数值分析试题及答案

数值分析试题及答案

1 / 201 / 20 一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.

A．4和3 B．3和2

C．3和4 D．4和4

2. 已知求积公式211211()(2)636fxdxfAff，则A＝（ ）

A． 16 B．13 C．12 D．23

3. 通过点0011,,,xyxy的拉格朗日插值基函数01,lxlx满足（ ）

A．00lx＝0，110lx B． 00lx＝0，111lx

C．00lx＝1，111lx D． 00lx＝1，111lx

4. 设求方程0fx的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A．超线性 B．平方 C．线性 D．三次

5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332xxxxxxxx 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.

A．232xx B．2321.53.5xx

C．2323xx D．230.51.5xx

单项选择题答案

1.A 2.D 3.D 4.C 5.B

得

分 评卷人 数值分析试题及答案

2 / 202 / 20

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设TX)4,3,2(, 则1||||X ，2||||X .

2. 一阶均差01,fxx

3. 已知3n时，科茨系数33301213,88CCC，那么33C

4. 因为方程420xfxx在区间1,2上满足 ，所以0fx在区间内有根。

5. 取步长0.1h，用欧拉法解初值问题211yyyxy的计算公式 .

填空题答案

1. 9和29 2. 0101fxfxxx

3. 18 4. 120ff

5. 1200.11.1,0,1,210.11kkyykky

得

分 评卷人

三、计算题（每题15分，共60分）

1. 已知函数211yx的一组数据： 求分段线性插值函数，并计算1.5f的近似值.

计算题1.答案 数值分析试题及答案

3 / 203 / 20 1. 解 0,1x， 1010.510.50110xxLxx

1,2x，210.50.20.30.81221xxLxx

所以分段线性插值函数为

10.50,10.80.31,2xxLxxx

1.50.80.31.50.35L

2. 已知线性方程组1231231231027.21028.354.2xxxxxxxxx

（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；

（2） 对于初始值00,0,0X，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算1X（保留小数点后五位数字）.

计算题2.答案

1.解 原方程组同解变形为

1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84xxxxxxxxx

雅可比迭代公式为

1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84mmmmmmmmmxxxxxxxxx(0,1...)m

高斯－塞德尔迭代法公式 数值分析试题及答案

4 / 204 / 20 1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84mmmmmmmmmxxxxxxxxx (0,1...)m

用雅可比迭代公式得10.72000,0.83000,0.84000X

用高斯－塞德尔迭代公式得10.72000,0.90200,1.16440X

3. 用牛顿法求方程3310xx在1,2之间的近似根

（1）请指出为什么初值应取2？

（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.

计算题3.答案

3. 解 331fxxx，130f，210f

233fxx，12fxx，2240f，故取2x作初始值

迭代公式为

3111112113133nnnnnnnnfxxxxxxfxx312121()31nnxx或， 1,2,...n

02x，3122311.88889321x，32221.8888911.8794531.888891x

210.009440.0001xx

33221.8794511.8793931.879451x， 320.000060.0001xx

方程的根1.87939x

4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dxx.

计算题4.答案 数值分析试题及答案

5 / 205 / 20 4 解 梯形公式2babafxdxfafb

应用梯形公式得101111[]0.75121011dxx

辛卜生公式为[4()]62babaabfxdxfaffb

应用辛卜生公式得1011010[04()1]162dxfffx

1111[4]161011122536

得

分 评卷人

四、证明题（本题10分）

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度

1010hhfxdxAfhAfAfh

证明题答案

证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,AAA，将21,,fxxx分别代入求积公式，并令其左右相等，得

1011123112()02()3AAAhhAAhAAh

得1113AAh，043hA。所求公式至少有两次代数精确度。

又由于 数值分析试题及答案

6 / 206 / 20

3334443333hhhhhhxdxhhhhxdxhh

故40333hhhhfxdxfhffh具有三次代数精确度。

一、 填空（共20分，每题2分）

1. 设 2.3149541...x，取5位有效数字，则所得的近似值x= .

2.设一阶差商 21122114,321fxfxfxxxx，

322332615,422fxfxfxxxx

则二阶差商 123,,______fxxx

3. 设(2,3,1)TX, 则2||||X ，||||X 。

4．求方程 21.250xx 的近似根，用迭代公式 1.25xx，取初始值 01x，

那么 1______x。

5．解初始值问题 00'(,)()yfxyyxy近似解的梯形公式是 1______ky。

6、 1151A，则A的谱半径 ＝ 。

7、设 2()35, , 0,1,2,... ,kfxxxkhk ，则 12,,nnnfxxx 和 数值分析试题及答案

7 / 207 / 20 123,,,nnnnfxxxx 。

8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为 。

10、为了使计算23123101(1)(1)yxxx的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。

填空题答案

1、2.3150

2、23121233153,,112,,416fxxfxxfxxxxx

3、6 和 14

4、1.5

5、11,,2kkkkkhyfxyfxy

6、()6A

7、12123,,3,,,,0nnnnnnnfxxxfxxxx 8、 收敛 9、h

10、11310121(1)(1)yxxx

二、计算题 （共75 分，每题15分）

1．设 3201219(), , 1, 44fxxxxx

（1）试求 fx在 19,44上的三次Hermite插值多项式x使满足 数值分析试题及答案

8 / 208 / 20 ''11()(), 0,1,2,... ()()jjHxfxjHxfx

x以升幂形式给出。

（2）写出余项 ()()()RxfxHx的表达式

计算题1.答案

1、（1） 3214263233122545045025xxxx

（2）522191919()(1)(),()(,)4!164444Rxxxxx