中心是4维的8维2步幂零李代数的分类

完备Leibniz代数的性质及其低维分类曾阳;林磊【摘要】本文研究了完备Leibniz代数的性质及低维分类.利用Leibniz代数中平方元生成的双边理想,获得了小于五维的完备Leibniz代数完整的分类,以及五维时一类特殊情况下完备Leibniz代数的分类,从而推广了Leibniz代数的结构理论.%In this paper we study the properties of complete Leibniz algebras and their classification of low dimensions. By using the two-sided ideals which are generated by square elements, we obtain complete classification of complete Leibniz algebras of dimension less than five. We also obtain the classification of the special case of five-dimensional complete Leibniz algebras. All these results develop the construction theory of Leibniz algebras.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2012(032)003【总页数】12页(P487-498)【关键词】Leibniz代数;完备李代数;完备Leibniz代数【作者】曾阳;林磊【作者单位】华东师范大学数学系,上海200241;华东师范大学数学系,上海200241【正文语种】中文【中图分类】O152.5Leibniz代数最早是由Bloch在文献[12]中考虑,当时被称为D-代数.直至上世纪九十年代,Loday[13]在研究不满足交错性的广义李代数时,正式提出了这个概念.关于非李的Leibniz代数分类问题,二维、三维以及四维幂零的情况已有完整分类,而其它情况下Leibniz代数的结构尚未有清晰而完整的刻画,关于Leibniz代数其它方面的研究则主要集中在关于同调问题等的抽象理论上(参见文献[6,10,11]等).上世纪四五十年代一些学者提出了完备李代数的概念,并对这类代数进行过研究.所谓完备李代数,就是满足中心为零而且导子都是内导子的一类特殊的李代数,我们常见的有限维复半单李代数就是完备李代数.关于完备李代数的结构和性质已有很深刻的结果(参见文献 [3]),但完备李代数的分类问题并没有完全解决.对于低维完备李代数,朱林生,孟道骥在文献[8]中给出了幂零根基维数≤6以及所有的≤7维完备李代数的分类.在前人工作的基础上,综合上述两类代数的特点,东北师范大学的常丽在其硕士学位论文[5]中提出了完备Leibniz代数的概念.但是,经研究发现,此种定义方法存在着瑕疵,即不存在非李的完备Leibniz代数.本文由此启发给出了完备Leibniz代数一种更合理的定义,并对这类代数进行了初步的研究.本文中,我们假设线性空间的基域是复数域.这部分内容是对于李代数以及Leibniz代数相关的一些概念和结果的回顾,它们都是标准的,可参见文献[3,8,10,13]或[15].定义2.1.1 一个Leibniz代数G是一个线性空间,上面定义了一个双线性映射:显然,对于Leibniz代数,有[x,[y,y]]=0以及[x,[y,z]]+[x,[z,y]]=0.注许多代数的定义都涉及到Leibniz等式,参见文献[2]等.李代数是乘积满足交错律的Leibniz代数.定义2.1.2 一个Leibniz代数G的右零化子定义为Zr(G)={x∈G|[G,x]=0}.易知Zr(G)是Leibniz代数G的双边理想.命题2.1.1 设G是一个Leibniz代数,则G中由平方元生成的双边理想包含在Zr(G)之中.命题2.1.2[10] 设G是Leibniz代数,则G中由平方元生成的理想I(G)由形如[x,x]的元素线性张成.定义2.1.3[15] 若一个李代数L满足下面两个条件:(i)L的中心为零,即C(L)=0.(ii)L的所有的导子都是内导子,即Der(L)=ad(L).则称李代数L为完备李代数.在常丽[5]的硕士学位论文中,给出完备Leibniz代数的定义如下:若Leibniz代数G满足条件:Zr(G)={x∈G|[G,x]=0}=0,Der G=ad G,则称G为完备Leibniz代数.经观察发现,此种定义方式存在着缺陷:对任意的Leibniz代数G,任取x,y∈G,都有[y,[x,x]]=[[y,x],x]-[[y,x],x]=0,即[x,x]∈Zr(G).若这个Leibniz代数满足定义中的条件,则有∀x∈G,[x,x]=0,此时Leibniz代数已经退化为李代数的情况,即不存在非李的完备Leibniz代数.下面,我们利用理想I(G),给出完备Leibniz代数的一个恰当的定义.定义2.2.1 设G是一个Leibniz代数,I(G)是G的由平方元生成的理想.若是一个完备李代数,则称G为完备Leibniz代数.根据上述定义方法,所有的完备李代数都是完备Leibniz代数,从而我们给出的完备Leibniz代数的定义与完备李代数的定义是相容的,完备Leibniz代数的概念是完备李代数概念的一种推广.下面我们给出完备Leibniz代数的几个代数性质:命题2.3.1 幂零Leibniz代数不是完备Leibniz代数.证设G是幂零Leibniz代数,由G幂零可以知道G/I(G)=L(G)是幂零李代数.而非零的幂零李代数中心不为零,而且存在外导子(参见文献[14]),故不是完备李代数,因此G不是完备Leibniz代数.命题2.3.2 设G是Leibniz代数,且G/J是李代数,其中J是G的理想,则J⊇I(G).证由于G/J是李代数,则对任意x∈G,设∈ G/J,有即[x,x]∈J.而I(G)由平方元所张成,由于J是G的理想,故有I(G)⊆J,命题得证.命题2.3.3 设G是Leibniz代数,I(G)是由其平方元生成的理想,则对于任意的x,y∈G,命题得证.引理2.3.1 不存在一维的完备Leibniz代数.证因为一维Leibniz代数是李代数,而一维李代数都是Abel的,中心为其本身,即中心不为零,故不存在一维的完备Leibniz代数.我们知道,在同构的意义下存在唯一的二维非Abel李代数G′,设其基为e1,e2,则有[e1,e2]=e2,[e2,e1]=-e2,其余括积为零.由此可得以下结论.引理2.3.2 [8] 二维非Abel李代数G′是完备李代数.引理2.3.2 中的李代数在以后的讨论中起着关键的作用,以下很多讨论都是以这个李代数为例进行一般性方法的阐述.在不特别说明的情况下,我们都用G′来指代这个完备李代数.根据上述论断,我们可以得到下面几个推论.推论2.3.1 若I(G)在G中的余维数为1,则G不是完备Leibniz代数.推论2.3.2 若I(G)在G中的余维数是2,且G/I(G)非交换,则G是完备Leibniz代数. 引理2.3.3 若I(G)=[G,G]/=G,则G不是完备Leibniz代数.关于完备Leibniz代数的中心,有以下命题.上面只抽象地给出了完备Leibniz代数的定义以及相关性质,但这并不能表明非李的完备Leibniz代数存在.实际上,非李的完备Leibniz代数确实存在,我们可以给出三维情况时的一个例子.例设G是一个以e1,e2,e3为基的3维Leibniz代数,它的乘法表为则G为非李的完备Leibniz代数.证因为[e1,e1]=e3,所以G不是李代数.我们对G的基验证Leibniz等式可证明,上述乘法表确实定义了一个Leibniz代数.下面验证此Leibniz代数的完备性.因为[e1,e1]=e3,所以Ce3⊆I(G).而Ce3显然是G的理想,且G/Ce3是李代数,由命题2.3.2可知Ce3⊇ I(G),因此I(G)=Ce3,即G/I(G)～=G′.而由引理2.3.2可知G′是完备李代数,所以G是完备Leibniz代数.直接通过定义进行验证可知,有如下结论成立.定理2.3.1 若G是Leibniz代数,G1,G2是G的双边理想,且G=G1⊕G2,则G是完备Leibniz代数的充分必要条件是G1,G2都是完备Leibniz代数.由这个定理的下述推论,我们可以给出许多非李的完备Leibniz代数的例子.推论2.3.3 若G1是非李的完备Leibniz代数,而G2是完备李代数,则G=G1⊕G2(作为理想的直和)是非李的完备Leibniz代数.当然,Leibniz代数中具有完备性的只是一小部分,我们也可以给出非完备的Leibniz 代数的例子.例设G是一个以e1,e2,e3为基的3维Leibniz代数,它的乘法表为则G不是完备Leibniz代数.证易见I(G)=Ce3,从而G/I(G)为二维Abel李代数,所以它不是完备李代数,因此在这种情况下G不是完备Leibniz代数.这一章我们将对小于4维非李的完备Leibniz代数给出完整分类.二维非李代数的Leibniz代数的分类已被Loday解决,有如下结果.引理3.1.1[13]设G为非李代数的Leibniz代数,且dimG=2,则G只有两种彼此不同构的情况:其中e1,e2为G的一组基,且基向量的其余括积均为0.定理3.1.1 不存在两维非李代数的完备Leibniz代数.证对于上述两种情况,0/=I(G)⊆[G,G],后者是一维的,所以dimI(G)=1.由推论2.3.1可以知道G不是完备Leibniz代数.我们再来看三维时的情况.蒋启芬在文献[1]中给出了三维Leibniz代数的完整分类,共有十三种彼此不同构的情况.我们根据第2章所得到的命题和定理,运用对第2章结尾两个例子类似的讨论方法,对这十三种情况进行一一验证,可以得到如下定理. 定理3.2.1 设G为一个三维非李代数的完备Leibniz代数,则G只有三种不同构的情况:其中e1,e2,e3为G的一组基,且基向量的其余括积均为0.由于除四维幂零情况外目前没有大于等于四维Leibniz代数的完整分类,而由命题2.3.1可知幂零Leibniz代数都不完备,所以我们不能继续采用验证的方法来给出完备Leibniz代数的分类.本文下面所要解决的最主要问题就是构造性地给出完备Leibniz代数.迄今为止,完备李代数的分类问题并没有完全得到解决,但是在朱林生和孟道骥的文章里,给出了低维完备李代数的分类.下面我们只把与本文相关的结果列举出来.命题4.1.1 [8]二维完备李代数只存在一种情况,即G′.三维完备李代数只存在一种情况,即sl(2).四维完备李代数只存在一种情况,即G′⊕G′.首先,对三维非李代数的完备Leibniz代数进行研究可以发现以下性质成立.命题4.2.1 若G是三维非李代数的完备Leibniz代数,则G/I(G)～=G′,而dimI(G)=1.证因为G不是李代数,故dim I(G)≥1.而低于三维的完备李代数只有G′这一种情况,所以G/I(G)～=G′. 命题得证.从这个结果可以看出,我们或许可以从完备Leibniz代数的商代数着手,得出相应的完备李代数的结构,再将其提升到原来的完备Leibniz代数,从而得到相应的完备Leibniz代数结构.由此,我们可以得到如下结果.定理4.2.1 设G是四维非李代数的完备Leibniz代数,则G/I(G)～=G′,此时dimI(G)=2;或者G/I(G)～=sl(2),此时dim I(G)=1.定理4.2.2 设G是五维非李代数的完备Leibniz代数,则G/I(G)～=G′,此时dim I(G)=3;或者G/I(G)～=sl(2),此时dim I(G)=2;或者G/I(G) ～=G′⊕ G′,此时dim I(G)=1.下面研究完备Leibniz代数的构造.在此之前,注意到以下事实.设G是一个Leibniz代数,G/I(G)=L(G)是其相应的李代数.从线性空间的角度,G可看成L(G)与I(G)的直和,即G=L(G)⊕I(G).在此观点下,设e1,…,em是L(G)的一组基,f1,…,fn是I(G)的一组基.设e1,…,em 在典范内射ι:L(G)→ G 下的象仍记为e1,…,em,则e1,…,em;f1,…,fn构成了G的一组基.因此下面在构造完备Leibniz代数的过程中,可将L(G)中的元素嵌入到G中从而将其看作G的元素.首先考虑dim I(G)=1时的情形.此种情况下有如下命题.