究上取得了进展，使型心的研究显示了生命力.从90年代开始，绝大多数数学家研究型心何时小的问题，并取得了一些进展.定义1.1 设g为一个李代数，定义g的型心Τ(g),Γ=Γ(g)={φ∈End(g)|φ[x,y]=[φ(x),y]=[x,φ(y)],∀x,y∈g}.在本文中，为了讨论的方便，我们总是假定基域K是特征为0的代数闭域.一个李代数称为是不可约的，若它除了本身外并没有非零的直和(直积)因子.这也就是说，若g=g1×g2,则g不可约说明g1=0或者g2=0.这样就立刻得到了一个重要的结果.引理1.2[1] 若李代数g可解，不交换且不可约，那么g的中心C(g)就含在g的导代数里.一个不可约的交换李代数是一维的.由上述型心的定义可知，纯量变换总是在型心中的，设φ∈Endg，若φ(g)⊆C(g),且φ(g2)=0,则称φ为g的中心导子.中心导子总是包含在型心中，因为在定义中等式两边都恒等于0.定义1.3[2] 设g是一个不可约的李代数，则称Γ(g)是小的，若Γ由中心导子和恒等变换生成.由定义3可以知道：单李代数的型心是小的.引理1.4[2] 若g=g1⨁g2，则Γ(g)小当且仅当Γ(g1)和Γ(g2)都是小的.定义1.5[3] 李代数g称为是完满的，如果[g,g]=g.2.1 中心导子均为内导子的幂零李代数对于一般的幂零李代数，由于其结构比较复杂，本文只对其中一类做了讨论，发现其型心一定不是小的.命题2.1[4] 设g是一个不可约的幂零李代数(至少是三步幂零)，若每一个中心导子都是内导子，则g是Heisenberg李代数或者g的型心都不是小的.证设C是由中心导子构成的集合，而I是由内导子构成的集合.由条件知C⊆I，且由文献[2]可知，C=I，当且仅当g是Heisenberg李代数，现在设g不是Heisenberg李代数，则CI.设gi是g的降中心序列中的的第i个元素，这样就有g=g1,g2=[g,g]…gi=[g,gi-1],i>1，设u是g2在g中的补子空间，它有一组基u1,…，un.设Wi,i≥1是gi+2在gi+1中的补空间，它的基为则[Wi,Wj]⊆gi+j+2中,且g=U⨁i≥1Wi.此时有⨁i≥2Wi中的组合).下面我们来说明命题的结论.设取一个非零元z∈C(g),且z∉W1，这样的z总能找到，因为若g1=0，则即[g,gl-1]=0,那么取z∈gl-1即可，显然这样的z满足条件(因为g至少是三步幂零的).这样对于每一个ui,1≤i≤n.定义映射ci，使ci(ui=z),ci(uj)=0.i≠j.和ci(g2)=0.由假设条件知中心导子都是内导子，因此对于每一个i，1≤i≤n.存在一个xi∈g,使得ci=adxi.设φ:g→g，定义为φ(g3)=0，φ(ui)=∑jaijxj.这里adxj(uj)=z,φn.注意到φ([g,g2])=0,我们发现：故我们只需要验证φ([u,u′])=[φ(u),u′]，这里∀u,u′∈U.由前面知：⨁i≥2Wi中的组合).故此时φ([ui,uj])=φ⨁i≥2Wi中的组合)).=φ()=∑kz=aijz=[∑lailxl,uj]=[φ(ui,uj)].这样的φ就是g的型心中的元素了，显然它不是恒等变换和中心导子的线性组合，故Γ(g)不是小的.2.2 一类不完满的有限维李代数下面讨论的是一类不完满的有限维李代数，它的型心不是小的.命题2.2[5] 若g是一个不完满的有限维李代数，若中心导子都是内导子，且g中有不属于g2的中心元，则此时g的型心一定不是小的.证对于不完满([g,g]≠g)的有限维李代数，有两种情况：(1) 0=gn⊂gn-1…⊂g1=[g,g]⊂g, (2) [g,g]⊂g,…gi-1⊂gi-2,gi=gi-1.对于情况(1)，此时的李代数g即为有限维幂零李代数，它当然一定是可解的李代数，由命题2.1知，Γ(g)不是小的.对于情况(2)，证明方法同命题2.1.3.1 最简filiform李代数的型心.定义3.1 一个李代数称为是filiform李代数，若dimCkg=n-k-0,这里k≥1.其中：定义3.2[6] 设g是n维filiform李代数，如果g有一个基xi，满足：[x1,xj]=xj-1,(3≤j≤n)，并且其他基元间的李括号全是0，则称g为n维最简filiform李代数.定理3.3 n维最简filiform李代数的型心是小的.证设φ∈End g，有φ当i=1，3≤j≤n时，由此可知：当i≠1,3≤j≤n时，[xi,xj]=0，φ当i=1, j=1,2时,[x1,xj]=0，φ].综上可知,其他项均为0.这里a,b,c都是复数.所以g的型心是小的.3.2 4类重要filiform李代数的型心.filiform李代数是一类非常广泛的李代数，但是其中有4类占据着非常重要的地位，它们是：Ln:[x0,xi]=xi+1, i=1,…,n-1；Qn:[x0,xi]=xi+1, i=1,…,n-1,n=2k+1，[xi,xn-i]=(-1)ixn, i=1,…,n-1；Rn:[x0,xi]=xi+1, i=1,…,n-1，[xi,xi+1]=xi+2, i=1,…,n-2；Wn:[x0,xi]=xi+1, i=1,…,n-1，[xi,xj]=xi+j+1，1≤i, j≤n-2,1+i+j≤n.定理3.4 Ln、Qn、Rn、Wn的型心均是小的.证明设φ∈EndLn，有φ要使φ[xi,xj]=[φxi,xj]=[xi,φxj]，讨论i, j如下：(1) 当i, j≠0时，φ[xi,xj]=0,[φxi,xj]=[x0+…+,xj]，这说明：(2) 当i=0,1≤j≤n-1时, φ[x0,xj]=φ[φx0,xj]=[x0+…+xn,xj]=xj+1，[x0，φxj]=[x0,x0+…+xn]=x2+…+xn，这说明：且(3) 当i=0, j=0时,φ[x0,x0]=0,[φx0,x0]=[x0+x1+…+xn,x0]，这说明：(4) 当i=0, j=n时，φ[x0,xn]=0,[φ(x0),xn]=0,[x0,φxn]=[x0,x0+…+xn]，这说明：综上所述，Ln型心中元素的形式为：这里a,b,c都是复数.由上面结果可以看出，Γ(Ln)中元素均是恒等变换和中心导子的线性组合，故Γ(Ln)是小的.设φ∈EndWn,有φ当i=0, j≠0时，φ[x0,xj]=φφ当i=0, j=0时，φ[x0,x0]=0,[φ当i, j≠0,i+j+1>n时，φ[xi,xj]=0，[φ(xi),xj]=[x0+…+xn,xj]=x2+j+…+xn.当i, j≠0,i+j+1≤n时，φ[φ(xi),xj]=[x0+…+xn,xj]=x2+j+…+kin-j-1xn.综上所述，Rn型心中元素的形式为：这里a,b,c都是复数.由上面结果可以看出，Γ(Wn)中元素均是恒等变换和中心导子的线性组合，故Γ(Wn)是小的，其它两类证明方法类似.*感谢导师朱林生教授的悉心指导！【相关文献】[1] Winter D J. abstract Lie algebras[M]. Cambridge: MIT Press, 1972：1455-1467.[2] Togo S. Derivations of Lie algebras[M]. j Sci Hiroshima U ser A-I 28, 1964: 133-158.[3] Duncan J. centroids of nilpotent Lie algebras[J]. communications in algebras, 1992,20(12): 3649-3682.[4] Ponomaryov K N. Invariant Lie algebras and Lie algebras with a small centroid[J]. algebras and logic, 2001, 40(6): 3120-3141.[5] Georgia Benkart, Erhard Neher. the centroid of extended affine and root graded Lie algebras[J]. Journal of pure and applied algebras, 2006：157-181.[6] Melville D J. Centroids of Nilpotent Lie algebras[M]. PhD Thesis Yale University， 1990：387-382.。

第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。

在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以与集M的幂集环．2．环中元素的运算规那么和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环〞)．但不能记为R，·，十)．因为这涉与对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·〞作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．假设环R 无零因子且阶大于1，那么R 中所有非零元素对加法有一样的阶．而且这个一样的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，那么R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，那么它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．那么易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。

