二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析

中考二次函数压轴题———解题通法研究几个自定义概念：①三角形根本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y 轴三角形称为三角形根本模型。

②动点〔或不确定点〕坐标“一母示〞：借助于动点或不确定点所在函数图象解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵〞。

如：动点P在y=2x+1上，就可设 P〔t, 2t+1〕.假设动点Ｐ在ｙ＝，那么可设为Ｐ〔ｔ，〕当然假设动点M 在X轴上，那么设为〔t, 0〕.假设动点M在Ｙ轴上，设为〔０，ｔ〕．③动三角形：至少有一边长度是不确定，是运动变化。

或至少有一个顶点是运动，变化三角形称为动三角形。

④动线段：其长度是运动，变化，不确定线段称为动线段。

⑤定三角形：三边长度固定，或三个顶点固定三角形称为定三角形。

⑥定直线：其函数关系式是确定，不含参数直线称为定直线。

如：ｙ＝３ｘ－６。

⑦X标，Y标：为了记忆与阐述某些问题方便，我们把横坐标称为x标，纵坐标称为y标。

⑧直接动点：相关平面图形〔如三角形，四边形，梯形等〕上动点称为直接动点，与之共线问题中点叫间接动点。

动点坐标“一母示〞是针对直接动点坐标而言。

1.求证“两线段相等〞问题：借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段长度是什么距离〔即是“点点〞距离，还是“点轴距离〞，还是“点线距离〞，再运用两点之间距离公式或点到x轴〔y轴〕距离公式或点到直线距离公式，分别把两条线段长度表示出来，分别把它们进展化简，即可证得两线段相等。

２、“平行于y轴动线段长度最大值〞问题：由于平行于y轴线段上各个点横坐标相等〔常设为t〕，借助于两个端点所在函数图象解析式，把两个端点纵坐标分别用含有字母t代数式表示出来，再由两个端点上下情况，运用平行于y轴线段长度计算公式，把动线段长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下二次函数解析式，利用二次函数性质，即可求得动线段长度最大值及端点坐标。

3、求一个点关于一条直线对称点坐标问题：先用点斜式〔或称K点法〕求出过点，且与直线垂直直线解析式，再求出两直线交点坐标，最后用中点坐标公式即可。

所以 S 2S△ADN ．
所以，四边形 MDNA 的面积 S (8 2t)(1 2t) 4t2 14t 8 ． 因为运动至点 A 与点 D 重合为止，据题意可知 0 ≤ t 4 ． 所以，所求关系式是 S 4t2 14t 8 ， t 的取值范围是 0 ≤ t 4 ．
单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，
点 M ，点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别 向下、向上运动，直到点 A 与点 D 重合为止．求出四边 形 MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式，并写出 自变量 t 的取值范围； （3）当 t 为何值时，四边形 MDNA 的面积 S 有最大值，
函数解题思路方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 ax²+bx+c=0 中 a,b,c 的符号，或由二次函
数中 a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线 C1 与坐标轴的交点依次是 A(4，0) ， B(2，0) ， E(0，8) ．
（1）求抛物线 C1 关于原点对称的抛物线 C2 的解析式；
（2）设抛物线 C1 的顶点为 M ，抛物线 C2 与 x 轴分别交
于 C， D 两点（点 C 在点 D 的左侧），顶点为 N ，四边 形 MDNA 的面积为 S ．若点 A ，点 D 同时以每秒 1 个
并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 MDNA 能否形成矩形？若 能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由．

二次函数中的三角形一．与三角形面积例1：如图，已知在同一坐标系中，直线22k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点。

C 是抛物线的顶点。

（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）； （2）若点A 在点B 的左侧，且021<⋅x x 。

①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使ABC ABP S S ∆∆=？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。

例2：已知抛物线)1(3)4(2-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， （1）求m 的取值范围；（2）若0<m ，直线1-=kx y 经过点A ，与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式； （3）若A 点在B 点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P ，使直线P A 平分ACD ∆的面积？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

例3．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，以AB 的垂直平分线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)。

(1)写出A 、B 、C 、D 及AD 的中点E 的坐标；(2)求以E 为顶点、对称轴平行于y 轴，并且经过点B 、C 的抛物线的解析式； (3)求对角线BD 与上述抛物线除点B 以外的另一交点P 的坐标；(4)△PEB 的面积S △PEB 与△PBC 的面积S △PBC 具有怎样的关系？证明你的结论。

A BC DO E x y(第25题图)例4.如图1，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于AB ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．二．与三角形形状例5. 如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．图2图1例 6.如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标．（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．x 图①x 图②x 图③例7. 已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．例8.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． (1)求点B 的坐标；(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方， 那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．(注意：本题中的结果均保留根号)(第25题图)三．二次函数与三角形相似 例9：已知一次函数1243--=x y 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标；（2）在x 轴上找出点B ，使ACB ∆∽AOC ∆，若抛物线过A 、B 、C 三点，求出此抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，使m AP =，是否存在m 的值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。

教学过程一、课堂导入1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，4）、B（-4，4），试在x轴上找出点P，使△APB为直角三角形，请直接写出所有符合条件的P点的坐标2、在平面直角坐标系中找出所有的点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，且C点的横坐标与纵坐标为自然数．画出C点的位置并写出C 点的坐标．问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得三角形是等腰三角形（等边三角形、直角三角形等）并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习根据实际问题列二次函数关系式：1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．2、常见题目类型(1)几何类(三角形、四边形、圆等)一般问题是求图形的面积，首先可以根据特殊图形的面积公式来求解，这时关键是表示出公式里各个部分的代数式；其次，如果不是特殊的图形，可以通过特殊图形的面积相加减来表示；最后，还可以通过构造特殊图形来进行表示求解；总之，要根据题目给的条件实际运用。

(2)桥梁问题这类题型是出现较多的类型，首先应该建立适当的直角坐标系，将桥梁的拱形转化为二次函数来进行求解，强调的是特殊点的表示与运用。

(3)销售问题这类题型会在考试中频繁出现，解题的方法就是：围绕总利润=（售价-进价）×数量这个公式去进行，难度大一点的就是会涉及提价跟降价两种情况，关键是要根据题意分别表示出降价或者提价后商品的售价、数量（进价一般不变），然后再通过公式将各个部分组合在一起就可以了。