命题4.2.2 设G是完备Leibniz代数,且I(G)=Ce,即I(G)是G的一维理想,[,]是G中的括积,[,]′是G相应的完备李代数G/I(G)～=L(G)中的括积.若存在线性函数f:L(G)-→C和双线性函数ϕ:L(G)×L(G)-→C满足以下条件:∀x,y∈L(G)均成立(因为L(G)同构地嵌入到了G,所以在等式左边,x,y可被看作G中的元素,[x,y]为G中的乘法).则以上定义的f和ϕ应满足以下条件:证因为Leibniz代数的结构由Leibniz等式完全确定,只要对其用Leibniz等式逐一验证即可.首先,我们讨论三个元素都在L(G)中的情况:∀x,y,z∈L(G),由Leibniz等式,而 x,y,z 作为李代数 L 中的元素有[x,[y,z]′]′=[[x,y]′,z]′-[[x,z]′,y]′,从而得到 (1).因为两式相等,可以得到(2).至此定理得证.在这里需要指出,对G的基元素验证其余的Leibniz等式,可以发现其余的Leibniz 等式都是平凡的,然后再利用线性性质即可得到条件(1),(2)是G构成Leibniz代数的充要条件.定理4.2.3 设L是李代数,[,]′是其括积,设I=Ce,构造向量空间G=L⊕Ce.若存在线性函数f:L-→ C和双线性函数ϕ:L×L-→ C,其中f与ϕ不全为零,且满足命题4.2.2的条件(1)和(2),则∀z=x+ke,z′=y+le,其中x,y∈L,k,l∈C,定义[z,z′]=[x,y]′+(ϕ(x,y)+kf(y))e,那么G是Leibniz代数.当L是完备李代数,且G中由平方元生成的理想包含e时,G是非李代数的完备Leibniz代数,并且dim I(G)=1. 由此可以看出,对于dim I(G)=1的情况,只要根据定理4.2.3的方法构造Leibniz代数G,然后根据命题4.2.2中的条件(1)和(2)列出方程,除此还要验证由平方元生成的理想确实为Ce,则可以得出相应的完备Leibniz代数.上面只是对一般情况的分析,当商代数为半单李代数时,是否有更强的结果?下面我们对此进行讨论.首先注意到,因为有限维半单李代数都是完备李代数,则由(2)可得:若L(G)是半单李代数,则[L(G),L(G)]=L(G),故对L(G)中任意的元素x,都有f(x)=0.这样命题4.2.2 中的条件(1),(2)可以简化为定理 4.2.4 若G是一个完备Leibniz代数,I(G)是G中由平方元生成的一维理想,且G/I(G)=L(G)是半单李代数,ϕ,f如命题4.2.2所定义,则它必须满足ϕ(x,[y,z]′)=ϕ([x,y]′,z)- ϕ([x,z]′,y), ϕ /=0,f=0(其中x,y,z ∈ L(G)).如此似乎可以得到一大类非李的完备Leibniz代数.但是,我们研究发现,这种情况其实并不存在.定理4.2.5 不存在这样的完备Leibniz代数G,使得I(G)是G中由平方元生成的一维理想,且G/I(G)=L(G)是一个半单李代数.证设e1,e2,...,en是L(G)的一组基,再添加向量e则张成空间G.由前面讨论可知∀z∈ L(G),f(z)=0.设z=k1e1+k2e2+…+knen+ke∈ G,则若证得对任意i,j均有ϕ(ei,ei)=0,ϕ(ei,ej)+ϕ(ej,ei)=0,此时I(G)=0,则产生矛盾,定理得证.根据复半单李代数中的根空间分解理论,我们取Cartan子代数和根空间构成的L(G)的一组基,可以很容易地证明这个结论.这个定理对一大类完备Leibniz代数的构造方法给出了否定的答案.因为sl(2)是单李代数,在研究四维完备Leibniz代数的分类时,利用上述定理可得到推论.推论4.2.1 不存在四维非李代数的完备Leibniz代数G,使得G/I(G)～=sl(2).下面研究dim I(G)=1时另一种比较简单的情况,即:G是五维非李代数的完备Leibniz代数,且G/I(G)～=G′⊕ G′,dim I(G)=1时的情况.设完备李代数G/I(G)=L(G)～=G′⊕G′的一组基为e1,e2,e3,e4,其中括积运算满足: 其余基元间的括积均为零.再添加I(G)中的基元素e,则它们构成了完备Leibniz代数G的一组基.先假设一组未知变量:下面就用命题4.2.2中的条件(1)和(2)来推导aij,bj所应满足的关系式.首先,先对f应满足的关系式进行讨论:下面根据条件(1),再讨论ϕ应满足的关系式:对其他情况进行类似计算,再将多余等式删去,则可得一个方程组值得注意的是,仅满足这个方程组并不能保证G的完备性,因为这些方程并不能保证I(G)是一维的,即平方元能生成Ce,所以要对完备Leibniz代数的结构进行更深入细致的讨论.对于Leibniz代数的同构映射,有如下比较显然的结论.引理4.2.1 设ψ:G1-→G2是Leibniz代数的同构,则其中C(G),C(G)分别是G,G的中心.下面根据所得方程组对Leibniz代数的乘法表进行化简整理.因为化简过程类似,只对其中一种情况进行详细说明.对其它情况进行类似整理化简,并将平方元不能生成Ce的情况删去,然后将同构的情况进行合并,我们可以得到如下定理.定理4.2.6 设G是五维非李代数的完备Leibniz代数,并且满足G/I(G)～=G′⊕G′.则在同构的意义下,存在着下面六种互相不同构的情况:证由上面的讨论可知,在同构的意义下,所有情况均可归纳为上述六大类.以第四与第六种情况为例证明这六大类彼此不同构.从而得出矛盾.其它情况类似可证,至此得到定理得证.下面对dimI(G)=2时的情况进行讨论.首先对一般情形进行研究:设G是完备Leibniz代数,且I(G)=Ce3⊕Ce4,即I(G)是由G中平方元生成的二维Abel理想.在构造完备Leibniz代数的过程中,与4.2.2节采取同样的讨论,可将完备李代数L(G)中的元素嵌入到G从而看作为G的元素.由此可得如下命题.命题4.2.3 设G是Leibniz代数,且I(G)=Ce3⊕Ce4,即I(G)是由G中平方元生成的二维理想,[,]是G中的括积,[,]′是G相应的李代数G/I(G)L(G)中的括积,若存在四个线性函数:f11,f12,f21,f22:L(G)-→C和两个双线性函数ϕ1,ϕ2,:L(G)×L(G)-→C满足以下条件:∀x,y∈L(G)均成立(因为L(G)同构地嵌入到了G,所以等式左边x,y可看作G中的元素).则以上定义的fij(其中i,j=1,2)和ϕ应满足以下条件:运用4.2.2节dim I(G)=1时类似的研究方法,对Leibniz等式进行验证即可得到结论.在这里需要指出,对G的基元素验证其余的Leibniz等式,可以发现其余的Leibniz 等式都是平凡的,然后再利用线性性质即可得到条件(1)–(6)是G构成Leibniz代数的充要条件.定理 4.2.7 设L是李代数,[,]′是其括积,设I=Ce3⊕Ce4,构造向量空间G=L⊕Ce3⊕Ce4.若存在线性函数fij:L-→ C和双线性函数ϕi:L×L-→ C,其中i,j=1,2,fij与ϕi不全为零,且满足命题4.2.3的条件(1)—(6),则那么G是Leibniz代数.当L是完备李代数,且G中由平方元生成的理想包含e3,e4时,G是非李代数的完备Leibniz代数,并且dim I(G)=2.下面研究一种特殊的情况:设G是四维非李代数的完备Leibniz代数,G/I(G)G′,其中dim I(G)=2.类似于前面对一维情况的讨论,可以作如下假设.设e1,e2是G′的一组基,乘法表是[e1,e2]′=e2,[e2,e1]′=-e2,可把e1,e2同构地嵌入到G中.再设e3,e4是I(G)的一组基,则e1,e2,e3,e4构成了G的一组基.我们可以假定一组未知量,再根据命题4.2.3中的六个条件列出这组未知量所应满足的关系式,可得到由Leibniz等式所派生出来的方程.利用方程组中未知量关系式将乘法表进行化简整理,可以得到如下定理.定理4.2.8 若G是四维非李代数的完备Leibniz代数,则必有G/I(G)～=G′,且在同构的意义下,存在着下列十二种彼此不同构的情况:以上均假设e1,e2,e3,e4为G的一组基,且基向量的其余括积为0.证由定理4.2.1可知四维完备Leibniz代数存在着两种可能的情况,再由推论4.2.1可知G/I(G)G′.根据推导出的乘法表系数所应满足的关系式,对满足条件的Leibniz 代数运用类似于4.2.2节的方法进行分类并归纳整理可以得到,在同构的意义下,所有情形都可以归纳到上述十二种彼此不同构的情况,而且在每种情况下乘法表所对应的Leibniz代数的平方元确实能生成二维理想I(G),即得到的Leibniz代数是完备的,至此定理得证.【相关文献】[1]蒋启芬.三维Leibniz代数的分类[J].数学研究与评论,2007,27(4):677–686.[2]佟洁,靳全勤.李代数的Possion代数结构II[J].数学杂志,2010,30(1):145–151.[3]孟道骥,朱林生,姜翠波.完备李代数[M].北京:科学出版社,2001.[4]段永健.关于低维Leibniz代数的一些相关性质的研究[D].上海:华东师范大学,2007.[5]常丽.Leibniz代数中的一些结果[D].上海:华东师范大学,2006.[6]刘东.无限维Lie代数和Leibniz代数[D].上海:华东师范大学,2004.[7]Albeverio S,Ayupov Sh A,Omirov B A.On nilpotent and simple Leibnizalgebras[J].Communications in Algebra,2005,33:159–172.[8]Zhu Linsheng,Meng Daoji.The classification 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文 献［ ２ 】 中研 究类 似 于李代 数 同调 的 Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ 代 数 同调 时 ， 提 出 了这个 概念 。近年 来 ， 对Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ 代 数 的研究 越 来 越多 ， 其 中包 括 Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ 代 数 的分类 ［ ３ － ５ １ 和 自同构［ ６ － ８ １ 问题 。 文 中主 要研究 的是 幂零 Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ 代 数 中 的二 步幂 零 Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ 代 数 Ⅳ，在 已有 分类 的基 础上 ，通 过矩 阵表 述 的方式 得 到 了 的维数 等于 １ 时。 Ｎ 自同构 的充要 条 件， 并 给 出了某 些低 维二 步幂 零 Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ 代 数 自同构群 的分 解 。 文 中所讨 论 的都 是复 数域 上 的有 限维幂 零 Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ 代数 。
定义 ２ 嘲 设 Ⅳ是一 个 Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ 代数 ， 则 Ⅳ 的理 想序 列 ｆ ｝ 满 足
Ⅳ Ⅳ … …
其中： Ⅳｌ － Ⅳ， ＝ ［ ， ， ｉ ＝ １ ， ２ ， ３ ， … 。如果 存在 正 整数 ｓ ＞ ｌ 使 得 ＝ Ｏ ， 则称 Ⅳ是 幂零 的 ； 若， ｖ ３ ＝ ， ＮＩ ＝ ０ ， 其中
≠０ ， 则称 Ⅳ是 二步 幂零 的。
定义 ３ ［ ￣ ｏ １设 ‘ Ｄ为 Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ 代数 Ⅳ 的一个 可逆 线性 变换 ， 且 满足
［ ， ｙ ］ ＝ ［ （ ） ， （ ｙ ） ］ ， Ｖ ， Ｙ∈Ｎ
则 称 为 的 自同构 ， Ⅳ 的全体 自同构组 成 的 自同构群 ， 记作 Ａ ｕ ｔ （ Ｎ） 。
引理 １ 设 Ⅳ是 Ｌ ｅ ｉ ｂ ｎ ｉ ｚ 代数 ， ｛ ｅ ， ｅ ｚ ， …， ｅ ｝ 为 Ｎ 的一 组 基 ， 是 Ⅳ 的 一个 可逆 线 性 变换 ， 则 是 自同 构