近世代数题解第一章基本概念§1. 11.4.5.近世代数题解§1. 22.3.近世代数题解§1. 31. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算．2. 解这实际上就是Mxxn个元素可重复的全排列数nn．3. 解例如AB＝E与AB＝AB—A—B．4.5.近世代数题解§1. 41.2.3.解 1）略 2）例如规定4．5．略近世代数题解§1. 51. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射．2.略3.4.5.§1. 61.2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性；3)是等价关系；4)是等价关系．3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类．4.则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5.6.证 1）略2）7.8. 9.10.11.12.第二章群§2. 1 群的定义和初步性质一、主要内容1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子．2．群的初步性质1)群中左单位元也是右单位元且惟一；2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一：3)半群G是群方程a x=b与y a=b在G中有解(a ,b∈G)．4)有限半群作成群两个消去律成立．二、释疑解难有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种：1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”；2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”；3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”；4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”．“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的)；优点是：①不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元；②从群定义本身的条件直接体现了左与右的对称性．以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算．因此，群的‘方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”运算．于是xx，可以施行乘法与除法运算的半群就是群．为了开阔视野，再给出以下群的另一定义．定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群：对Gxx任意元素a，在Gxx 都存在元素，对Gxx任意元素b都有(ab)=(ba)=b．这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习．2．在群的“方程定义法”中，要求方程a x=b与y a=b都有解缺一不可．即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解．4．关于结合律若代数运算不是普通的运算(例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法)，则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦．因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法．但无论哪种方法，一般都不是太简单．5．关于消去律．根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立．而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可．6．在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为e1．但G并不是群．7．群与对称的关系．1)世界万物，形态各异．但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性．而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的．由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性．2)几何对称．设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换(即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称)，则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群．这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的．凡对称图形(即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合)，总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群．反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形．不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换．显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多．也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关．因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称．所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论．显然，每个n元多项式都有一个确定的n次置换群：例如n元多项式例6 任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群．很显然，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项式的对称性越强．反之亦然．因此，我们通常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式．三、习题2．1解答1.略2.3.4. 5.6.§2. 2 群中元素的阶一、主要内容1．群中元素的阶的定义及例子．xx、无扭群与混合群的定义及例子．特别，有限群必为xx，但反之不成立．2．在群中若＝n，则4．若G是交换群，又Gxx元素有最大阶m，则Gxx每个元素的阶都是m的因子．二、释疑解难在群中，由元素a与b的阶一般决定不了乘积ab的阶，这由教材中所举的各种例子已经说明了这一点．对此应十分注意．但是，在一定条件下可以由阶与决定阶，这就是教材xx定理4：4．一个群中是否有最大阶元?有限群中元素的阶均有限，当然有最大阶元．无限群中若元素的阶有无限的(如正有理数乘群或整数xx)，则当然无最大阶元，若无限群中所有元素的阶均有限(即无限xx)，则可能无最大阶元，如教材中的例4：下面再举两个(一个可换，另一个不可换)无限群有最大阶元的例子．5．利用元素的阶对群进行分类，是研究群的重要方法之一．例如，利用元素的阶我们可以把群分成三类，即xx、无扭群与混合群．而在xx中又可分出p—群p是素数)，从而有2—群、3—群、5—群等等．再由教材§3. 9知，每个有限交换群(一种特殊的xx)都可惟一地分解为素幂阶循环p—群的直积，从而也可见研究p—群的重要意义．三、习题2．2解答1.2.3.4.5.推回去即得．6.§2. 3xx一、主要内容1．xx的定义和例子．特别是，特殊线性群(行列式等于l的方阵)是一般线性群(行列式不等于零的方阵)的xx．4．群的中心元和中心的定义．二、释疑解难１．关于真xx的定义．教材把非平凡的xx叫做真xx．也有的书把非G的于群叫做群G的真xx．不同的定义在讨论xx时各有利弊．好在差异不大，看参考书时应予留意．2．如果H与G是两个群，且HG，那么能不能说H就是G的xx?答：不能．因为xx必须是对原群的代数运算作成的群．例如，设G是有理数xx，而H是正有理数乘群，二者都是群，且HG但是不能说H是G的xx．答：不能这样认为．举例如下．例2设G是四元数群．则显然是G的两个xx且易知反之亦然．三、习题2．3解答1．证赂．2．证必要性显然，下证充分性．设子集H对群G的乘法封闭，则对Hxx任意元素a和任意正整数m都有am∈H．由于Hxx 每个元素的阶都有限，设＝n ，则3．对非交换群一放不成立．例如，有理数域Qxx 全体2阶可逆方阵作成的乘群中，xx，的阶有限，都是2，但易知其乘积⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ab的阶却无限．即其全体有限阶元素对乘法不封闭，故不能作成xx ．4．证 由高等代数知，与所有n 阶可逆方阵可换的方阵为全体纯量方阵，由此即得证．5．证 因为(m ，n)＝1，故存在整数s ，t 使 ms 十n t ＝1． 由此可得6．7．§2. 4循环群一、主要内容1．生成系和循环群的定义．2．循环群中元素的表示方法和xx的状况．3．循环群在同构意义下只有两类：整数xx和n次单位根乘群，其中n＝1，2，3，…．4．循环群的xx的状况．无限循环群有无限多个xx．n阶循环群有T(n)(n的正出数个数)个xx，且对n 的每个正因数k，有且仅有一个k阶xx．二、释疑解难1．我们说循环群是一类完全弄清楚了的群，主要是指以下三个方面：1)循环群的元素表示形式和运算方法完全确定．其xx的状况也完全清楚(无限循环群有两个xx，n阶循环群有个xx而且ak是xx(kn)＝1)；2)循环群的xx的状况完全清楚；3)在同构意义下循环群只有两类：一类是无限循环群，都与整数xx同构；另一类是n(n＝1，2，…)阶循环群，都与n次单位根乘群同构．2．循环群不仅是一类完全弄清楚了的群，而且是一类比较简单又与其他一些群类有广泛联系的群类．例如由下一章§9可知，有限交换群可分解为一些素幂阶循环群的直积．更一般地，任何一个具有有限生成系的交换群都可分解成循环群的直积．由于循环群已完全在我们掌握之中，所以这种群(具有有限生成系的交换群)也是一类研究清楚了的群类．它在各种应用中有着非常重要的作用．例如在组合拓扑学中它就是一个主要的工具．三、习题§2. 4解答1.2.3.4. 5.6. 7.§2. 5 变换群一、主要内容1．变换群、双射变换群(特别是集合M上的对称群和n次对称群)和非双射变换群的定义及例子．2．变换群是双射变换群的充要条件；双射变换群与抽象群的关系．1)集合M上的变换群G是双射变换群G含有M的单或满)射变换；2)任何一个群都同一个(双射)变换群同构．3．有限集及无限集上非双射变换群的例子(例2和例3)．二、释疑解难1．一般近世代数书中所说的“变换群”，都是由双射变换(关于变换乘法)所作成的群，即本教材所说的“双射变换群”．而本教材所说的“变换群”则是由一个集合上的一些变换(不一定是双射变换)作成的群．通过教材§5定理2和推论1可知，实际上变换群可分成两类：一类是双射变换群(全由双射变换作成的群，即通常近世代数书中所说的“变换群”)，另一类是非双射变换群(全由非双射变换作成的群)．在学习本书时应留意这种差异．2．本节教材定理2(若集合M上的变换群G含有M的单射或满射变换．则G必为M上的一个双射变换群，即G中的变换必全是双射变换)比有些书上相应的定理(若集合M上由变换作成的群G含有M的恒等变换，则G中的变换必全为双射变换)大为推广．因为后者要求G包含恒等变换(一个特殊的双射变换)，而前者仅要求G 包含一个单(或满)射变换即可．因此，后音只是前者(本节教材定理2)的一个推论，一种很特殊的情况．两相比较，差异较大．这种差异也说明，M上的任何一个非双射变换群不仅不能包含恒等变换，而且xxM的任何单射或满射变换也不能包含．另外，在这里顺便指出，集合M上的任何双射变换群G的单位元必是M的恒等变换．3．集合M上的全体变换作成的集合T(M)，对于变换的乘法作成一个有单位元的半群．在半群的讨论中，这是一类重要的半群．并且本节习题中第4题还指出，当＞1时T(M)只能作成半群，而不能作成群．三、习题§2. 5解答1. 解作成有单位元半群，是单位元．但不作成群，因为无逆元．2.3. 解 G作成群：因为xx4.5.§2. 6 置换群一、主要内容1．任何(非循环)置换都可表为不相连循环之积，任何置换都可表为若干个对换之积，且对换个数的奇阴偶性不变．从而有奇、偶置换的概念，且全体n次置换xx、偶置换个数相等，各为个(n＞1)．2．k—循环的奇偶性、阶和逆元的确定方法，以及不相连循环乘积的奇偶性、阶和逆元的确定方法．1)k—循环与A有相反奇偶性．2)k—循环的阶为k．又(i1，i2…ik)－1＝(ik，…，i2，i1 )．3)若分解为不相连循环之积．则其分解xx循环个数为奇时为奇置换，否则为偶置换．的阶为各因子的阶的最小公倍．其逆元可由k—循环的逆元来确定．3．由置换，求置换－１的方法．n次对称群sn的中心．4．传递群的定义、例子和简单性质．二、释疑解难1．研究置换群的重要意义和作用．除了教材中已经指出的(置换群是最早研究的一类群，而且每个有限的抽象群都同一个置换群同构)以外，研究置换群的重要意义和作用至少还有以下几方面：1) 置换群是一种具体的群，从置换乘法到判断置换的奇偶性以及求置换的阶和逆置换，都很具体和简单．同时它也是元素不是数的一种非交换群．在群的讨论中举例时也经常用到这种群．2) 在置换群的研究中，有一些特殊的研究对象是别的群所没有的．如置换中的不动点理论以及传递性和本原性理论等等．3) 置换群中有一些特殊的xx也是一般抽象群所没有的．例如，交代群、传递群、稳定xx和本原群等等．就教材所讲过的交代群和传递群的重要性便可以知道，介绍置换群是多么的重要．2．用循环与对换之积来表出置换的优越性．首先，书写大为简化，便于运算。

浙江大学学报(理学版)Journal of Zhejiang University (Science Edition )http :///sci第 48 卷第 2 期2021年3月Vol. 48 No. 2Mar. 2021DOI ： 10.3785/j.issn.1008-9497.2021.02.006素特征域上Witt 代数及极大子代数的2-局部导子姚裕丰，王惠(上海海事大学文理学院：上海201306)摘要：李代数的导子代数对李代数结构的研究有重要作用。

特征零的代数闭域上有限维半单李代数的导子都是内导子，该类李代数同构于其导子代数。

作为导子的自然推广，李代数的2-局部导子对李代数局部性质的研究，具有重要作用，研究了素特征域上李代数的2-局部导子。

设F 是特征p >3的代数闭域，g 是域F 上p _维Witt 代 数，g 0是g 的极天子代数，讨论了 g 和g 0的2-局部导子的性质，证明了 g 和g 0的所有2-局部导子均为导子。

关键词：Witt 代数；导子；2-局部导子中图分类号：O 151.26文献标志码：A 文章编号：10()8-9497(2()21)02-174-()6YAO Yufeng, WANG Hui ( College of A rts and Sciences , Shanghai Maritime University Shanghai 201306, China)2-local derivations of the Witt algebra and its maximal subalgebra over a field of prime characteristic . Journal ofZhejiang University (Science Edition), 2021,48(2):174-179Abstract ： The derivation algebra of a Lie algebra plays an important role to study of the structure of the Lie algebra. Allderivations of finite dimensional semisimple Lie algebras over an algebraically closed field are inner. So the Lie algebrasof this kind are isomorphic to their derivation algebras. As a natural generalization of derivation , 2-local derivation of aLie algebra plays an important role in study of local properties of the Lie algebra.This paper is devoted to study 2-localderivations of Lie algebras over fields of prime characteristic. Let g be the p dimensional Witt algebra over analgebraically closed field of characteristic p > 3, g ()be its maximal subalgebra. We investigate the properties of 2-localderivations on g and g 0,and show that all 2-local derivations on g and g 0 are derivations.Key Words ： Witt algebra ； derivation ； 2-local derivation代数的导子指该代数上满足Leibniz 法则的线 性变换。

