上海市闸北区2015届高三下学期期中练习数学理试题 Word版含答案

- 1 - 闸北区2014学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷

考生注意：

1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．

2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．

3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每

个空格填对得6分，否则一律得零分．

1. 设幂函数fx的图像经过点8,4，则函数fx的奇偶性为____________．

2. 设复数122,12zizi，在复平面的对应的向量分别为,OAOB，则向量AB对应的复数所对应的点的坐标为____________．

3. 已知定义域为R的函数yfx的图像关于点1,0对称，ygx是yfx的反函数，若120xx，则12gxgx___________．

4. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中,,(0,1)abc．已知投篮一次得分的期望是2，则ab的最大值是____________．

5.

设.N,3,31,N,21,21nnnnannn 数列na的前n项和为nS，则nnSlim___________．

6. 设函数.0,4,0,66)(2xxxxxxf若存在互不相等的实数123,,xxx满足123()()()fxfxfx，则123xxx的取值范围是_____________．

7. 若二项式1nxx展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．

8. 从双曲线222210,0xyabab的左焦点F引圆222xya的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段FP的中点，O为坐标原点，则MOMT的值是____________．

9. 已知集合,,UxyxRyR，,Mxyxya，,Pxyyfx，现给出下列函数：①ayx；②logayx ；③sinyxa；④cosyax．若

- 2 - 01a时，恒有UPCMP，则所有满足条件的函数fx的编号是___________．

10. 把正整数排列成如图a的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到如图b的三角形数阵，现将图b中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列na，若2015ka，则__________.k

1 1

2 3 4 2 4

5 6 7 8 9 5 7 9

10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36

a b

二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

11. 下列命题中，正确的个数是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】

（1） 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；

（2） a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；

（3） 直四棱柱是直平行六面体；

（4） 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．

A、0 B、1 C、2 D、3

12. 在极坐标系中，关于曲线:4sin3C的下列判断中正确的是„„„„„【 】

A、曲线C关于直线56对称 B、曲线C关于直线3对称

C、曲线C关于点2,3对称 D、曲线C关于极点0,0对称

13. 已知O是正三角形ABC内部的一点，230OAOBOC，则OAC的面积与OAB的面积之比是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】

A、32 B、23 C、2 D、1

三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

14. （本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）

如图，AB是圆柱体1OO的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，

- 3 - D是圆O上不与点,BC重合的任意一点，5AB，5BC，3CD．

（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；

（2）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求ACD的三边在旋

转过程中所围成的几何体的体积．

15. （本题满分13分，第（1）小题5分，第（2）小题8分）

如图所示，某市拟在长为8km道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数sin0,0yAxA0,4x的图像，且图像的最高点为3,23S，赛道的后一部分为折线段MNP，且120MNP．

（1）求M、P两点间的直线距离；

（2）求折线段赛道MNP长度的最大值．

16. （本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）

已知圆221:18Cxy，点21,0C，点Q在圆1C上运动，2QC的垂直平分线交1QC于点P．

（1）求动点P的轨迹W方程；

（2）过点10,3S且斜率为k的动直线l交曲线W于,AB两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

17. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）

设函数yfx的定义域为D，值域为A，如果存在函数xgt，使得函数yfgt的值域仍是A，那么称xgt是函数yfx的一个等值域变换．

（1）判断下列函数xgt是不是函数yfx的一个等值域变换？说明你的理由；

① 2log,0fxxx，1,0xgtttt；

- 4 - ② 21,fxxxxR，2,txgttR．

（2）设函数yfx的定义域为D，值域为A，函数gt的定义域为1D，值域为1A，那么“1DA”是否为“xgt是yfx的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由；

（3）设2logfxx的定义域为2,8x，已知2231mttnxgtt是yfx的一个等值域变换，且函数yfgt的定义域为R，求实数mn、的值．

18. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

我们把一系列向量1,2,,iain按次序排成一列，称之为向量列，记作na，已知向量列na满足：1,11a，11111,,2nnnnnnnaxyxyxy2n．

（1）证明：数列na是等比数列；

（2）设2lognnncaa，问数列nc中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由；

（3）设n表示向量1na与na间的夹角，若2nnnb，对于任意正整数n，不等式1221111log122annnabbb恒成立，求实数a的范围．

理科答案

一． 填空题

1、偶函数； 2、1,1 3、2 4、16

5、5518

6、1,6 7、47 8、ba 9、①②④ 10、1030

二． 选择题

11、B 12、A 13、B

三．解答题

- 5 - 14、（1）32arcsin10 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

（2）15 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

15、

解（1）依题意，有23A „„„„„„„„„„„„„„„„1分

又34T， 而2T， 6 „„„„„„„„„1分

23sin6yx

当4x时，223sin33y，4,3M，又8,0P

22435MP „„„„„„„„„„„„„„„3分

（2）解：法一：在MNP中，120MNP，5MP.

设PMN，则060.„„„„„„„„„„„„„„1分

由正弦定理得sin120sinsin60MPNPMN，103sin3NP，

103sin603MN，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

故103103103sinsin60sin60333NPMN„„3分

060，当30时，折线段赛道MNP最长为3310.„„„„„2分

解法二 ： （2）在MNP中，120MNP，5.MP

由余弦定理得2222MNNPMNNPCOSMNPMP，

即2225MNNPMNNP；„„„„„„„„„„3分

故22252MNNPMNNPMNNP，从而23254MNNP„4分

即1033MNNP，当且仅当MNNP时等号成立.„„„„„„2分

亦即，设计为MNNP时，折线段赛道MNP最长为3310.

注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①123943,26N；②123943,26N；③点N在线段MP的垂直平分线上等.