吴健 荣 （９ ） 李元 成 （４ １） 李 燕 （９ １） 徐 孝文 （４ ２） 董延 茂 （ ７ ２） 魏 杰 （ ２ ３）
Ｔ／ｎ Ｓ Ｊ ｅ Ｐ Ｏ 电极 电催 化 氧 化 氨 氮 的研究 … … … …… … … …… … … …… … 乐 天祥 ｉ Ｏ一 ｂＯ Ｆ — ｂ Ｓ 基 于 Ｗｅ ｅｖ ｅ 的虚 拟 仿真 系 统研 究 与应 用 … … …… 奚 雪 峰 ｂＳ ｒｉ ｓ ｃ
Ｖｏ ． Ｎｏ ４ １ ２８ ．
Ｄｅ ｃ． ２ １ ０１
２ １ 年总 目次 ０ １
第 １期
Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间 中一致 ， 李 普西 兹 映射 的强 收敛 问 题 …… …… … …… … …… …… …… …… … …… 李 晓南 （１ Ｊ 一 ）
Ｌ ｂ ｓｕ — ｔ ｌｅ 型模 糊 Ｃ ｏ ｕｔ 分 的定 义及 其 基本 性 质 …… …… … …… …… …… 蒋诚 钢 吴 健荣 （６ ｅ ｅｇｅ Ｓｉ ￣ ｓ ｅ ｈ ｑｅ积 ）
基 于 Ｌ ｖ ｎ ｅｇ Ｍａｑ ａｄ 算法 的非量 测数 码 相机 影像 纠 正 …… … …… …… … …… …… … …… 杨朝 辉 （ ５ ｅｅ ｂ ｒ— ｒｕ ｒｔ ６） 大 学 生成 绩 变动 分析 及管 理对 策 …… …… … … …… … …… … …… … …… … …… …… 李 晓莉
局部 凸空 间 中带有 约 束 的 向量 极值 问题 的最 优性 条 件 … …… … …… … …… 杨 瑞 朱 建 青 国 马 张 潘 楠 起 （ ２ １） 刚 （６ １） 毅 （９ １） 涛 （８ ２） 图 Ｓ ＶＳ 的 均匀 全色 数 … …… …… …… … …… …… … … …… … …… …… … … …… … 马效 敏 变质 量相 对 运动 动力 学 系统 的对称 性 与守 恒 量 … …… … …… … …… … …… … …… … 岳

代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统，也称为代数结构或代数系统，是数学中一个重要的概念，它由集合和定义在这个集合上的运算组成。

代数系统是代数学的基本研究对象，也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。

代数系统通常由两个部分组成：一个是非空元素集合，称为代数系统的论域或标量域；另一个是定义在论域上的运算，这些运算需满足一定的性质或公理。

根据所涉及的运算不同，代数系统可分为不同类型，如群、环、域、格等。

代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结，其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。

例如，集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。

二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同，代数系统有多种分类方式。

以下是其中几种常见的分类方式：1.根据所涉及的运算的性质，可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统（如群、环、域）和没有交换律和结合律的代数系统（如格、布尔代数）。

