高数多元函数课件9-2

解： 2 z ( z ) 1, 2 z ( z ) 1
x y y x
y x x y
定理. 若 fx y(x),和 y fyx (x),都 y (在 x 0,y 0)连 点 , 续
则
fxy(x 0,y0)fyx(x 0,y0) (证明略)
例7. 设 zx3y23x3y x y1,
uv （3） z ln xy ；（ 4） z sin( xy ) cos 2 ( xy ); （5） z ln tan x ；（ 6） z ( 1 xy ) y ;
y
y
（7） z x z；（ 8） u arctan( x y )z
作业P69：1 (1)、(2)；2
第三节 全微分
第九章
z
z
xfx(x,y), yfy(x,y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f (x,y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z x
)
2z x2
fxx(x,y);
z
2z
( )
y x x y
fxy(x,y)
z ()
x y
2z
yx
fy
x(
x,
y);
(
1,
(2x6)
2)
x 1
8
z
x1
13y
y2，
z y
( 1, 2 ) (32y) y2
7
例1: 求zx2sin2y的偏导. 数
z x
2xsin2y，
z y
2x2cos2y
例4. 求 r x2y2z2 的偏导数.
解:
r x 2
2x
x2 y2

•.
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仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为 零的点，均称为函数的驻点.
注意：驻点
极值点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
•.
•26
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D
的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.
•.
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•.
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一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
•.
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一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
•.
•9
一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
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一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
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的图形
•.
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1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x, y) ： 若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极

第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限

例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
例：求下列函数的定义域
（1）f (x, y) ln(1 x2 y2 )
1. 内点是聚点； 2. 边界点是聚点；
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点．
3. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
lim
y)(0,0
)
sin( x x2
2 y) y2
.
解
sin( x2 y)
lim
( x, y)(0,0)
x2 y2
( x,
lim
y)(0,0)
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
其中 ( x,