关于复半单线性李代数的loop 代数的幂零元的一些结果占 国 兴 （指 导 教 师：舒 斌）[摘要] 本文讨论了复半单线性李代数g 的无限维loop 代数g L g L C ⊗≅)(中的幂零元问题，包括：①给出了)(g L 中幂零元的刻画，得到了与有限维复半单李代数情况下一致的结果．②对照有限维复半单李代数的Jacobson-Morozov 定理，给出了)(2sl L 中所有可能的Jacobson-Morozov 意义下的标准三元组（即构成同构于2sl 的子代数的一组标准基），从而给出)(2sl L 中所有具有如Jacobson-Morozov 定理中所述的能“嵌入”某一标准三元组这一性质的幂零元的具体形式．由此说明该定理在)(g L 的情形下不成立；给出了)(},,{g L Y X H ⊆成为标准三元组的必要条件．③类似于有限维复半单李代数在内自同构群作用下幂零轨道的刻画，在)(g L 中引入等价关系．由此引入幂零元的“轨道”，并给出“轨道”的刻画：每个“轨道”由确定的自然数的分划来决定．[关键词] loop 代数、幂零元、标准三元组、轨道、分划0 基本概念与记号以下总假定2),,(≥⊆n C n gl g 是域C 上的半单线性李代数（关于李代数的基本概念，请参看[3]）, l g C =dim ．],[1-=t t C L 为C 上的Laurent 多项式代数． 令 g L g x L t f x t f g L Ciiini i⊗≅∈∈=∑=},)(|)({)(1，则)(g L 关于以下换位运算构成C 上的无限维李代数：g y x L t g t f y x t g t f y t g x t f ∈∈∀=,,)(),(],,)[()(])(,)([，称)(g L 为C 上g 的loop 代数（参看[4]）．不妨将)(g L 中的元素看成以Laurent 多项式为元素的n 阶矩阵，例如：)(2sl L 中的任意元素均可表示为如下形式：L ,c(t),a(t),b(t)(t)c(t) -at)a(t) b(c(t) b(t) - a(t)∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********．定义1：设,0)(,1,=≥∈m adx m g x 使得若存在则称x 在g 中幂零．定义2：设,0)(,1),(=≥∈m adX m g L X 使得若存在则称X 在)(g L 中幂零．定义3：设g y x h ∈,,，y x h ,,都不为0，若h y x y y h x x h =-==],[,2],[,2],[， 则称},,{y x h 为g 中的标准三元组．定义4：设)(,,g L Y X H ∈，Y X H ,,都不为0，若H Y X Y Y H X X H =-==],[,2],[,2],[， 则称},,{Y X H 为)(g L 中的标准三元组．1 )(g L 中幂零元的刻画关于g 中的幂零元的刻画，我们有下述结果（参看[1] Proposition 1.1.3）：设),,(C n gl g x ⊆∈则x 在g 中幂零当且仅当0,1=≥mx m 使得存在．在)(g L 中，我们可得到类似的刻画：定理1：)(g L X ∈在)(g L 中幂零当且仅当0=nX ．证明：将)(g L 视为L 上的李代数，),(g L X ∈∀可仿照域C 上的李代数情形作出)(g L 的导子adX 在g 的任一组基}2,1|{l i g x i =∈下的变换矩阵．设i li ijj x t fx adX )()(1∑==,,)(L t f ij ∈l j ≤≤1，则令adX 在此组基下的变换矩阵为))((t f ij ．接下来给出证明中要用到的三个引理：引理1：设00,1),,(==≥∈n mx xm C n gl x 当且仅当使得则存在 (参看[6]) ．引理2：设0g ),,(=⊆∈n x x C n gl g x 中幂零当且仅当在则．证明：由[1]Proposition 1.1.3，再利用引理1，可看出结论． #引理3：存在无限多个0,≠∈aC a 使得)())((C M a f n ij ∈幂零（这里指矩阵的幂零性）的充要条件是：存在,1≥m 使得0))((=m ij t f ．证明：充分性：显然．必要性：))(())((t g t f ij lij =设,注意到)())((C M a g l ij ∈，利用引理1，则存在无限 多个0,≠∈a C a 使得0))((=a g ij ，于是有l j i t g ij ≤≤=,1,0)(，))((t g ij 0=，即 0))((=l ij t f ．取l m =即可． #现在来完成定理1的证明：设,)(,)(1L t l x t l Xi i li i ∈=∑=由定义有)(g L X ∈在)(g L 中幂零当且仅当,0)(,1=≥madX m 使得存在而根据)(g L 及))((t f ij 的定义，后者又等价于存在0))((,1=≥mij t f m 使得．由引理3，这又等价于存在无限多个0,≠∈a C a 使得)())((C M a f n ij ∈幂零．再由引理2，可得知它的充要条件为：存在无限多个0,≠∈a C a 使得0))((1=∑=nipi ix a l ，而这相当于0))((1=∑=ni pi i x t l ，即0=n X ．综上所述，定理1成立．#注记：实际上，由上述证明过程不难看出，)(g L X ∈在)(g L 中幂零当且仅当0)(=ladX ， 当且仅当0=nX ．注意到2sl 中元素x 幂零当且仅当0)det(=x ，不难得到推论1：)(2sl L X ∈在)(2sl L 中幂零当且仅当0)det(=X ．2 关于)(2sl L 中所有可能的标准三元组及Jacobson-Morozov定理在)(g L 情形的讨论关于g 中的幂零元与标准三元组的关系，我们有以下结论：Jacobson-Morozov 定理（参看[1]）：对于g 中的任一幂零元x ,总存在g y h ∈,,使},,{y x h 为一标准三元组．我们把具有Jacobson-Morozov 定理所述性质的幂零元称为能嵌入某一标准三元组的幂零元．引理4：设},,{y x h 为g 中的标准三元组,则x 在g 中幂零．证明：由2sl 的有限维表示理论（参看[2]2.2及[3]定理6.1.6），再利用[1]Propostion1.1.3，可 得结论． #由引理4，我们立即可以得到)(},,{g L Y X H ⊆成为标准三元组的一个必要条件：推论2：设},,{Y X H 为)(g L 中的标准三元组，则X 在)(g L 中幂零．证明: 设g x L t l x t l X i iipi i∈∈=∑=,)(,)(1,由引理4及引理1，可知0,00≠∈∀t C t ，0))((01=∑=ni pi i x t l ，于是，0))((1==∑=nipi i nx t l X ．由定理1，中幂零在L(g)X ． #很自然的，我们来考虑在)(g L 的情形下，Jacobson-Morozov 定理的情形如何？对于2sl g =，我们将给一个完整的解答．下面我们将确定)(2sl L 中所有可能的标准三元组．设},,{Y X H 为)(2sl L 中的一标准三元组，可令Lc c c b b b a a a -a c b a ,Y -a c b a ,X -a c b a H Y X H Y X H Y X H Y YY Y X XXX H H H H ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,,,,,,,,满足H Y X Y Y H X X H =-==],[,2],[,2],[．定理2：)(2sl L 中标准三元组},,{Y X H 的所有可能形式为：I)1=H a①⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--------n Hn n H nH n H t a b t a t a b t a b Y at X b H 11121 21 41- 21-,0 0 0,1- 0 1， Z n b L b a C a H H ∈≠∈≠∈,0,,0,．②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--0 0 0,00 0,1- 00 11 n n t a Y at X H ，Z n a C a ∈≠∈,0,． ③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--0 0 0,- - ,1- 2-0 1X 2X 1 X n n n X n at Y a at a t a a X at a H ， 0,,,0,≠∈∈≠∈X X a L a Z n a C a ．II)1-=H a设上面的情形1=H a 中可能的标准三元组为},,{000Y X H ，则1-=H a 时所有可能的标准三元组为},,{000X Y H ---．III) 12≠H a当且仅当X H H Y H H Y H H X H H a c a a b a a c a a b a )1( ,)1( ,)1( ,)1(++--H H H Y X c b a a a =-=214时，有如下标准三元组：．L a a c b a -a a a c a a b a ,Y -a a ac a a b a ,X -a c b a H Y X H H H Y H YH HY HY X H X H H X HX H HH H ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,,, , 11 11证明：由标准三元组的定义可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-)9( 22)8(22)7()6( )5()4(2)3( )2()1(2H Y X YX H Y X Y X H Y X Y X Y Y H YH Y Y H Y H Y Y H Y H X X H XH X X H X H X X H X H c c a a c b a b b a a b c c b c c a a c b a b b a a b c c b c c a a c b a b b a a b c c b 由以上九个式子，容易得到H H H H Y H Y H X H X H Y H Y H X H X H H c b b a b c c b a b b a a b b a b c c b b 22))(())((+=--+---=HH H H Y H Y H X H X H Y H Y H X H X H H c a b c c a a c b c c b b c c b c a a c c 22))(())((+=--+---=3))(())((H H H H Y H Y H X H X H Y H Y H X H X H H a c b a a b b a c a a c c a a c a b b a a +=--+---=由以上三个式子，0)1(,0)1(,0)1(222=-+=-+=-+H H H H H H H H H H H H c b a c c b a b c b a a ．由0≠H ,必有 12=+H H H c b a （10） 下面分三种情况讨论：I) 1=Ha由（2）有0=X H a b , 由（10）有0=H H c b ．接下来分两种情况：0≠H b ,则由（6），0==X H a c ．由（1），0=X c ． 由（7）, 1=Y X c b , 于是可令Z n a C a t a c at b n Y n X ∈≠∈==--,0,,,1由（4），nH Y ta b a ---=121．再由（5），nH Y t a b b ---=1241 此时可写出相应的},,{Y X H 的形式：Zn b L b a C a t a b t a t a b t a b Y at X b H H H n Hn n H nH n H ∈≠∈≠∈⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--------,0,,0, 21 41- 21-,0 0 0,1- 0 1111210=H b ,由（6），0=Y H a c ．再分(1.2.1)(1.2.2)两种情况讨论：0=H c ，由（3），0=X c ．由（9），0=Y X c a ．由（5），0=Y b ．由（4）， 0=Y a ．再由（7），1=Y X c b ．结合0=Y X c a 有0=X a ．此时可写出相应 的},,{Y X H 的形式：Zn a C a t a Y at X H n n ∈≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--,0,0 0 0,00 0,1- 00 110≠H c ，由0=YH a c 可知0=Y a ．由（4），0=Y b ．由（9），Y X H c a c 2-=．由（7），1=Y X c b ．再由（3），Y X X c a c 2-=．此时可写出相应的},,{Y X H 的形式：,,,0,0 0 0,- - ,1- 2-0 1X 2X 1 X ≠∈∈≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--X X nn n X n a L a Z n a C a at Y a at a t a a X at a H II) 1-=Ha此时设上面的情形1=H a 中的标准三元组为},,{000Y X H ，则1-=H a 时的标准三元组为},,{000X Y H ---．III)12≠H a由（2），X H H X a b a b =-)1(， 由（3），X H H X a c a c =+)1(， 由（5），Y H H Y a b a b =+)1(， 由（6），Y H H Y a c a c =-)1(，由上面四个式子可以得出X H H Y H H Y H H X H H a c a a b a a c a a b a )1( ,)1( ,)1( ,)1(++--． 结合上面四个式子及（8）（9）可得)1(4 ),1(422-=--=-H H Y X H H H Y X H a c a a c a b a a b ． 由上面两式可得142-=-H Y X a a a ．否则，将有0==H H c b ，结合（10）有12=H a ，则又回到第一、二种情形．综合所述事实，在满足X H H Y H H Y H H X H H a c a a b a a c a a b a )1( ,)1( ,)1( ,)1(++-- H H H Y X H c b a a a a =-=≠2214,1的条件下，不难验证L a a c b a -a a a c a a b a Y , -a a a c a a b a ,X -a c b a H YX H H H Y H Y H H Y HY X H X H H X HX H HH H ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,,,, , 11 11为一标准三元组．至此已给出了)(2sl L 所有可能的标准三元组的形式． #推论3：)(2sl L 中的幂零元X 可嵌入标准三元组中（即存在)(,2sl L Y H ∈，Y H ,都不为0，使},,{Y X H 成为)(2sl L 中的标准三元组）当且仅当X 具有下列形式之一：①Z n a C a at X at X n n ∈≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,0,0 0 0 0 0 0 ，，或 ②L a Z n a C a a at a t a a X X n n X ∈∈≠∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--,,0,- - X 2X1 ， ③L p Z n a C a p p p at X X X n∈∈≠∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,,0,- 1- X 2X ， ④存在 ,)1( ,)1( ,)1( ,,,,Y H H Y H H X H H Y H H H a b a a c a a b a L a c b a +--∈使X H H a c a )1(+，H H H Y X H c b a a a a =-=≠2214,1，此时 L a -a a a c a a b a X XX H X H H X HX ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= , 11．推论4：Jacobson-Morozov 定理在)(g L 的情形下不成立．也就是说，并不是)(g L 中的每个非0幂零元X ,都存在非0的)(,g L Y H ∈，使得H Y X Y Y H X X H =-==],[,2],[,2],[．证明：取2sl g =．Z n a C a at c b c X b X nX X X X ∈≠∈≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,0,,,,0 0 00 0 0或当时,0)det(=X ．由推论1，X 在)(2sl L 中幂零．但由推论3，X 不可嵌入任一标准三元组中． #3 L(g)中的幂零“轨道”考虑g 的内自同构群在g 上的作用，我们把g 中幂零元在g 的内自同构群作用下的轨道称为g 中的幂零轨道（参看[1]）．g 中只有有限多个幂零轨道．所有g 中的幂零轨道与一些带权的Dynkin 图之间存在着一一对应．那么，)(g L 中的幂零“轨道”的刻画又如何呢？下面将通过)(g L 中一等价关系来刻画)(g L 中的幂零“轨道”．在)(g L 中规定一关系“~”：设)(,g L Y X ∈，当且仅当存在Y ~X ),(g L P ∈P Y X P P ⋅=⋅≠,0)det(．引理5：以上定义的关系“~”为)(g L 中的等价关系．证明：记L 的分式域为^L ，类似的有g L g L C ⊗≅^^)(，不妨将)(g L 等同于)(^g L 中相应的元素．则上述关系“~”实际上就是域^L 上的矩阵的相似关系：尽管域^L 上的矩阵的相似关系为X,Y )(^g L ∈,X~Y 当且仅当存在P Y X P P g L P ⋅=⋅≠∈,0)det(),(^满足，但当)(),(^g L P g L P ∉∈时，只须取作为L 的分式域上的矩阵P 的各元素“分母”乘积)(t f ,令P t f P ⋅=)('，则有'''),(YP X P g L P =∈．于是，~为域^L 上的矩阵的相似关系在)(g L 上的限制，引理5得证． #设X 在)(g L 中幂零,不难看出，X 的“~”等价类中元素都在)(g L 中幂零．于是我们可将上面定义的幂零元等价类看作幂零“轨道”，以便同g 中的幂零轨道相比较．下面将引进分划的概念．自然数n 的分划为一个有序正整数组],,,[21k d d d ，满足n d d d d d d k k =++>≥≥≥ 2121,0．记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k d d d d d d JJ J X 0 0 00 0 0 00 0 2121],,,[ ，其中i d J 为i d 阶对角线元素为0的Jordan 块，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 0 0 010 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 1 0 id J ．下面仍采用引理5证明中的记号．域^L 上的幂零矩阵必相似于对角线元素为0的Jordan 矩阵（参看[5],3.10,ex6），故)(g L 中的幂零元等价类由n （),(C n gl g ⊆）的一个分划唯一确定，即存在n 的唯一分划],,,[21k d d d ，使],,,[21~X k d d d X ．我们把这样的],,,[21k d d d 称为)(g L 的一个特征分划．．．．；相仿的，可定义g 在相似等价关系下特征分．．．划．．为了记录分划中同一数出现的次数，引入指数记号： r i r r r i defi r i i t t t t t t t t t t t t rr>>>=2111121],,,[],,[121我们知道，g 中幂零元素的相似等价类也由n 的一个分划唯一确定，注意到g x L t l x t l X i i i pi i ∈∈=∑=,)(,)(1，将t 用任意非0复数代替则得到g 中的元素．综上所述，我们有，定理3： )(g L 中的幂零“轨道”由)(g L 的一个特征分划唯一确定，且)(g L 中的特征分划与g 对应的特征分划是一致的．记)(n P 为n 的所有分划构成的集合,))((g L P 为)(g L 的所有特征分划集，)(g P 为g 的所有特征分划集．由上述结论，再结合[1]中的Theorem5.1.1，5.1.2，5.1.3，5.1.4，可得，推论5： )()())((n P sl P sl L P n n ==11 / 11 )}2(mod 0)2(mod 0|)12(],,{[)())((21211212≡≡+∈==++k k i r i i n n i d n P d d d so P so L P r ，则若 )}2(mod 0)2(mod 1|)2(],,{[)())((212122≡≡∈==k k i r i i n n i d n P d d d sp P sp L P r ，则若 )}2(mod 0)2(mod 0|)2(],,{[)())((212122≡≡∈==k k i r i i n n i d n P d d d so P so L P r ，则若参考文献：[1] David H.collingwood and William M.McGovern, Nilpotent Orbits in Semisimple LieAlgebras,Van Nostrand Reinhold Math.Series ．[2] Roe Goodman and Nolan R.Wallach,Representations and Invariants of the ClassicalGroups,Cambridge University Press,1998．[3]孟道骥，复半单李代数引论，北京大学出版社，1998.1． [4]万哲先，Kac-Moody 代数导引，科学出版社，1993． [5]Nathan Jacobson,Basic Algebra I,W.H.Freeman and Company,1974． [6]陈志杰，高等代数与解析几何（下），高等教育出版社，2001.2．[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。