2.根据运算是否涉及单位元和逆元，可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。

前者如群、环、域等，后者如格等。

3.根据所涉及的元素是否具有可交换性，可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。

前者如交换群等，后者如李群等。

4.根据所涉及的元素是否具有无限性，可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。

前者如有限群等，后者如无限群等。

此外，还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。

通过不同的分类方式，我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。

三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。

以下是几个常见的代数系统的性质：1.封闭性：如果对于代数系统中的任意两个元素x和y，它们的运算结果仍属于该集合，则称该运算满足封闭性。

封闭性是代数系统中一个重要的性质，它保证了运算结果的元素仍属于该系统。

2.结合律：如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称该运算满足结合律。

ｂ２ ｌ ｂ２ ２ ０ ０
综合 以上运 算结果 得
［ｔ ｌｂ￣ ＋ ３ ３ｂ ，１ ｌ ２ ￣ｂ２ ＋ ４ ４ ｂｌ ＋ ２２６ｌ ＋ ４ ４ｂ２ ＋ ２ ＋ ３ ３ｂ２ ］ Ｘ ｘ ｘ ｂｘ ｘ ｘ＝ ｘ
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定 理 ２ 设 Ｌ是 特 征 为 ０的代 数 闭域 上 的幂
４
Ａ（１ ２ ３ ４： ，２ ，４ ， ， ， ） （１ ３ ） Ｘ
零李 代 数 ， 如果 的维数 等 于 ３戈 ， 是 ￡的一 ， ，。
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｓ ｒ ｃｕ ｅ ｆ ｕ ｏ ｒ ｈ ｓ ｇ ｏ ｐ ｏ ｏ ｒｄ ｍｅ ｓ ｎ ｌ ｉ ｏｅ ｔ ｉ ｌｅ ｒ ｓ ａ ｅ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｓ ｒ ｃ ： ｔ ｔ ｒ ｓｏ ｔ ｍｏ ｐ ｉｍ ｒ ｕ ｆ ｗｅ ｉ ｎ ｉ ａ ｌ ｔ ｎ ｅ ａ ｇ ｂ ａ ｒ ｉｃ ｓ ｅ ｕ ａ ｌ ｏ ｎ ｐ Ｌ
文 献标 志码 ： Ａ
关键 词 ： 幂零 李代 数 ； 自同构 ； 自同构 群
中图分 类号 ： ５ ． ０１ ２５
Ｓ ｒ ｃ ｕ ｅ ｆａ ｔ ｍ ｏ ｐ ｉｍ ｒ ｕ ｆｎ ｌ ｏ ｅ ｔｌ ｌ ｅ ｒ ｓ ｔ ｕ ｔ ｒ ｓｏ ｕ ｏ ｒ ｈ ｓ ｇ ｏ ｐ ｏ ｉ ｔｎ ｅａｇ ｂ ａ ｐ ｉ
ＬＡＩＸｉ－ ｉｇ ＯＵ ｈ － ｕ ， ｎ ｘｎ ， Ｓ ｉ ｋ ｎ ＬＵＯ ｈ － ｈ ｎ Ｓ ｕ ｚ ｅ
（ａｕｔ ｏ ｃ ｎｅ Ｊａｇｉ ｎｖｒｉ ｆ ｃｅｃ ｎ ｅｈ ｏ ｇ， ａｚｏ ４ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｆ ｃｌ ｆ ｉ ｃ，ｉｎｘ ｉｅｓｙｏ ＳｉｎｅａｄＴ ｃ ｎｌ ｙ Ｇ ｎｈ ｕ３ １０ ， ｈｎ ） ｙ Ｓｅ Ｕ ｔ ｏ

李代数的分类李代数是数学中的一种代数结构，它在代数学、物理学和几何学等领域中有着广泛的应用。

本文将从李代数的定义、结构和分类等方面展开探讨。

我们来介绍一下李代数的定义。

李代数是一个向量空间，同时还具有一个双线性运算，称为李括号运算，它将两个向量映射为另一个向量。

李括号运算满足反对称性、结合律和雅可比恒等式等性质。

李代数的一个重要特征是它的李括号运算可以定义代数结构上的李群。

李代数的结构主要包括代数结构和李群结构。

代数结构指的是李代数的向量空间和李括号运算，它描述了李代数的代数性质。

而李群结构则是指李代数和李群之间的关系，李群是一个连续的群结构，它与李代数之间存在着一一对应的关系。

接下来，我们将对李代数进行分类。

根据李代数的维度，可以将其分为有限维和无限维两类。

有限维李代数是指李代数的向量空间是有限维的情况，而无限维李代数则相反。

有限维李代数是研究较为常见的一类李代数，它们在物理学和几何学中有着广泛的应用。

在有限维李代数中，还可以根据李代数的结构进行进一步的分类。

最简单的李代数是交换李代数，也称为阿贝尔李代数。

在交换李代数中，任意两个向量的李括号都为零。

除了交换李代数之外，还有一类非交换的李代数，称为半单李代数。

半单李代数是指没有非平凡理想的李代数，它们在物理学中的应用非常广泛。

另一种常见的李代数是简单李代数，它是指没有非平凡理想且没有非平凡交换子代数的李代数。

简单李代数是李代数的基本构成单元，任意一个有限维李代数都可以由简单李代数直和得到。

简单李代数在数学和物理学中都有着重要的地位，它们是研究李群和李代数结构的基础。

除了有限维李代数，无限维李代数也是研究的重要对象。

无限维李代数在数学和物理学中都有着广泛的应用，例如在弦理论中的对称性研究中就涉及到无限维李代数。

无限维李代数的研究相对复杂，需要运用到函数空间和算子等概念。

总结起来，本文从李代数的定义、结构和分类等方面对李代数进行了介绍。

李代数作为一种重要的代数结构，在数学和物理学等领域中有着广泛的应用和研究价值。

代数的概念和分类基本结构
代数是数学的一个分支，研究代数结构及其各种性质和相互关系的数学理论。

代数主要包括线性代数、抽象代数和数学逻辑等几个分支。

1. 线性代数：线性代数研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等代数结构及其相互关系。

它是现代数学的基础，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。

2. 抽象代数：抽象代数研究代数结构的基本概念和性质，如群、环、域等。

它将代数问题抽象化，研究各种代数结构之间的关系，是现代代数学的核心。

3. 数学逻辑：数学逻辑研究数学推理和证明的方法，涉及集合论、证明理论、模型论等内容。

它为数学提供了严密的推理基础，是数学的基本工具之一。

代数结构按照一定的性质和关系进行分类。

常见的代数结构包括：
1. 群：群是一种代数结构，具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。

它研究的是一种符合特定条件的集合与封闭的运算之间的关系，如整数的加法、矩阵的乘法等。

2. 环：环是一种代数结构，具有加法和乘法运算，满足交换律、结合律、分配律等条件。

整数环、多项式环等都是常见的环。

3. 域：域是一种代数结构，具有加法和乘法运算，满足交换律、结合律、分配律，且每个非零元素都有乘法逆元。

实数域、有理数域等都是域。

4. 向量空间：向量空间是一种线性代数结构，具有加法和纯量乘法运算，满足一定的线性性质。

它广泛应用于几何、物理、计算机图形学等领域。

以上只是代数的一部分概念和分类，代数的研究内容非常广泛，涉及的领域也很多。

的 线 性 变 换 ．Ｌ 的 所 有 导 子 的 集 合 记 为 Ｄ ｒ ｅ Ｌ．如
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如 果存 在 正整数 ｋ满足 则称 Ｌ是 幂零 李代 数 ． ．
Ｌ 一 ０．
因此 ， 用 幂 零 李 代 数 作 为 工 具 来 考 察 可 解 李 代 利
数 是 一个 可行 的方 法．文 献 ［ ３— ６ ］分 别 讨 论 了 以 Ａｂ ｌ ｅ 李代 数 、 ｉｅ ｂ ｒ Ｈｅ ｎ ｅｇ代数 、 格 上 三 角 矩 阵李 ｓ 严 代 数 和拟 线 状 李 代 数 为 幂 零 根 基 的 可 解 李 代 数 ．
作 者 简 介 ： 小朝 （９ １ ） 男 ， 南 驻 马 店 人 ， 士研 究 生 ， 李 １８一 ， 河 博 主要 从 事 李 代 数 研 究
４
周 口师 范学 院学报
２１ ０ ０年 ９月
不可分 解 的非幂零 的可解李 代数 ． 命题 ２ 设 Ｄ∈Ｄ ｒ ｅ 则 Ｄ关于 Ｎ 的基 ｛ Ｎ， ｅ，
Ｖ ∈ Ｌ， — ａ ｚ Ｄ（ ）一 ［ ］ Ｄ ｄ ， ｚ ， ， 则称 导 子 Ｄ 是 内导 子．不是 内导 子 的导 子称 为 外
导子 ．
１ 预 备 知 识
定 义 ｌ 设 Ｌ是 域 Ｆ 上 的 一 个 向量 空 间 ， Ｌ 且
命题 １ Ⅲ 可解 李 代数 ｓ的导代 数 ［ ， ］ 幂 ＳＳ是
中 图分 类 号 ： ５ ．５ Ｏ１ ２ 文献 标 志 码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ６ １ ４ ６ ２ １ ） ５— ０ ３— ３ １ ７ —９ ７ （ ０ ０ ０ ０ ０ ０

有限维幂零 Hom-李代数的分类陈雪;韩伟【摘要】首先研究了幂零和可解 Hom-李代数的一些性质，将经典有限维李代数的可解和幂零的一些结果推广到 Hom-李代数上，其次分类了四维和五维幂零Hom-李代数，根据 Hom-李代数的半中心的维数，可以将四维和五维幂零Hom-李代数分为3种和4种不同类型。

%Some properties on nilpotent and solvable Hom-Lie algebras are presented in this paper.The results on solvability and nilpotency of classical finite dimensional Lie algebras are generalized to Hom-Lie algebras.Furthermore,four dimensional and five dimensional nilpotent Hom-Lie algebras are classified. By the dimension of the half center of Hom-Lie algebras,four dimensional and five dimensional nilpotent Hom-Lie algebras can be divided into three and four different classes.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(052)006【总页数】7页(P6-12)【关键词】Hom-李代数;幂零性;分类【作者】陈雪;韩伟【作者单位】厦门理工学院应用数学学院，福建厦门 361024;上海交通大学数学科学学院，上海 200240【正文语种】中文【中图分类】O152.52006年，Hartwig等为了构造Witt 和 Virasoro代数的形变，引入了Hom-李代数的结构[1].一个Hom-李代数就是一个三元对(g,[·,·]，α),其中α是g上的线性映射，反对称双线性运算[·,·]满足α-扭不变的Jacobi等式，称为Hom-Jacobi等式.当α是恒等映射时，Hom-Jacobi等式退化为一般的Jacobi等式，此时g就是一个李代数.由于Hom-李代数在离散和形变向量场、微积分、Yang-Baxter方程等方面有很多应用，因此最近关于Hom-李代数的研究越来越深入[2-7].Yau研究了Hom-李代数的包络代数的构造及其性质[7].Jin等研究了半单李代数上的Hom-李代数结构，他们指出有限维单李代数没有任何非平凡的Hom-李代数结构，并且给出了有限维半单李代数具有非平凡Hom-李代数结构的充要条件[8].后来Benayadi等[2]又构造了具有对称不变非退化双线性型的Hom-李代数.Hom-李代数表示部分的研究也有了很大进展，Sheng[3]研究了Hom-李代数的伴随和平凡表示.本文的目的是研究幂零Hom-李代数.主要结构如下：第1部分列出了一些关于Hom-李代数的基本定义；第2部分给出幂零和可解Hom-李代数的一些性质；第3部分分类了四维幂零Hom-李代数；第4部分分类了部分五维幂零Hom-李代数.本文如非特别说明，所有代数都是有限维的,并且定义在特征为零的代数闭域C上. 定义1[1-9] Hom-李代数是一个三元对(g,[·,·]，α)，由线性空间g，双线性映射[·,·]：g×g→g，及线性映射α:g→g组成，满足下列条件：(1)[x,y]=-[y,x] (反对称性)，(2)对所有x,y,z∈g，有Hom-Jacobi等式，在上述定义中，若α是代数同态，即，对任意x,y∈g，有α([x,y])=[α(x),α(y)],则称(g,[·,·]，α)为保积Hom-李代数.定义2 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，η是g的一个子空间，若α(η)⊆η, [η,η]⊆η，则称(η,[·,·]，α)为Hom-李子代数.特别地，若[η,g]⊆η，则Hom-李子代数(η,[·,·]，α)称为(g,[·,·]，α)的理想.若对任意x,y∈g，有[x,y]=0，则称(g,[·,·]，α)为交换Hom-李代数.定义3 设,∀y∈g}，称C(g)是Hom-李代数(g,[·,·]，α)的中心.命题1 设(g,[·,·]，α)是一个保积Hom-李代数，则(Ker(α),[·,·]，α)是一个理想.证明显然对任意x∈Ker(α)，有α(x)=0∈Ker(α).由于对任意x∈Ker(α),y∈g，有α([x,y])=[α(x),α(y)]=[0,α(y)]=0，得到[x,y]∈Ker(α)，因此(Ker(α),[·,·],α)是(g,[·,·]，α)的一个理想. 】定义4[8] 设(g1,[·,·]，α)和(g2,[·,·]，β)是两个Hom-李代数，设φ:g1→g2是一个线性映射，如果对任意x,y∈g1，有则称φ是一个Hom-李代数同态.特别地，当φ是一个双射时，Hom-李代数(g1,[·,·]1，α)和(g2,[·,·]2，β)同构.定义5 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，如果(g,[·,·]，α)没有非平凡理想并且[g,g]=g，则称(g,[·,·]，α)为单Hom-李代数.如果(g,[·,·]，α)可以分解为一些单理想的直和，则称(g,[·,·]，α)为半单Hom-李代数.定义6 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，η是g的一个子空间，若[η,η]⊆η，则称η为(g,[·,·]，α)的一个半子代数.特别地，若[η,g]⊆η，则η称为(g,[·,·]，α)的半理想.定义7 设,∀y∈g},称Z(g)为Hom-李代数(g,[·,·]，α)的半中心.显然C(g)⊆Z(g)，那么何时C(g)=Z(g)成立呢？下面的命题给出了答案.命题2 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，给出C(g)=Z(g)成立的充分条件，(1)对任意x,y∈g，α([x,y])=[α(x),y]；(2)[g,g]=g;(3)α是(g,[·,·]，α)的一个自同构；(4)α是(g,[·,·]，α)的一个自同态，并且g=Z(g)+Im(α).证明显然由(1)可以推出C(g)=Z(g)成立.(2)对任意x∈Z(g),y∈g，存在u,v∈Z(g)使得[u,v]=y，则[α(x),y]=[α(x),[u,v]]=-[α(u),[v,x]]-[α(v),[x,u]]=0，因此x∈C(g).(3)对任意x∈Z(g),y∈g，由于[α(x),y]=α([x,α-1(y)])=0，于是有x∈C(g).(4)对任意x∈Z(g),y∈g，存在u∈g,v∈Z(g),使得y=α(u)+v,则[α(x),y]=[α(x),α(u)+v]=α([x,u])=0，因此x∈C(g). 】定义8 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，定义导出列：g(0)=g，g(1)=[g,g],g(2)=[g(1),g(1)],…,g(i)=[g(i-1),g(i-1)].如果存在g(n)=0，则称Hom-李代数(g,[·,·]，α)是可解的.定义降中心列：g0=g,g1=[g,g],g2=[g,g1],…,gj=[g,gi-1].如果存在gn=0，则称Hom-李代数(g,[·,·]，α)是幂零的.显然幂零Hom-李代数是可解的，而且导出列和降中心列的各项以及Z(g)都是半理想.对Hom-李代数(g,[·,·]，α)，由于可解性和幂零性都是用运算[·,·]定义的，没有用到线性映射α，那么我们能够很自然地将有限维李代数的可解和幂零的一些结果推广到Hom-李代数上.命题3 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，(1)如果(g,[·,·]，α)是可解的，则g的所有半子代数和同态像也是可解的.(2)如果η是g的一个可解的半理想并且g/η可解，则g也是可解的.(3)如果η1和η2是g的一个可解的半理想，则η1+η2也是可解的.命题4 设(g,[·,·]，α)是一个Hom-李代数，(1)如果(g,[·,·]，α)是幂零的，则g的所有半子代数和同态像也是幂零的.(2)如果g/Z(g)是幂零的，则g也是幂零的.(3)如果g是幂零的且非零，则Z(g)≠0.本部分我们总是假设(g,[·,·]，α)是四维幂零Hom-李代数，则根据命题4(3)知道Z(g)≠0.因此根据dim(Z(g))，四维幂零Hom-李代数至多可以分为3类：(Ⅰ)dim(Z(g))=4(或3);(Ⅱ)dim(Z(g))=2;(Ⅲ)dim(Z(g))=1.定理1 设dim(Z(g))=4(或3)，则四维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α)是交换的.设(g1,[·,·]，α)和(g2,[·,·]，β)是2个四维幂零Hom-李代数且dim(Z(g1))=dim(Z(g2))=4(或3)，设A(或B)是α(或β)在g1(或g2)的任意一组基下对应的矩阵，则2个四维幂零Hom-李代数(g1,[·,·]，α)和(g2,[·,·]，β)同构当且仅当A和B是相似矩阵.证明显然由假设条件可以得到结论. 】定理2 设dim(Z(g))=2.(1)对四维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α)，可以选择一组基{x1,x2,x3,x4}，使得方括号运算满足[x3,x4]=x1，其余为零.(2)设g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4是一个复数域上的向量空间，定义方括号运算：[x3,x4]=x1，其余为零，则对g上的任意线性映射α，(g,[·,·]，α)是四维幂零Hom-李代数.(3)由向量空间g，(2)中方括号运算和g上的线性映射α1和α2定义的四维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同构当且仅当存在φ∈Ψ，使得φ∘α1=α2∘φ，其中Ψ={φ是g上的可逆线性映射：证明 (1)当dim(Z(g))=2，显然可以得到dim([g,g])=1,并且[g,g]⊆Z(g).因此可以选择两个非零向量x1∈[g,g],x2∈Z(g)使得{x1,x2}线性无关，然后将{x1,x}扩充为g的一组基{x1,x2,x3,x4}使得方括号运算为[x3,x4]=x1，其余为零.(2)对g上的任意线性映射α，显然Hom-Jacobi等式成立，因此(g,[·,·]，α)是Hom-李代数，由方括号运算，显然g2=0，所以(g,[·,·]，α)是幂零的.(3)由(2)，对g上的任意线性映射α1和α2，(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)都是四维幂零Hom-李代数.设φ是g上的可逆线性映射，容易验证对任意x,y∈g,φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]，当且仅当其中.因此φ是(g,[·,·]，α1)到(g,[·,·]，α2)的同构当且仅当φ∈Ψ并且φ∘α1=α2∘φ. 】定理3 设dim(Z(g))=1.(1)则dim([g,g])=2，可以选择四维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α)的一组基{x1∈Z(g),x2,x3,x4}，使得方括号运算满足[x2,x3]=x1,[x3,x4]=x2，其余为零.(2)设g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4是复数域上的向量空间，定义方括号运算：[x2,x3]=x1,[x3,x4]=x2，其余为零.