有限维幂零 Hom-李代数的分类陈雪;韩伟【摘要】首先研究了幂零和可解 Hom-李代数的一些性质，将经典有限维李代数的可解和幂零的一些结果推广到 Hom-李代数上，其次分类了四维和五维幂零Hom-李代数，根据 Hom-李代数的半中心的维数，可以将四维和五维幂零Hom-李代数分为3种和4种不同类型。

%Some properties on nilpotent and solvable Hom-Lie algebras are presented in this paper.The results on solvability and nilpotency of classical finite dimensional Lie algebras are generalized to Hom-Lie algebras.Furthermore,four dimensional and five dimensional nilpotent Hom-Lie algebras are classified. By the dimension of the half center of Hom-Lie algebras,four dimensional and five dimensional nilpotent Hom-Lie algebras can be divided into three and four different classes.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(052)006【总页数】7页(P6-12)【关键词】Hom-李代数;幂零性;分类【作者】陈雪;韩伟【作者单位】厦门理工学院应用数学学院，福建厦门 361024;上海交通大学数学科学学院，上海 200240【正文语种】中文【中图分类】O152.52006年，Hartwig等为了构造Witt 和 Virasoro代数的形变，引入了Hom-李代数的结构[1].一个Hom-李代数就是一个三元对(g,[·,·]，α),其中α是g上的线性映射，反对称双线性运算[·,·]满足α-扭不变的Jacobi等式，称为Hom-Jacobi等式.当α是恒等映射时，Hom-Jacobi等式退化为一般的Jacobi等式，此时g就是一个李代数.由于Hom-李代数在离散和形变向量场、微积分、Yang-Baxter方程等方面有很多应用，因此最近关于Hom-李代数的研究越来越深入[2-7].Yau研究了Hom-李代数的包络代数的构造及其性质[7].Jin等研究了半单李代数上的Hom-李代数结构，他们指出有限维单李代数没有任何非平凡的Hom-李代数结构，并且给出了有限维半单李代数具有非平凡Hom-李代数结构的充要条件[8].后来Benayadi等[2]又构造了具有对称不变非退化双线性型的Hom-李代数.Hom-李代数表示部分的研究也有了很大进展，Sheng[3]研究了Hom-李代数的伴随和平凡表示.本文的目的是研究幂零Hom-李代数.主要结构如下：第1部分列出了一些关于Hom-李代数的基本定义；第2部分给出幂零和可解Hom-李代数的一些性质；第3部分分类了四维幂零Hom-李代数；第4部分分类了部分五维幂零Hom-李代数.本文如非特别说明，所有代数都是有限维的,并且定义在特征为零的代数闭域C上. 定义1[1-9] Hom-李代数是一个三元对(g,[·,·]，α)，由线性空间g，双线性映射[·,·]：g×g→g，及线性映射α:g→g组成，满足下列条件：(1)[x,y]=-[y,x] (反对称性)，(2)对所有x,y,z∈g，有Hom-Jacobi等式，在上述定义中，若α是代数同态，即，对任意x,y∈g，有α([x,y])=[α(x),α(y)],则称(g,[·,·]，α)为保积Hom-李代数.定义2 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，η是g的一个子空间，若α(η)⊆η, [η,η]⊆η，则称(η,[·,·]，α)为Hom-李子代数.特别地，若[η,g]⊆η，则Hom-李子代数(η,[·,·]，α)称为(g,[·,·]，α)的理想.若对任意x,y∈g，有[x,y]=0，则称(g,[·,·]，α)为交换Hom-李代数.定义3 设,∀y∈g}，称C(g)是Hom-李代数(g,[·,·]，α)的中心.命题1 设(g,[·,·]，α)是一个保积Hom-李代数，则(Ker(α),[·,·]，α)是一个理想.证明显然对任意x∈Ker(α)，有α(x)=0∈Ker(α).由于对任意x∈Ker(α),y∈g，有α([x,y])=[α(x),α(y)]=[0,α(y)]=0，得到[x,y]∈Ker(α)，因此(Ker(α),[·,·],α)是(g,[·,·]，α)的一个理想. 】定义4[8] 设(g1,[·,·]，α)和(g2,[·,·]，β)是两个Hom-李代数，设φ:g1→g2是一个线性映射，如果对任意x,y∈g1，有则称φ是一个Hom-李代数同态.特别地，当φ是一个双射时，Hom-李代数(g1,[·,·]1，α)和(g2,[·,·]2，β)同构.定义5 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，如果(g,[·,·]，α)没有非平凡理想并且[g,g]=g，则称(g,[·,·]，α)为单Hom-李代数.如果(g,[·,·]，α)可以分解为一些单理想的直和，则称(g,[·,·]，α)为半单Hom-李代数.定义6 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，η是g的一个子空间，若[η,η]⊆η，则称η为(g,[·,·]，α)的一个半子代数.特别地，若[η,g]⊆η，则η称为(g,[·,·]，α)的半理想.定义7 设,∀y∈g},称Z(g)为Hom-李代数(g,[·,·]，α)的半中心.显然C(g)⊆Z(g)，那么何时C(g)=Z(g)成立呢？下面的命题给出了答案.命题2 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，给出C(g)=Z(g)成立的充分条件，(1)对任意x,y∈g，α([x,y])=[α(x),y]；(2)[g,g]=g;(3)α是(g,[·,·]，α)的一个自同构；(4)α是(g,[·,·]，α)的一个自同态，并且g=Z(g)+Im(α).证明显然由(1)可以推出C(g)=Z(g)成立.(2)对任意x∈Z(g),y∈g，存在u,v∈Z(g)使得[u,v]=y，则[α(x),y]=[α(x),[u,v]]=-[α(u),[v,x]]-[α(v),[x,u]]=0，因此x∈C(g).(3)对任意x∈Z(g),y∈g，由于[α(x),y]=α([x,α-1(y)])=0，于是有x∈C(g).(4)对任意x∈Z(g),y∈g，存在u∈g,v∈Z(g),使得y=α(u)+v,则[α(x),y]=[α(x),α(u)+v]=α([x,u])=0，因此x∈C(g). 】定义8 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，定义导出列：g(0)=g，g(1)=[g,g],g(2)=[g(1),g(1)],…,g(i)=[g(i-1),g(i-1)].如果存在g(n)=0，则称Hom-李代数(g,[·,·]，α)是可解的.定义降中心列：g0=g,g1=[g,g],g2=[g,g1],…,gj=[g,gi-1].如果存在gn=0，则称Hom-李代数(g,[·,·]，α)是幂零的.显然幂零Hom-李代数是可解的，而且导出列和降中心列的各项以及Z(g)都是半理想.对Hom-李代数(g,[·,·]，α)，由于可解性和幂零性都是用运算[·,·]定义的，没有用到线性映射α，那么我们能够很自然地将有限维李代数的可解和幂零的一些结果推广到Hom-李代数上.命题3 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，(1)如果(g,[·,·]，α)是可解的，则g的所有半子代数和同态像也是可解的.(2)如果η是g的一个可解的半理想并且g/η可解，则g也是可解的.(3)如果η1和η2是g的一个可解的半理想，则η1+η2也是可解的.命题4 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，(1)如果(g,[·,·]，α)是幂零的，则g的所有半子代数和同态像也是幂零的.(2)如果g/Z(g)是幂零的，则g也是幂零的.(3)如果g是幂零的且非零，则Z(g)≠0.本部分我们总是假设(g,[·,·]，α)是四维幂零Hom-李代数，则根据命题4(3)知道Z(g)≠0.因此根据dim(Z(g))，四维幂零Hom-李代数至多可以分为3类：(Ⅰ)dim(Z(g))=4(或3);(Ⅱ)dim(Z(g))=2;(Ⅲ)dim(Z(g))=1.定理1 设dim(Z(g))=4(或3)，则四维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α)是交换的.设(g1,[·,·]，α)和(g2,[·,·]，β)是2个四维幂零Hom-李代数且dim(Z(g1))=dim(Z(g2))=4(或3)，设A(或B)是α(或β)在g1(或g2)的任意一组基下对应的矩阵，则2个四维幂零Hom-李代数(g1,[·,·]，α)和(g2,[·,·]，β)同构当且仅当A和B是相似矩阵.证明显然由假设条件可以得到结论. 】定理2 设dim(Z(g))=2.(1)对四维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α)，可以选择一组基{x1,x2,x3,x4}，使得方括号运算满足[x3,x4]=x1，其余为零.(2)设g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4是一个复数域上的向量空间，定义方括号运算：[x3,x4]=x1，其余为零，则对g上的任意线性映射α，(g,[·,·]，α)是四维幂零Hom-李代数.(3)由向量空间g，(2)中方括号运算和g上的线性映射α1和α2定义的四维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同构当且仅当存在φ∈Ψ，使得φ∘α1=α2∘φ，其中Ψ={φ是g上的可逆线性映射：证明 (1)当dim(Z(g))=2，显然可以得到dim([g,g])=1,并且[g,g]⊆Z(g).因此可以选择两个非零向量x1∈[g,g],x2∈Z(g)使得{x1,x2}线性无关，然后将{x1,x}扩充为g的一组基{x1,x2,x3,x4}使得方括号运算为[x3,x4]=x1，其余为零.(2)对g上的任意线性映射α，显然Hom-Jacobi等式成立，因此(g,[·,·]，α)是Hom-李代数，由方括号运算，显然g2=0，所以(g,[·,·]，α)是幂零的.(3)由(2)，对g上的任意线性映射α1和α2，(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)都是四维幂零Hom-李代数.设φ是g上的可逆线性映射，容易验证对任意x,y∈g,φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]，当且仅当其中.因此φ是(g,[·,·]，α1)到(g,[·,·]，α2)的同构当且仅当φ∈Ψ并且φ∘α1=α2∘φ. 】定理3 设dim(Z(g))=1.(1)则dim([g,g])=2，可以选择四维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α)的一组基{x1∈Z(g),x2,x3,x4}，使得方括号运算满足[x2,x3]=x1,[x3,x4]=x2，其余为零.