则对任意α∈Φ，(g,[·,·]，α)是一个四维幂零Hom-李代数，其中Φ={α是g上的线性映射:*表示任意复数}.(3)由向量空间g，(2)中方括号运算以及g上的线性映射α1和α2(α1,α2∈Φ)定义的四维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同构,当且仅当存在φ∈Γ，使得φ∘α1=α2∘φ，其中Γ={φ是g上的可逆线性映射:证明 (1)当dim(Z(g))=1，显然dim([g,g])≤3，如果dim([g,g])=3，则g不是幂零的，与已知条件矛盾.如果dim([g,g])=1，则由g的幂零性可以推出[g,g]=Z(g).因此可以选择非零向量x1∈Z(g)并将{x1}扩充为g的一组基{x1,y1,y2,y3}.设[y1,y2]=k2x1，[y2,y3]=k2x1， [y3,y1]=k3x1，其，假设k1≠0，则.另外显然x1与线性无关，这与dim(Z(g))=1矛盾.如果dim([g,g])=2，则根据g的幂零性,显然有Z(g)⊂[g,g].因此可以选择[g,g]的一组基{x1∈Z(g),x2}并将其扩充为g的一组基{x1,x2,x3,x4}.设其中,并且d≠0.假设a≠0，用替换x2,x3,x4，并且仍然用x2,x3,x4的记号，则方括号运算简化为[x2,x3]=x1， [x3,x4]=x2，其余为零.(2)设α是g上的一个线性映射，显然α只需要对x1,x3,x4和x2,x3,x4满足Hom-Jacobi等式即可，即由方括号运算，上面的算式可以化简为因此则α满足Hom-Jacobi等式当且仅当α∈Φ，所以推出(g,[·,·]，α)是Hom-李代数，另外g3=0，故g是幂零的.(3) 由(2)，对线性映射α1,α2∈Φ，(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)都是四维幂零Hom-李代数.设φ是g上的可逆线性映射，容易验证对任意x,y∈g,φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]当且仅当其中a11a22≠0.因此φ是(g,[·,·]，α1)到(g,[·,·]，α2)的同构,当且仅当φ∈Γ并且φ∘α1=α2∘φ. 】本部分假设(g,[·,·]，α)是一个五维幂零Hom-李代数，则根据命题4(3)，知道Z(g)≠0.因此根据dim(Z(g))，五维幂零Hom-李代数至多可以分为4类：(Ⅰ)dim(Z(g))=5(或4);(Ⅱ)dim(Z(g))=3;(Ⅲ)dim(Z(g))=2,(Ⅳ)dim(Z(g))=1.定理4 设dim(Z(g))=5(或4)，则五维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α)是交换的.设(g1,[·,·]1，α)和(g2,[·,·]2，β)是2个五维幂零Hom-李代数,且dim(Z(g1))=dim(Z(g2))=5(或4)，设A(或B)是α(或β)在g1(或g2)的任意一组基下对应的矩阵，则2个五维幂零Hom-李代数(g1,[·,·]1，α)和(g2,[·,·]2，β)同构,当且仅当A和B是相似矩阵.证明显然由假设条件可以得到结论. 】定理5 设dim(Z(g))=3.(1)对五维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α)，可以选择一组基{x1∈[g,g],x2,x3,x4,x5}，使得方括号运算满足[x4,x5]=x1，其余为零.(2)设g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4⊕Cx5是一个复数域上的向量空间，定义方括号运算：[x4,x5]=x1，其余为零，则对g上的任意线性映射α，(g,[·,·]，α)是五维幂零Hom-李代数.(3)由向量空间g，(2)中方括号运算和g上的线性映射α1和α2定义的五维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同构当且仅当存在φ∈Π，使得φ∘α1=α2∘φ，其中Π={φ是g上的可逆线性映射：证明 (1)当dim(Z(g))=3，显然可以得到dim([g,g])=1并且[g,g]⊆Z(g).因此可以选择2个非零向量x1∈[g,g],x2,x3∈Z(g)使得{x1,x2,x3}线性无关，然后将{x1,x2,x3}扩充为g的一组基{x1,x2,x3,x4,x5}使得方括号运算为[x4,x5]=x1，其余为零.(2)对g上的任意线性映射α，显然Hom-Jacobi等式成立，因此(g,[·,·]，α)是Hom-李代数，由方括号运算，显然g2=0，所以(g,[·,·]，α)是幂零的.(3)由(2)，对g上的任意线性映射α1和α2，(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)都是五维幂零Hom-李代数.设φ是g上的可逆线性映射，容易验证对任意x,y∈g,φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]，当且仅当其中.因此φ是(g,[·,·]，α1)到(g,[·,·]，α2)的同构当且仅当φ∈Π并且φ∘α1=α2∘φ. 】定理6 设dim(Z(g))=2.(1)五维幂零Hom-李代数按方括号运算的形式可分为互不同构的3类:设{{x1,x2}∈Z(g),x3,x4,x5}是一组基(a)[x3,x4]=x1,[x3,x5]=x2，其余为零;(b)[x3,x4]=x1,[x4,x5]=x3，其余为零;(c)[x3,x4]=x1,[x3,x5]=x2,[x4,x5]=x3，其余为零.(2)设g=Cx1⊕Cx2⊕Cx3⊕Cx4⊕Cx5是复数域上的向量空间，定义上述(a),(b)或(c)型方括号运算.则对任意线性映射α(α∈T1或α∈T2)，(g,[·,·]，α)是一个五维幂零Hom-李代数，其中*表示任意复数}.*表示任意复数}.(3)由向量空间g，(2)中(a),(b)或(c)型方括号运算以及g上的线性映射α1和α2(α1,α2∈T1，或α1,α2∈T2)定义的五维幂零Hom-李代数(g,[·,·]，α1)和(g,[·,·]，α2)同构当且仅当存在φ∈Π1 (ψ∈Π2或η∈Π3)，使得φ∘α1=α2∘φ(ψ∘α1=α2∘ψ或η∘α1=α2∘η)，其中Π1={φ是g上的可逆线性映射:证明 (1)当dim(Z(g))=2，显然dim([g,g])≤4，如果dim([g,g])=4，则g不是幂零的，与已知条件矛盾.如果dim([g,g])=1，则由g的幂零性可以推出[g,g]⊆Z(g).因此可以选择Z(g)的一组基{x1∈[g,g],x2}并将其扩充为g的一组基{x1,x2,x3,x4,x5}.设[x3,x4]=k1x1，[x4,x5]=k2x1,[x5,x3]=k3x1，其中,假设k1≠0，则.另外显然线性无关，这与dim(Z(g))=2矛盾.如果dim([g,g])=2，则分为2种情况，[g,g]=Z(g)和[g,g]≠Z(g).(Ⅰ)当[g,g]=Z(g)时，可以选择g的一组基{x1,x2,x3,x4,x5}使得方括号运算满足：[x3,x4]=x1, [x3,x5]=x2，其余为零，这就是(a)型；(Ⅱ)当[g,g]≠Z(g)，可以选择非零向量x1∈Z(g)∩[g,g]，x2∈Z(g),x3∈[g,g]使得{x1,x2,x3}线性无关，再将其扩充为g的一组基{x1,x2,x3,x4,x5}.设其中并且k≠0.不失一般性，假设m≠0，用替换x3,x4,x5，并且仍然记为x3,x4,x5，则方括号运算简化为[x3,x4]=x1，[x4,x5]=x3，其余为零，这就是(b)型.(Ⅲ)如果dim([g,g])=3，则由g的幂零性可以得到Z(g)⊆[g,g].因此可以选择g的一组基{x1∈Z(g),x2∈Z(g),x3∈[g,g],x4,x5}使得方括号运算为[x3,x4]=x1,[x3,x5]=x2, [x4,x5]=x3，其余为零，这就是(c)型.(2)对(a)型，显然Hom-Jacobi等式对g上的任意线性映射α都成立，而且由方括号运算得g3=0，所以(g,[·,·],α)是一个五维幂零Hom-李代数.对(b)型，设α是g上的一个线性映射，则只要证明α对{x1,x4,x5}，{x2,x4,x5},{x3,x4,x5}满足Hom-Jacobi等式即可，即由方括号运算，上面的算式可以化简为因此，则α满足Hom-Jacobi等式当且仅当α∈T1，故推出(g,[·,·],α1)是Hom-李代数，由于g3=0，所以g是幂零的.(c)型的证明与(b)型类似，我们在此省略.(3)对(a)型，由(2)，对g上的任意线性映射α1和α2，(g,[·,·],α1)和(g,[·,·],α2)都是五维幂零Hom-李代数.设φ是g上的可逆线性映射，容易验证对任意x,y∈g,φ[x,y]=[φ(x),φ(y)]当且仅当其中:因此φ是(g,[·,·],α1)到(g,[·,·],α2)的同构当且仅当φ∈Π1,并且φ∘α1=α2∘φ.类似于(a)型的证明，我们很容易验证(b)型和(c)型，因此(b)型和(c)型的证明省略. 】注：当dim(Z(g))=1时，五维幂零Hom-李代数的分类更加复杂，对这种类型以及更一般的n维幂零Hom-李代数的分类，我们将在以后的论文中给出.E-mail:****************.cn【相关文献】[1] HARTWIG J T,LARSSON D,SILVESTROV S D.Deformations of Lie algebras using-derivations[J].J Algebra,2006,295:314.[2] BENAYADI S, MAKHLOUF A.Hom-Lie algebras with symmetric invariant nondegenerate bilinear forms[J].J of Geometry and Phys,2014,76:38.[3] SHENG Y H. Representations of Hom-Lie algebras[J].Algebra RepresentTheory,2012,15(6):1081.[4] MAKHLOUF A,SILVESTROV S.Notes on formal deformations of Hom-associative and Hom-Lie algebras[J].Forum Math,2010,22(4):715.[5] YAU D.Hom-Yang-Baxter equation,Hom-Lie algebras,and quasi-triangular bialgebras[J].J Phys A:Math Theor,2009,42(16):1076.[6] YAU D.Hom-algebras and homology[J].J Lie Theory,2009,19(2):409.[7] YAU D.Enveloping algebras of Hom-Lie algebras[J].J Gen Lie Theory Appl,2008,2:95.[8] JIN Q Q,LI X C. Hom-Lie algebra structures on semi-simple Lie algebras[J].J Algebra,2008,319(4):1398.[9] MAKHLOUF A,SILVESTROV S. Hom-algebra structures[J].J Gen Lie TheoryAppl,2008,2(2):51.。

两类幂零的n-李代数
在数学中，n-李代数是一种用来表示由具有一定n阶多项式系数
的方程组组成的一般群的数学结构，它们一般用于研究几何学中的曲
线和曲面问题。

当n=0时，n-李代数主要用于表示实数，从而可以从
数学角度描述一些不满足性质的几何结构。

n-李代数可以分为两类：幂零和有限的n-李代数。

当n=0时，有限的n-李代数可以用来表示实数，例如实数的平方根等。

而当n>0时，有限的n-李代数可以用来表示一般群的一般群的特性，幂零的n-李代
数可以用于表示一组特定的元素，其中每个元素都有一定的n阶。

幂零的n-李代数允许用户通过指定每个元素的n阶来将一个元素组合形成一个特定的方程，因此它可以为一些复杂的数学模型提供参
数支持。

此外，由于李代数可以解释各种特殊几何模型，它们可以用
来帮助构建一些新的几何物体，甚至可以解决一些困难的几何计算问题。

总之，n-李代数是一种强大的数学结构，它们可以帮助研究者们
解决许多不同的数学模型，包括曲线和曲面上的几何问题。

这两类幂
零的n-李代数对数学研究非常重要，它们可以提供更好的理解该领域
研究中遇到的相关问题。

代数表示理论的简要介绍与近期发展21511111 xxx摘要：代数表示理论是代数学的一个新的重要分支. 在近二十五年的时间里, 这一理论有了很大的发展。

代数表示论是本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本内容是研究一个A r t i n 代数上的模范畴。

由于各国代数学家的共同努力,这一理论于最近二十年来有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。

本文主要从 Hall 代数和拟遗传代数两个方面介绍代数表示论的一些最新进展。

关键词：Hall 代数;遗传代数; Kac-Moody 李代数; 拟遗传代数;介绍早在二十世纪初,W d e d erb u rn的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构,这种代数同构于有限个除环上的全矩阵代数的直和,其上的模都是半单模.那么,非半单代数的结构又如何呢? 经典的结构理论是将一个代数划分为根和半单两部分,将代数看作它的根借助半单部分的扩张.并由幂零根发展到谐零根、J。

o b so n 根等各种不同性质的根.一般来说,半单部分能够给出较好的刻画,但根的结构非常复杂。

为此专门发展起了“根论”,进行这方面的研究。

1 9 4 5年,美国数学家B a rue r 和T h a r n 提出了关于有限维代数的两个猜测.第一,“有界表示型代数是有限的。

”第二,“对于任意一个无限表示型代数,存在无限多个自然数d,使得维数等于d 的模有无限多个。

”这两个猜测成为代数表示论的起源。

所谓一个代数是有限表示型的,是指它仅有有限多个(在同构意义下) 不可分解模,反之,称为无限型的.众所周知,一个代数的模与代数的表示,即代数到一个全矩阵代数的同态像是一回事.如果我们把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片,则有限表示型代数是用有限张照片就可以揭示清楚的一种代数,当然比较简单.而无限型代数则需用无限多张照片才能表达。

代数表示论就是研究一个给定的A r t i n 代数是有限型还是无限型.若是有限型,确定其全体不可分解模;若是无限型,给出模的分布情况.我们大家所熟悉的J o r d a n 标准型就可以看作是单变元多项式环的商环的表示。

dim[xi] = 1 ，1 ≤ i ≤ n . 引理 5[2] 设 N 是拟循环的，{x1,x2,⋯,xn} 是 N 的一个 H1 - msg ，{y1,y2,⋯,yn} 是 N 的一个 H2 - msg ，则
∃θ∈ Aut N ,使得 (y1,y2,⋯,yn) =(θ(x1),θ(x2),⋯,θ(xn))A ,其中 A 是一个 n × n 可逆矩阵. 特别地，若 dim[xi] = 1 ， 1 ≤ i ≤ n ，则 A 是一个 monomial 矩阵（即每行每列恰有一个非零元素）.
xi 的关联数，( p1, p2,...,pn) 为 {x1,x2,⋯,xn} 的关联序列. 定义 3[2] 称关联序列是 ( p1, p2,...,pn) 的极小生成元系为一个 ( p1,p2,⋯,pn) -msg . 若它还是一个 H - msg ，
则称其为一个 ( p1,p2,⋯,pn) - H - msg . 定 义 4[3] 幂 零 李 代 数 N 称 为 拟 循 环 的 ，若 N 有 一 个 子 空 间 U 满 足 ：N = U⊕ U2⊕ ⋅ ⋅ ⋅⊕ Uk ，其 中
定义 6[4] 设 {x1,x2,⋯,xn} 是 N 的一个 ( p1,p2,⋯,pn) - msg ，若存在 pk = 1 ，则称它为一个 [1] - msg ，若存在 pk = pt = 1(k ≠ t) ，则称它为一个 [1,1] - msg .
引 理 6[4] 设 {x1,x2,⋯,xn} 是 N 的 一 个 ( p1,p2,⋯,pn) - msg ，若 存 在 xk 使 得 dim[[xk]] = 1 ，则 N 有 一 个
记 dim[x] = dim Nα . 定义 1[1] 设 H 是 N 上的一个极大环面，称 N 的关于 H 的根向量组成的极小生成元系为一个 H - msg .

幂零李代数林丽芳，曾月迪，陈梅香(莆田学院数学与金融学院，福建莆田 351100)0 引言在研究向量场上Witt代数和Virasoro代数的量子形变时，Hom-Lie代数的结构得到了学者的关注与研究[1].Hom-Lie代数作为李理论的一个重要研究方向，与李代数有着十分密切的关系.近年来一些特殊李代数上的Hom-结构得到了充分研究，比如一个5-维可解李代数[2]、(n-3)-filiform李代数[3]、扭Heisenberg李代数[4]、李代数W(2,2)[5].作为一类重要的李代数，幂零李代数的结构和表示在李理论的研究中占有重要地位.GRAAF[6]通过确定基元的方法给出了低维幂零李代数的分类.本文根据低维幂零李代数在同构意义下的分类，确定了4-维幂零李代数的Hom-李代数结构.1 预备知识定义1[1]设L为域上的向量空间，带有线性映射α:L→L，L 上定义一个乘法运算[-,-]:L×L→L(称为方括号)，如果满足以下条件：(i)α[x,y]=[α(x),α(y)], ∀x,y∈L；(ii)[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y], ∀λ1,λ2∈, ∀x1,x2,y∈L；(iii)[x,y]=-[y,x],∀x,y∈L；(iv)Hom-Jacobi等式：[(α+Id)(x),[y,z]]+[(α+Id)(y),[z,x]]+[(α+Id)(z),[x,y ]]=0, ∀x,y,z∈L，则称(L,[-,-],α)为域上的一个Hom-Lie代数，当α=Id时，Hom-Lie代数就为Lie代数.GRAAF[6]对低维幂零李代数的结构做出了如下分类：引理[6]设L是特征为0的代数闭域上维数等于4的幂零李代数，e1,e2,e3,e4是L的一组基，则在同构的意义下，仅有如下三类(其中没有写出来的基元方括号运算为0)：L4,1:[ei,ej]=0；L4,2:[e1,e2]=e3；L4,3:[e1,e2]=e3,[e1,e3]=e4.下面研究4-维幂零李代数L4,1,L4,2,L4,3上的Hom-Lie代数结构，也就是确定其上的满足Hom-Jacobi等式的自同态.2 主要结论定理1 对于任何一个双线性同态映射α，(L4,1,α)均可构成一个Hom-Lie代数.证明因为L4,1是可交换李代数，基元上的方括号运算等于0，即[ei,ej]=0,i,j=1,2,3,4，所以对于任何一个双线性同态映射α，α保持基元的方括号运算和Hom-Jacobi恒等式，也即(L4,1,α)构成一个Hom-Lie代数.定理2 若(L4,2,α)是一个Hom-Lie代数，则Hom-同态α在L4,2的基元上的作用可表示为其中，a11a24-a21a14=0，a12a24-a22a14=0，a31,a32,a41,a42,a34,a44为任意常数.证明假设Hom-同态α在L4,2的基元上的作用为将α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，即[a11e1+a21e2+a31e3+a41e4,a12e1+a22e2+a32e3+a42e4]=a13e 1+a23e2+a33e3+a43e4.根据L4,2的基元运算，比较两边系数有a13=a23=a43=0，a33=a11a22-a21a12.(1)将α作用在[e1,e4]=0上，可得[α(e1),α(e4)]=0，比较两边系数有a11a24-a21a14=0.(2)将α作用在[e2,e4]=0上，可得[α(e2),α(e4)]=0，比较两边系数有a12a24-a22a14=0.(3)因为L4,2上的基元运算为[e1,e2]=e3，而e3与其他基元的方括号运算为0，所以α显然满足Hom-Jacobi等式：[α(ei),[ej,ek]]+[α(ej),[ek,ei]]+[α(ek),[ei,ej]]=0, 1≤i,j,k≤4.结合(1)(2)(3)式，即得Hom-同态α在L4,2的基元上的作用如定理2.定理3 若(L4,3,α)是一个Hom-Lie代数，则Hom-同态α在L4,3的基元上的作用可表示为如下四种情况：证明假设Hom-同态α在L4,3的基元上的作用为由于[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，即方括号运算结果仅含有e3,e4，而α保持方括号运算，比较运算两边系数可知α(e3),α(e4)中含有e1,e2的系数都为0，即b13=b23=b14=b24=0.(4)将α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，比较两边系数，并结合(4)有b11b22-b21b12=b33，(5)b11b32-b31b12=b43.(6)将α作用在[e1,e3]=e4上，可得[α(e1),α(e3)]=α(e4)，比较两边系数并结合(4)有b34=0，(7)b44=b11b33.(8)将α作用在[e2,e3]=0上，可得[α(e2),α(e3)]=0，比较两边系数并结合(4)有b12b33=0.(9)因为L4,3上的基元运算为[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，e4与其他基元的方括号运算为0，α(e3),α(e4)中e1的系数为0，所以α显然满足Hom-Jacobi等式：由(9)可知，b12,b33的取值分为b12=0,b33≠0；b12≠0,b33=0；b12=0,b33=0三种情况.当b12=0,b33=0时，式(5)(6)(8)可化为b11b22=0,(10)b11b32=b43，(11)b44=0.(12)由(10)可知，b11的取值分为b11=0和b11≠0两种情况.当b11=0时，由(11)可知，b43=0，结合(4)(7)(12)，即得定理3中第三种情况.当b11≠0时，由(10)可知，b22=0，结合(4)(7)(11)(12)，即得定理3中第四种情况.。