(2)设g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4是复数域上的向量空间，定义方括号运算：[x2,x3]=x1,[x3,x4]=x2，其余为零.则对任意α∈Φ，(g,[·,·]，α)是一个四维幂零Hom-李代数，其中Φ={α是g上的线性映射:*表示任意复数}.(3)由向量空间g，(2)中方括号运算以及g上的线性映射α1和α2(α1,α2∈Φ)定义的四维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同构,当且仅当存在φ∈Γ，使得φ∘α1=α2∘φ，其中Γ={φ是g上的可逆线性映射:证明 (1)当dim(Z(g))=1，显然dim([g,g])≤3，如果dim([g,g])=3，则g不是幂零的，与已知条件矛盾.如果dim([g,g])=1，则由g的幂零性可以推出[g,g]=Z(g).因此可以选择非零向量x1∈Z(g)并将{x1}扩充为g的一组基{x1,y1,y2,y3}.设[y1,y2]=k2x1，[y2,y3]=k2x1， [y3,y1]=k3x1，其，假设k1≠0，则.另外显然x1与线性无关，这与dim(Z(g))=1矛盾.如果dim([g,g])=2，则根据g的幂零性,显然有Z(g)⊂[g,g].因此可以选择[g,g]的一组基{x1∈Z(g),x2}并将其扩充为g的一组基{x1,x2,x3,x4}.设其中,并且d≠0.假设a≠0，用替换x2,x3,x4，并且仍然用x2,x3,x4的记号，则方括号运算简化为[x2,x3]=x1， [x3,x4]=x2，其余为零.(2)设α是g上的一个线性映射，显然α只需要对x1,x3,x4和x2,x3,x4满足Hom-Jacobi等式即可，即由方括号运算，上面的算式可以化简为因此则α满足Hom-Jacobi等式当且仅当α∈Φ，所以推出(g,[·,·]，α)是Hom-李代数，另外g3=0，故g是幂零的.(3) 由(2)，对线性映射α1,α2∈Φ，(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)都是四维幂零Hom-李代数.设φ是g上的可逆线性映射，容易验证对任意x,y∈g,φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]当且仅当其中a11a22≠0.因此φ是(g,[·,·]，α1)到(g,[·,·]，α2)的同构,当且仅当φ∈Γ并且φ∘α1=α2∘φ. 】本部分假设(g,[·,·]，α)是一个五维幂零Hom-李代数，则根据命题4(3)，知道Z(g)≠0.因此根据dim(Z(g))，五维幂零Hom-李代数至多可以分为4类：(Ⅰ)dim(Z(g))=5(或4);(Ⅱ)dim(Z(g))=3;(Ⅲ)dim(Z(g))=2,(Ⅳ)dim(Z(g))=1.定理4 设dim(Z(g))=5(或4)，则五维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α)是交换的.设(g1,[·,·]1，α)和(g2,[·,·]2，β)是2个五维幂零Hom-李代数,且dim(Z(g1))=dim(Z(g2))=5(或4)，设A(或B)是α(或β)在g1(或g2)的任意一组基下对应的矩阵，则2个五维幂零Hom-李代数(g1,[·,·]1，α)和(g2,[·,·]2，β)同构,当且仅当A和B是相似矩阵.证明显然由假设条件可以得到结论. 】定理5 设dim(Z(g))=3.(1)对五维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α)，可以选择一组基{x1∈[g,g],x2,x3,x4,x5}，使得方括号运算满足[x4,x5]=x1，其余为零.(2)设g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4⊕Cx5是一个复数域上的向量空间，定义方括号运算：[x4,x5]=x1，其余为零，则对g上的任意线性映射α，(g,[·,·]，α)是五维幂零Hom-李代数.(3)由向量空间g，(2)中方括号运算和g上的线性映射α1和α2定义的五维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同构当且仅当存在φ∈Π，使得φ∘α1=α2∘φ，其中Π={φ是g上的可逆线性映射：证明 (1)当dim(Z(g))=3，显然可以得到dim([g,g])=1并且[g,g]⊆Z(g).因此可以选择2个非零向量x1∈[g,g],x2,x3∈Z(g)使得{x1,x2,x3}线性无关，然后将{x1,x2,x3}扩充为g的一组基{x1,x2,x3,x4,x5}使得方括号运算为[x4,x5]=x1，其余为零.(2)对g上的任意线性映射α，显然Hom-Jacobi等式成立，因此(g,[·,·]，α)是Hom-李代数，由方括号运算，显然g2=0，所以(g,[·,·]，α)是幂零的.(3)由(2)，对g上的任意线性映射α1和α2，(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)都是五维幂零Hom-李代数.设φ是g上的可逆线性映射，容易验证对任意x,y∈g,φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]，当且仅当其中.因此φ是(g,[·,·]，α1)到(g,[·,·]，α2)的同构当且仅当φ∈Π并且φ∘α1=α2∘φ. 】定理6 设dim(Z(g))=2.(1)五维幂零Hom-李代数按方括号运算的形式可分为互不同构的3类:设{{x1,x2}∈Z(g),x3,x4,x5}是一组基(a)[x3,x4]=x1,[x3,x5]=x2，其余为零;(b)[x3,x4]=x1,[x4,x5]=x3，其余为零;(c)[x3,x4]=x1,[x3,x5]=x2,[x4,x5]=x3，其余为零.(2)设g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4⊕Cx5是复数域上的向量空间，定义上述(a),(b)或(c)型方括号运算.则对任意线性映射α(α∈T1或α∈T2)，(g,[·,·]，α)是一个五维幂零Hom-李代数，其中*表示任意复数}.*表示任意复数}.(3)由向量空间g，(2)中(a),(b)或(c)型方括号运算以及g上的线性映射α1和α2(α1,α2∈T1，或α1,α2∈T2)定义的五维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同构当且仅当存在φ∈Π1 (ψ∈Π2或η∈Π3)，使得φ∘α1=α2∘φ(ψ∘α1=α2∘ψ或η∘α1=α2∘η)，其中Π1={φ是g上的可逆线性映射:证明 (1)当dim(Z(g))=2，显然dim([g,g])≤4，如果dim([g,g])=4，则g不是幂零的，与已知条件矛盾.如果dim([g,g])=1，则由g的幂零性可以推出[g,g]⊆Z(g).因此可以选择Z(g)的一组基{x1∈[g,g],x2}并将其扩充为g的一组基{x1,x2,x3,x4,x5}.设[x3,x4]=k1x1，[x4,x5]=k2x1,[x5,x3]=k3x1，其中,假设k1≠0，则.另外显然线性无关，这与dim(Z(g))=2矛盾.如果dim([g,g])=2，则分为2种情况，[g,g]=Z(g)和[g,g]≠Z(g).(Ⅰ)当[g,g]=Z(g)时，可以选择g的一组基{x1,x2,x3,x4,x5}使得方括号运算满足：[x3,x4]=x1, [x3,x5]=x2，其余为零，这就是(a)型；(Ⅱ)当[g,g]≠Z(g)，可以选择非零向量x1∈Z(g)∩[g,g]，x2∈Z(g),x3∈[g,g]使得{x1,x2,x3}线性无关，再将其扩充为g的一组基{x1,x2,x3,x4,x5}.设其中并且k≠0.不失一般性，假设m≠0，用替换x3,x4,x5，并且仍然记为x3,x4,x5，则方括号运算简化为[x3,x4]=x1，[x4,x5]=x3，其余为零，这就是(b)型.(Ⅲ)如果dim([g,g])=3，则由g的幂零性可以得到Z(g)⊆[g,g].因此可以选择g的一组基{x1∈Z(g),x2∈Z(g),x3∈[g,g],x4,x5}使得方括号运算为[x3,x4]=x1,[x3,x5]=x2, [x4,x5]=x3，其余为零，这就是(c)型.(2)对(a)型，显然Hom-Jacobi等式对g上的任意线性映射α都成立，而且由方括号运算得g3=0，所以(g,[·,·],α)是一个五维幂零Hom-李代数.对(b)型，设α是g上的一个线性映射，则只要证明α对{x1,x4,x5}，{x2,x4,x5},{x3,x4,x5}满足Hom-Jacobi等式即可，即由方括号运算，上面的算式可以化简为因此，则α满足Hom-Jacobi等式当且仅当α∈T1，故推出(g,[·,·],α1)是Hom-李代数，由于g3=0，所以g是幂零的.(c)型的证明与(b)型类似，我们在此省略.(3)对(a)型，由(2)，对g上的任意线性映射α1和α2，(g,[·,·],α1)和(g,[·,·],α2)都是五维幂零Hom-李代数.设φ是g上的可逆线性映射，容易验证对任意x,y∈g,φ[x,y]=[φ(x),φ(y)]当且仅当其中:因此φ是(g,[·,·],α1)到(g,[·,·],α2)的同构当且仅当φ∈Π1,并且φ∘α1=α2∘φ.类似于(a)型的证明，我们很容易验证(b)型和(c)型，因此(b)型和(c)型的证明省略. 】注：当dim(Z(g))=1时，五维幂零Hom-李代数的分类更加复杂，对这种类型以及更一般的n维幂零Hom-李代数的分类，我们将在以后的论文中给出.E-mail:****************.cn【相关文献】[1] HARTWIG J T,LARSSON D,SILVESTROV S D.Deformations of Lie algebras using-derivations[J].J Algebra,2006,295:314.[2] BENAYADI S, MAKHLOUF A.Hom-Lie algebras with symmetric invariant nondegenerate bilinear forms[J].J of Geometry and Phys,2014,76:38.[3] SHENG Y H. Representations of Hom-Lie algebras[J].Algebra RepresentTheory,2012,15(6):1081.[4] MAKHLOUF A,SILVESTROV S.Notes on formal deformations of Hom-associative and Hom-Lie algebras[J].Forum Math,2010,22(4):715.[5] YAU D.Hom-Yang-Baxter equation,Hom-Lie algebras,and quasi-triangular bialgebras[J].J Phys A:Math Theor,2009,42(16):1076.[6] YAU D.Hom-algebras and homology[J].J Lie Theory,2009,19(2):409.[7] YAU D.Enveloping algebras of Hom-Lie algebras[J].J Gen Lie Theory Appl,2008,2:95.[8] JIN Q Q,LI X C. Hom-Lie algebra structures on semi-simple Lie algebras[J].J Algebra,2008,319(4):1398.[9] MAKHLOUF A,SILVESTROV S. Hom-algebra structures[J].J Gen Lie TheoryAppl,2008,2(2):51.。

代数表示理论的简要介绍与近期发展21511111 xxx摘要：代数表示理论是代数学的一个新的重要分支. 在近二十五年的时间里, 这一理论有了很大的发展。

代数表示论是本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本内容是研究一个A r t i n 代数上的模范畴。

由于各国代数学家的共同努力,这一理论于最近二十年来有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。

本文主要从 Hall 代数和拟遗传代数两个方面介绍代数表示论的一些最新进展。

关键词：Hall 代数;遗传代数; Kac-Moody 李代数; 拟遗传代数;介绍早在二十世纪初,W d e d erb u rn的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构,这种代数同构于有限个除环上的全矩阵代数的直和,其上的模都是半单模.那么,非半单代数的结构又如何呢? 经典的结构理论是将一个代数划分为根和半单两部分,将代数看作它的根借助半单部分的扩张.并由幂零根发展到谐零根、J。

o b so n 根等各种不同性质的根.一般来说,半单部分能够给出较好的刻画,但根的结构非常复杂。

为此专门发展起了“根论”,进行这方面的研究。

1 9 4 5年,美国数学家B a rue r 和T h a r n 提出了关于有限维代数的两个猜测.第一,“有界表示型代数是有限的。

”第二,“对于任意一个无限表示型代数,存在无限多个自然数d,使得维数等于d 的模有无限多个。

”这两个猜测成为代数表示论的起源。

所谓一个代数是有限表示型的,是指它仅有有限多个(在同构意义下) 不可分解模,反之,称为无限型的.众所周知,一个代数的模与代数的表示,即代数到一个全矩阵代数的同态像是一回事.如果我们把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片,则有限表示型代数是用有限张照片就可以揭示清楚的一种代数,当然比较简单.而无限型代数则需用无限多张照片才能表达。

代数表示论就是研究一个给定的A r t i n 代数是有限型还是无限型.若是有限型,确定其全体不可分解模;若是无限型,给出模的分布情况.我们大家所熟悉的J o r d a n 标准型就可以看作是单变元多项式环的商环的表示。

一类对合幂等元半环的刻画一、引言与预备知识在半环代数理论的研究中，对幂等元半环的研究是十分活跃的领域.近年来，许多专家学者对其进行了深入细致的研究.Sen M.K等研究了满足恒等式x+xy+x≈x+yx+x≈x的?绲仍?半环簇的一个子簇R + ○ D.对合半环在代数学的不同领域和计算机科学中占有重要地位.例如，在形式语言和自动机理论中语言对合半环丰富了Kleene循环运算理论.近年来，Dolinca I对对合半群和对合半环做了大量的研究.本文给出了满足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的对合幂等元半环簇的一个子簇，讨论了该簇中成员的一些性质，最后，得到了这类对合幂等元半环的几个等价刻画.若非空集合S上装有两个二元运算加法+和乘法?，其中（S，+）和（S，?）是半群，且满足乘法对加法的分配律，即（a，b，c∈S），a（b+c）=ab+ac，则称（S，+，?）是半环.以下在不引起混淆的情况下，半环（S，+，?）简写为S.幂等元半环是指（S，+，?）是半环，且（a∈S），a+a=a，aa=a.含对合运算的半环（S，+，?，）是指（S，+，?）是半环，且有下式成立：（a，b∈S）（a+b）=b+a，（ab）=ba，（a）=a.即是S上的反自同构，也可以看作半环上的一元运算.把含对合运算的幂等元半环简称为对合幂等元半环.簇是关于同态像、直积和子代数封闭的代数类.所有对合幂等元半环形成的类是满足一组给定等式的代数类，因而它就是一个簇.双半格是满足恒等式x+y≈y+x，xy≈yx的幂等元半环.单演双半格是满足恒等式x+y≈xy的双半格，左零半环是满足恒等式x+y≈xy≈x的半环.为了以下叙述的方便，本文将用I表示对合幂等元半环簇，用M表示对合单演双半格簇，用Lz表示对合左零带簇.两个幂等元半环类V和W的Mal′cev积，记为V ○ W.它是满足下面条件的幂等元S的全体：S上存在同余ρ使得S/ρ∈W和每个ρ-类都是S的子代数，且都在V中.若（S，+，?）是半环，则D + 和D ? 分别表示加法和乘法半群上的格林关系，若S∈I，易得D + 是S上的同余关系，而D ? 不是S上的同余关系，但D + 和D ? 分别是（S，+）和（S，?）上的最小半格同余.二、主要结果我们主要来研究满足恒等式x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，x+xy≈xy+y≈xy的对合幂等元半环，为此先来给出一个引理.引理2.1 若对合幂等元半环S满足附加恒等式x+y≈xy，（1）x+y+x≈x+y. （2）则S满足x+xy+x≈y+yx+y≈y+x，（3）x+xy≈xy+y≈xy. （4）引理2.2 若S是满足（3）与（4）的对合幂等元半环，则D + 是S上的最小单演双半格同余.定理2.3 若S是对合幂等元半环，则下列命题等价（?。