【 者 简 介】 作 王 ￣ （９ ５ ） 女 ， 东 青 岛人 ， 士 研 究 生 ， 究 方 向 ： １８一 ， 山 硕 研 李代 数 及 其 表 示 理 论 。
６
苏州科技 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
２１ ０ １年
在 ０ ｕＮ， 得 （ ２… ， ） Ａ（ （ ，（ ， ， （ ） 其 中（ ｙ， ， ）是 矩阵 （ － ２… ， 的转置 ， ∈Ａ ｔ 使 ｙ， ， Ｔ Ｏ ｘ） Ｏｘ） … Ｏｘ） ｙ － 。 Ｙ ，２… Ｙ， ， Ｙ） ｙ Ａ 是一 个 ｎ ｎ可 逆矩 阵 。 别地 ， ｄｍ［］ １ Ｖ ， Ａ是 一个 ｍ ｎｍ ａ 矩 阵 （ ｘ 特 若 ｉ ｘ＝ ， 则 ｉ ｏ ｉ ｉｌ 即每行 每列恰 有一 个非零 元素 ） 。 引理 ３ 若 Ⅳ是 一个 二步 幂零李 代数 （ 旧 即 ≠Ｏ Ｎ ＝ ） 那么 Ｃ Ｎ） Ｎ 当且 仅 当对任 意 （ Ｐ ， ， 一 ， ３Ｏ ， （ ＝２ Ｐ ， … Ｐ ）
环 面能够分 解成根 空 间的直 和 ： ＝ Ⅳ
ｄ ＥⅣ ‘
。称 ｍｕｔｏ ：ｄｍ ， ｌ ｒ ＝ ｉ Ｎ￣ （） 为根 的重 数 。如果 ∈ ｎ记 ｄｍ ｘ＝ ｉ Ｎ 。 Ⅳ ， ｉ ［］ｄｍ ￣
定义 ｌＪ 设 日 是 Ⅳ上 的一个极 大环 面 ， 由 的根 向量 构成 的极小 生成元 Байду номын сангаас 为 Ⅳ的一 个 Ｈ－ ｓ 。 【 ５ 称 ｍ ｇ
根 向量构 成 的极 小生 成元 系 为一个 Ｈ— ｓ 。 ｍ ｇ
定 义 ３ Ⅳ 的一个 极小 生成 元系称 为一个 （ Ｐ ， ， 一 ｓ ， 阁 ｐ ，２… ｐ ）ｍ ｇ 若它 的关 联序列 为 ， ， ， 。 它为 Ｐ … ｐ） 称

近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。

近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。

近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。

下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。

“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。

设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。

若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。

若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。

例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。

本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

一个集合A 的元素个数用A 表示。

当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。

用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。

李代数知识点总结李代数的概念是由挪威数学家Sophus Lie提出的。

它是一种在向量空间上定义的代数结构，它可以用来描述连续对称性，例如旋转、对称变换等。

李代数的基本概念是李括号（Lie bracket）和李群（Lie group）, 其中李括号是在向量空间上定义的二元运算，满足一定的性质。

在这篇文章中，我们将介绍李代数的基本知识和重要性质，包括定理和应用。

同时，我们也将介绍李代数在数学、物理和工程中的应用，并讨论李代数的未来发展方向。

一、李代数的基本定义和性质1. 定义：李代数是定义在一个向量空间上的一种代数结构，它是一个满足以下性质的向量空间和二元运算的组合：（1）封闭性：对于任意两个元素x, y∈V，它们的李括号[x, y]∈V；（2）双线性：李括号[x, y]是关于x和y线性的；（3）对称性：李括号的对称性[x, y] = −[y, x]；（4）Jacobi等式：对任意的x, y, z∈V，李括号满足Jacobi等式[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0。

2. 李代数的例子：一个最简单的李代数是一维向量空间R上的李代数，它的李括号可以定义为对任意的x, y∈R，[x, y] = 0。

另一个例子是三维欧几里得空间R^3上的李代数，它的李括号可以定义为对任意的x=(x1, x2, x3), y=(y1, y2, y3)∈R^3，[x, y] = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1)。

3. 李代数的性质：李代数有许多重要的性质，其中最重要的是Lie括号的Jacobi等式，它保证了李代数的代数结构的稳定性。

李代数还有一些其他的重要性质，例如子代数、理想、李代数的同态等。

二、李群和李代数的关系李代数和李群是紧密相关的数学结构，它们之间有着密切的联系和相互作用。

李群是一种拓扑群，它在局部上是类似于欧几里得空间的群结构，而李代数是李群在单位元上的切空间结构。

Ｖｌ １ 。 ０ ｏ２ Ｎ、 ・ ，。 ２７ 。
李 代 数 的型 心
顾 颐 臣
（ 州大学 数学科 学学 院 ， 苏 江苏 苏 州
２５０ ） １０ ６
摘 要 ： 究 了李 代数 的型 心是 否 小的 问题． 研 主要 结 果 ： １ （ ）利 用基和 型 心的 关 系得 到 了一 类 幂零 李代 数 的 型心 不是 小的． ２）利 用 型 心 的 定 义 得 到 了最 简 ｉｆｒ 李 代 数 型 心 以及 Ｌ ， Ｒ ， 这 ４类 （ 可 解 ， ．ｌ 不交 换且 不可 约 ， 么 ｇ的 中心 ｃ ｇ 就 含在 ｇ的导 代数 里． 个 不可 约 那 （） 一 的交换 李代数 是 一维 的． 由上述 型心 的定 义可 知 ， 量变 换总是 在 型心 中 的 ， 纯 设 ∈Ｅ ｄ 若 （ ） ｃ（ ） 且 （ ０， ｎｇ， ｇ ｇ ， ｇ ）＝ 则称 为 ｇ的 中心导子 ． 中心导子 总是 包含 在 型心 中 ， 为在定 义 中等式 两边都 恒 等于 ０ 因 ． 定 义 １３２ 设 ｇ是 一个不 可 约 的李 代数 ， 称 Ｆ（ ） 小 的 ， ， 由 中心 导子 和恒等 变换生 成 ．＿ 则 ｇ是 若
ｉ ｆ ｍ李 ｆｉ ｒ 代数 的型 心是 小的． ｌｏ
关键词 ：李代数 ； 心 ； 型 小型 心． 中图分 类号 ： ５ ． Ｏ１２ １ 文献 标识 码 ：Ａ
文章编 号 ： ０ ８— ７ ４（０ ７ １ ０ ０ ０ １０ ２ ９ ２ ０ ）０－ ０ ７— ４
结 构研 究对 于表 示理论 研究 及其 应用 具有 基本 重要性 ， 李代 数 的型心是 结 构理论 中一个 重要 的概念 ． 而
究型 心何 时小 的问题 ， 并取 得 了一些 进展．
１ 预 备 知 识