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幂零李代数林丽芳，曾月迪，陈梅香(莆田学院数学与金融学院，福建莆田 351100)0 引言在研究向量场上Witt代数和Virasoro代数的量子形变时，Hom-Lie代数的结构得到了学者的关注与研究[1].Hom-Lie代数作为李理论的一个重要研究方向，与李代数有着十分密切的关系.近年来一些特殊李代数上的Hom-结构得到了充分研究，比如一个5-维可解李代数[2]、(n-3)-filiform李代数[3]、扭Heisenberg李代数[4]、李代数W(2,2)[5].作为一类重要的李代数，幂零李代数的结构和表示在李理论的研究中占有重要地位.GRAAF[6]通过确定基元的方法给出了低维幂零李代数的分类.本文根据低维幂零李代数在同构意义下的分类，确定了4-维幂零李代数的Hom-李代数结构.1 预备知识定义1[1]设L为域上的向量空间，带有线性映射α:L→L，L 上定义一个乘法运算[-,-]:L×L→L(称为方括号)，如果满足以下条件：(i)α[x,y]=[α(x),α(y)], ∀x,y∈L；(ii)[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y], ∀λ1,λ2∈, ∀x1,x2,y∈L；(iii)[x,y]=-[y,x],∀x,y∈L；(iv)Hom-Jacobi等式：[(α+Id)(x),[y,z]]+[(α+Id)(y),[z,x]]+[(α+Id)(z),[x,y ]]=0, ∀x,y,z∈L，则称(L,[-,-],α)为域上的一个Hom-Lie代数，当α=Id时，Hom-Lie代数就为Lie代数.GRAAF[6]对低维幂零李代数的结构做出了如下分类：引理[6]设L是特征为0的代数闭域上维数等于4的幂零李代数，e1,e2,e3,e4是L的一组基，则在同构的意义下，仅有如下三类(其中没有写出来的基元方括号运算为0)：L4,1:[ei,ej]=0；L4,2:[e1,e2]=e3；L4,3:[e1,e2]=e3,[e1,e3]=e4.下面研究4-维幂零李代数L4,1,L4,2,L4,3上的Hom-Lie代数结构，也就是确定其上的满足Hom-Jacobi等式的自同态.2 主要结论定理1 对于任何一个双线性同态映射α，(L4,1,α)均可构成一个Hom-Lie代数.证明因为L4,1是可交换李代数，基元上的方括号运算等于0，即[ei,ej]=0,i,j=1,2,3,4，所以对于任何一个双线性同态映射α，α保持基元的方括号运算和Hom-Jacobi恒等式，也即(L4,1,α)构成一个Hom-Lie代数.定理2 若(L4,2,α)是一个Hom-Lie代数，则Hom-同态α在L4,2的基元上的作用可表示为其中，a11a24-a21a14=0，a12a24-a22a14=0，a31,a32,a41,a42,a34,a44为任意常数.证明假设Hom-同态α在L4,2的基元上的作用为将α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，即[a11e1+a21e2+a31e3+a41e4,a12e1+a22e2+a32e3+a42e4]=a13e 1+a23e2+a33e3+a43e4.根据L4,2的基元运算，比较两边系数有a13=a23=a43=0，a33=a11a22-a21a12.(1)将α作用在[e1,e4]=0上，可得[α(e1),α(e4)]=0，比较两边系数有a11a24-a21a14=0.(2)将α作用在[e2,e4]=0上，可得[α(e2),α(e4)]=0，比较两边系数有a12a24-a22a14=0.(3)因为L4,2上的基元运算为[e1,e2]=e3，而e3与其他基元的方括号运算为0，所以α显然满足Hom-Jacobi等式：[α(ei),[ej,ek]]+[α(ej),[ek,ei]]+[α(ek),[ei,ej]]=0, 1≤i,j,k≤4.结合(1)(2)(3)式，即得Hom-同态α在L4,2的基元上的作用如定理2.定理3 若(L4,3,α)是一个Hom-Lie代数，则Hom-同态α在L4,3的基元上的作用可表示为如下四种情况：证明假设Hom-同态α在L4,3的基元上的作用为由于[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，即方括号运算结果仅含有e3,e4，而α保持方括号运算，比较运算两边系数可知α(e3),α(e4)中含有e1,e2的系数都为0，即b13=b23=b14=b24=0.(4)将α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，比较两边系数，并结合(4)有b11b22-b21b12=b33，(5)b11b32-b31b12=b43.(6)将α作用在[e1,e3]=e4上，可得[α(e1),α(e3)]=α(e4)，比较两边系数并结合(4)有b34=0，(7)b44=b11b33.(8)将α作用在[e2,e3]=0上，可得[α(e2),α(e3)]=0，比较两边系数并结合(4)有b12b33=0.(9)因为L4,3上的基元运算为[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，e4与其他基元的方括号运算为0，α(e3),α(e4)中e1的系数为0，所以α显然满足Hom-Jacobi等式：由(9)可知，b12,b33的取值分为b12=0,b33≠0；b12≠0,b33=0；b12=0,b33=0三种情况.当b12=0,b33=0时，式(5)(6)(8)可化为b11b22=0,(10)b11b32=b43，(11)b44=0.(12)由(10)可知，b11的取值分为b11=0和b11≠0两种情况.当b11=0时，由(11)可知，b43=0，结合(4)(7)(12)，即得定理3中第三种情况.当b11≠0时，由(10)可知，b22=0，结合(4)(7)(11)(12)，即得定理3中第四种情况.。

n-李代数的Hypo-幂零理想白瑞蒲;吴万青;时翠梅【摘要】The Hypo-nilpotent ideals of n-Lie algebras and the algebraic structure of solvable 3-Lie algebras which have a 5 dimensional Hypo-nilpotent ideal N are mainly concerned. It is proven that there exist Hypo-nilpotent ideals for the solvable non-nilpotent n-Lie algebras, and the co-dimension of the nilpotent radical is one. The dimensional relations between the maximal Hypo-nilpotent ideals of solvable non-nilpotent 3-Lie algebras and 3-Lie algebras are offered. For a class of 3-Lie algebras which have special a 5 dimensional nilpotent ideal, the dimension sequence DS of derivative algebras and the decreased center the dimension sequence CS and their relations are considered.%研究n-李代数的Hypo-幂零理想,及具有5维极大Hypo-幂零理想的所有可解3-李代数的结构.证明可解非幂零n-李代数一定存在Hypo-幂零理想,且其幂零根基的余维数等于1.给出可解非幂零3-李代数的极大Hypo-幂零理想与3-李代数的维数关系.对具有一类特殊5-维极大次幂零理想的可解3-李代数的每一类3-李代数,分别研究了其导代数维数序列DS及下降中心维数序列CS,及他们之间的关系.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2011(028)001【总页数】4页(P4-7)【关键词】n-李代数;Hypo-幂零理想;可解3-李代数【作者】白瑞蒲;吴万青;时翠梅【作者单位】河北大学,数学与计算机学院,保定,071002;河北大学,数学与计算机学院,保定,071002;河北工程大学,理学院,邯郸,056000【正文语种】中文【中图分类】O152.5n－李代数［1－2］(又称为Filippov代数，Nambu－Poisson代数)由前苏联数学家Filippov在1985年提出，但此多元代数系统已经被更早地应用到物理研究领域。

幂零李代数和可解李代数的性质
一、幂零李代数：
幂零李代数是一个多变量的函数，它的每一个变量都是高次幂的，它
的形式为：
f(x1, x2, ..., xm)=x1e1 + x2e2 + ... + xmeM
二、可解李代数的性质：
1、该函数具备良好的集合性，它的每个变量都有良好的交换性，它的
变量之间可以相互交换；
2、该函数兼容数学归纳法，可以证明函数的任何性质；
3、该函数具备唯一性，一旦给定一个特定的解，就可以唯一确定其他解；
4、该函数具有对称性，即对于任何一个整数k，可以有f (x1, x2, …, xm)=-f (x1, x2, …, xm+k)；
5、该函数满足递推原理，可以由函数自身的性质衍生出更多新的函数；
6、该函数可以由变量之间的关系给出，而不需要考虑所有的变量，从而可以简化计算的难度。

近世代数题解第一章基本概念§1. 11.4.5.近世代数题解§1. 2 2.3.近世代数题解§1. 31. 解1)与3)是代数运算，2)不是代数运算．2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n．3. 解例如A B＝E与A B＝AB—A—B．4.5.近世代数题解§1. 41.2.3.解1）略2）例如规定4．5．略近世代数题解§1. 51. 解1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射．2.略3.4.5.§1. 61.2. 解1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性；3)是等价关系；4)是等价关系．3. 解3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类．4.则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5.6.证1）略2）7.8.9.10.11.12.第二章群§2. 1 群的定义和初步性质一、主要内容1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子．2．群的初步性质1)群中左单位元也是右单位元且惟一；2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一：3)半群G是群⇔方程a x=b与y a=b在G中有解(∀a ,b∈G)．4)有限半群作成群⇔两个消去律成立．二、释疑解难有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种：1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”；2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”；3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”；4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(∀a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”．“左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续(虽然这层手续一般是比较容易的)；优点是：①不用再去证明左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元；②从群定义本身的条件直接体现了左与右的对称性．以施行“除法运算”，即“乘法”的逆运算．因此，群的‘方程定义法”直接体现了在群中可以施行“乘法与除法”运算．于是简言之，可以施行乘法与除法运算的半群就是群．为了开阔视野，再给出以下群的另一定义．定义一个半群G如果满足以下条件则称为一个群：对G中任意元素a，在G中都存在元素1-a，对G中任意元素b都有1-a(ab)=(ba)1-a=b．这个定义与前面4种定义的等价性留给读者作为练习．2．在群的“方程定义法”中，要求方程a x=b与y a=b都有解缺一不可．即其中一个方程有解并不能保证另一个方程也有解．4．关于结合律若代数运算不是普通的运算(例如，数的普通加法与乘法，多项式的普通加法与乘法以及矩阵、变换和线性变换的普通加法或乘法)，则在一般情况下，验算结合律是否成立比较麻烦．因此在代数系统有限的情况下，有不少根据乘法表来研究检验结合律是否成立的方法．但无论哪种方法，一般都不是太简单．5．关于消去律．根据教材推论2，对有限半群是否作成群只用看消去律是否成立．而消去律是否成立，从乘法表很容易看出，因为只要乘法表中每行和每列中的元素互异即可．6．在群定义中是否可要求有“左”单位元而每个元素有“右”逆元呢？答不可以，例如上面例2就可以说明这个问题，因为e1是左单位元，而e1与e2都有右逆元且均为e1．但G并不是群．7．群与对称的关系．1)世界万物，形态各异．但其中有无数大量事物部具有这样或那样的对称性．而在这些具有对称性的万事万物中，左右对称又是最为常见的．由群的定义本身可知，从代数运算到结合律，特别是左、右单位元和左、右逆元，均体现出左右对称的本质属性．2)几何对称．设有某一几何图形，如果我们已经找到了它的全部对称变换(即平常的反射、旋转、反演和平移变换的统称)，则此对称变换的全体关于变换的乘法作成一个群，称为该图形的完全对称群．这个图形的对称性和它的完全对称群是密切相关的．凡对称图形(即经过对称变换保持不变的图形、亦即完成这种变换前后的图形重合)，总存在若干个非恒等对称变换和恒等变换一起构成该图形的完全对称群．反之，如果一个图形存在着非平凡的对称变换，则该图形就是对称图形．不是对称的图形，就不能有非恒等的对称变换．显然，一个图形的对称程度越高，则该图形的对称变换就越多．也就是说它的完全对称群的阶数就越高，即图形对称程度的高低与其对称群的阶数密切相关．因此；这就启发人们用群去刽面对称图形及其性质，用群的理论去研究对称．所以人们就把群论说成是研究对称的数学理论．显然，每个n元多项式都有一个确定的n次置换群：例如n元多项式例6 任何n元对称多项式的置换群都是n次对称群．很显然，一个多元多项式的置换群的阶数越高，这个多元多项式的对称性越强．反之亦然．因此，我们通常所熟知的多元对称多项式是对称性最强的多项式．三、习题2．1解答1.略2.3.4.5.6.§2. 2 群中元素的阶一、主要内容1．群中元素的阶的定义及例子．周期群、无扭群与混合群的定义及例子．特别，有限群必为周期群，但反之不成立．2．在群中若a＝n，则4．若G是交换群，又G中元素有最大阶m，则G中每个元素的阶都是m的因子．二、释疑解难在群中，由元素a与b的阶一般决定不了乘积ab的阶，这由教材中所举的各种例子已经说明了这一点．对此应十分注意．但是，在一定条件下可以由阶a与b决定阶ab，这就是教材中朗定理4：4．一个群中是否有最大阶元?有限群中元素的阶均有限，当然有最大阶元．无限群中若元素的阶有无限的(如正有理数乘群或整数加群)，则当然无最大阶元，若无限群中所有元素的阶均有限(即无限周期群)，则可能无最大阶元，如教材中的例4：下面再举两个(一个可换，另一个不可换)无限群有最大阶元的例子．5．利用元素的阶对群进行分类，是研究群的重要方法之一．例如，利用元素的阶我们可以把群分成三类，即周期群、无扭群与混合群．而在周期群中又可分出p—群p是素数)，从而有2—群、3—群、5—群等等．再由教材§3. 9知，每个有限交换群(一种特殊的周期群)都可惟一地分解为素幂阶循环p—群的直积，从而也可见研究p—群的重要意义．三、习题2．2解答1.2.3.4.5.推回去即得．6.§2. 3 子群一、主要内容1．子群的定义和例子．特别是，特殊线性群(行列式等于l的方阵)是一般线性群(行列式不等于零的方阵)的子群．4．群的中心元和中心的定义．二、释疑解难１．关于真子群的定义．教材把非平凡的子群叫做真子群．也有的书把非G的于群叫做群G的真子群．不同的定义在讨论子群时各有利弊．好在差异不大，看参考书时应予留意．2．如果H与G是两个群，且H⊆G，那么能不能说H就是G的子群?答：不能．因为子群必须是对原群的代数运算作成的群．例如，设G是有理数加群，而H 是正有理数乘群，二者都是群，且H⊆G但是不能说H是G的子群．答：不能这样认为．举例如下．例2设G是四元数群．则显然是G的两个子群且易知反之亦然．三、习题2．3解答1．证赂．2．证必要性显然，下证充分性．设子集H对群G的乘法封闭，则对H中任意元素a和任意正整数m都有a m∈H．由于H 中每个元素的阶都有限，设a ＝n ，则3．对非交换群一放不成立．例如，有理数域Q 上全体2阶可逆方阵作成的乘群中，易知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021a ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1031b的阶有限，都是2，但易知其乘积⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011ab的阶却无限．即其全体有限阶元素对乘法不封闭，故不能作成子群．4．证 由高等代数知，与所有n 阶可逆方阵可换的方阵为全体纯量方阵，由此即得证． 5．证 因为(m ，n )＝1，故存在整数s ，t 使 ms 十n t ＝1． 由此可得6．7．§2. 4 循环群一、主要内容1．生成系和循环群的定义．2．循环群中元素的表示方法和生成元的状况．3．循环群在同构意义下只有两类：整数加群和n次单位根乘群，其中n＝1，2，3，…．4．循环群的子群的状况．无限循环群有无限多个子群．n阶循环群a有T(n)(n的正出数个数)个子群，且对n的每个正因数k，a有且仅有一个k阶子群k n a．二、释疑解难1．我们说循环群是一类完全弄清楚了的群，主要是指以下三个方面：1)循环群的元素表示形式和运算方法完全确定．其生成元的状况也完全清楚(无限循环群有ϕ个生成元而且a k是生成元⇔(k n)＝1)；两个生成元，n阶循环群a有)(n2)循环群的子群的状况完全清楚；3)在同构意义下循环群只有两类：一类是无限循环群，都与整数加群同构；另一类是n(n ＝1，2，…)阶循环群，都与n次单位根乘群同构．2．循环群不仅是一类完全弄清楚了的群，而且是一类比较简单又与其他一些群类有广泛联系的群类．例如由下一章§9可知，有限交换群可分解为一些素幂阶循环群的直积．更一般地，任何一个具有有限生成系的交换群都可分解成循环群的直积．由于循环群已完全在我们掌握之中，所以这种群(具有有限生成系的交换群)也是一类研究清楚了的群类．它在各种应用中有着非常重要的作用．例如在组合拓扑学中它就是一个主要的工具．三、习题§2. 4解答1.2.3.4.5.6.7.§2. 5 变换群一、主要内容1．变换群、双射变换群(特别是集合M上的对称群和n次对称群)和非双射变换群的定义及例子．2．变换群是双射变换群的充要条件；双射变换群与抽象群的关系．1)集合M上的变换群G是双射变换群 G含有M的单或满)射变换；2)任何一个群都同一个(双射)变换群同构．3．有限集及无限集上非双射变换群的例子(例2和例3)．二、释疑解难1．一般近世代数书中所说的“变换群”，都是由双射变换(关于变换乘法)所作成的群，即本教材所说的“双射变换群”．而本教材所说的“变换群”则是由一个集合上的一些变换(不一定是双射变换)作成的群．通过教材§5定理2和推论1可知，实际上变换群可分成两类：一类是双射变换群(全由双射变换作成的群，即通常近世代数书中所说的“变换群”)，另一类是非双射变换群(全由非双射变换作成的群)．在学习本书时应留意这种差异．2．本节教材定理2(若集合M上的变换群G含有M的单射或满射变换．则G必为M上的一个双射变换群，即G中的变换必全是双射变换)比有些书上相应的定理(若集合M上由变换作成的群G含有M的恒等变换，则G中的变换必全为双射变换)大为推广．因为后者要求G包含恒等变换(一个特殊的双射变换)，而前者仅要求G包含一个单(或满)射变换即可．因此，后音只是前者(本节教材定理2)的一个推论，一种很特殊的情况．两相比较，差异较大．这种差异也说明，M上的任何一个非双射变换群不仅不能包含恒等变换，而且连M的任何单射或满射变换也不能包含．另外，在这里顺便指出，集合M上的任何双射变换群G的单位元必是M的恒等变换．3．集合M 上的全体变换作成的集合T (M )，对于变换的乘法作成一个有单位元的半群．在半群的讨论中，这是一类重要的半群．并且本节习题中第4题还指出，当M ＞1时T (M )只能作成半群，而不能作成群．三、习题§2. 5解答1. 解 作成有单位元半群，τ是单位元．但不作成群，因为σ无逆元．2.3. 解 G 作成群：因为易知4.5.§2. 6 置 换 群一、主要内容1．任何(非循环)置换都可表为不相连循环之积，任何置换都可表为若干个对换之积，且对换个数的奇阴偶性不变．从而有奇、偶置换的概念，且全体n 次置换中奇、偶置换个数相等，各为2!n 个(n ＞1)．2．k —循环的奇偶性、阶和逆元的确定方法，以及不相连循环乘积的奇偶性、阶和逆元的确定方法．1)k—循环与A有相反奇偶性．2)k—循环的阶为k．又(i1，i2…i k)－1＝(i k，…，i2，i1 )．3)若σ分解为不相连循环之积．则其分解中奇循环个数为奇时σ为奇置换，否则σ为偶置换．σ的阶为各因子的阶的最小公倍．其逆元可由k—循环的逆元来确定．3．由置换σ，τ求置换στσ－１的方法．n次对称群s n的中心．4．传递群的定义、例子和简单性质．二、释疑解难1．研究置换群的重要意义和作用．除了教材中已经指出的(置换群是最早研究的一类群，而且每个有限的抽象群都同一个置换群同构)以外，研究置换群的重要意义和作用至少还有以下几方面：1) 置换群是一种具体的群，从置换乘法到判断置换的奇偶性以及求置换的阶和逆置换，都很具体和简单．同时它也是元素不是数的一种非交换群．在群的讨论中举例时也经常用到这种群．2) 在置换群的研究中，有一些特殊的研究对象是别的群所没有的．如置换中的不动点理论以及传递性和本原性理论等等．3) 置换群中有一些特殊的子群也是一般抽象群所没有的．例如，交代群、传递群、稳定子群和本原群等等．就教材所讲过的交代群和传递群的重要性便可以知道，介绍置换群是多么的重要．2．用循环与对换之积来表出置换的优越性．首先，书写大为简化，便于运算。