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高考数学函数模型及其应用

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课时作业(十二) 第12讲 函数模型及其应用

时间 / 45分钟 分值 / 90分

基础热身

1.某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y={4𝑥,1≤𝑥≤10,2𝑥+10,10<𝑥≤100,1.5𝑥,𝑥>100,其中x代表拟录用人数,y代表面试对象人数.若面试对象人数为60,则该公司拟录用人数为 ( )

A.15 B.40

C.25 D.70

2.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售16辆这种品牌的车,则能获得的最大总利润是 ( )

A.10.5万元 B.11万元

C.43万元 D.43.025万元

3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了一组实验数据(如下表),现准备用下列四个函数中的一个来近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )

x 1.992 3 4 5.51

6.126

y 1.517 4.041

8 7.5 12 18.01

A.y=2x-2 B.y=12(x2-1)

C.y=log2x D.y=log12x

4.某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的含量p(单位:毫克/升)不断减少,已知p与时间t(单位:小时)满足p=p02-𝑥30,其中p0为t=0时的污染物含量.又测得当t从0到30时,污染物含量的平均变化率是-10ln 2,则当t=60时,p= ( )

A.150 B.300

C.150ln 2 D.300ln 2 2 5.[2018·成都七中模拟] 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系式y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在22 ℃时的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃时的保鲜时间是 小时.

能力提升

6.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系式为R={400𝑥-12𝑥2,0≤𝑥≤400,80 000,𝑥>400,则总利润最大时,生产的产品为 ( )

A.100单位 B.150单位

C.200单位 D.300单位

7.气象学院用32万元购置了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用,第n天的维修保养费为4n+46(n∈N*)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止,则一共要使用 ( )

A.300天 B.400天

C.600天 D.800天

8.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=ae-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的细沙,则当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,又经过的时间为 ( )

A.8 min B.16 min

C.24 min D.32 min

9.[2018·北京东城区期中] 光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度y=k·0.9x,若光线强度能减弱到原来的14以下,则至少通过这样的玻璃(lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)( )

A.12块 B.13块

C.14块 D.15块

图K12-1 3 10.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图K12-1),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,则截取的矩形铁片面积的最大值为 .

11.某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是y=k·ax(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的价格为96元,上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为 元.

12.(10分)在十九大报告中提出的新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从2018年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0

(1)请用a,n表示x.

(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?

参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477.

13.(12分)[2018·南通模拟] 秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施,在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田,花137 600元购买了一台新型联合收割机,每年用于收割可以收入60 000元(已减去所用柴油费).该收割机每年都要定期进行维修保养,第一年由厂方免费维修保养,第二年及以后由该农机户付费维修保养,每年用于维修保养的费用y(元)与使用年数n的关系式为y=kn+b(n≥2,且n∈N*),已知第二年付费1800元,第五年付费6000元.

(1)试求出该农机户每年用于维修保养的费用y(元)与使用年数n(n∈N*)的函数关系式.

(2)这台收割机使用多少年可使年平均收益最大?(收益=收入-维修保养费用-购买机械费用)

4

难点突破

14.(13分)某市郊区有一加油站,2018年初汽油的存储量为50吨,计划从年初起每周初均购进汽油m吨,以满足城区内和城区外汽车用油需求.已知城区外汽车每周用油5吨;城区内汽车前x(1≤x≤16,x∈N*)周的汽油需求量y(单位:吨)与x的函数关系式为y=a√𝑥(a为常数),且前4周城区内汽车的汽油需求量为100吨.

(1)试写出第x(1≤x≤16,x∈N*)周结束时,汽油存储量M(单位:吨)与x的函数关系式;

(2)要使16周内每周按计划购进汽油之后,加油站总能满足城区内和城区外汽车的用油需求,且每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨,试确定m的取值范围.

课时作业(十二)

1.C [解析] 当1≤x≤10时,y≤40;当x>100时,y>150.因此所求人数x∈(10,100],由2x+10=60,得x=25,故选C.

2.C [解析] 依题意,设在A地销售x辆车,则在B地销售(16-x)辆车,所以总利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-10.5)2+0.1×10.52+32,因为x∈[0,16]且x∈N,所以当x=10或11时,ymax=43.故选C.

3.B [解析] 由y随x的变化趋势知,函数在(0,+∞)上是增函数,且y的增长速度随x的增大越来越快.A中函数增长速度不变,C中函数是增长速度逐渐变慢的函数,D中函数是减函数,故排除A,C,D,易知B中函数最符合题意.

4.C [解析] 因为当t∈[0,30]时,污染物含量的平均变化率是-10ln 2,所以-10ln 2=12𝑥0-𝑥030-0,所以p0=600ln 2,所以当t=60时,p=600ln 2×2-2=150ln 2. 5 5.24 [解析] 由题意知192=eb,48=e22k+b,∴e22k=14,∴当x=33时,y=e33k+b=192×(14)32=24.

6.D [解析] 设总成本为C元,总利润为P元,则C=20 000+100x,

则P=R-C={300𝑥-𝑥22-20 000,0≤𝑥≤400,60 000-100𝑥,𝑥>400.

当0≤x≤400时,P=-12x2+300x-20 000=-12(x-300)2+25 000,x=300时,P取得最大值25 000;

当x>400时,P<20 000.

所以当x=300时,P取得最大值,故选D.

7.B [解析] 使用n天的平均耗资为320 000+(50+4𝑥+46)𝑥2𝑥=320 000𝑥+2n+48(元),当且仅当320 000𝑥=2n时取得最小值,此时n=400.

8.B [解析] 依题意有ae-8b=12a,即e-8b=12,两边取对数,得-8b=ln12=-ln 2,∴b=ln28,∴y=ae-ln28𝑥.当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,则有ae-ln28𝑥=18a,∴e-ln28𝑥=18,两边取对数,得-ln28t=ln18=-3ln 2,∴t=24,∴又经过的时间为24-8=16(min).故选B.

9.C [解析] 由题意知0.9xk<𝑥4,即0.9x<14,

两边同时取对数,可得xlg 0.9

∵lg 0.9lg14lg0.9=-2lg22lg3-1≈13.04,

又x∈N*,

∴至少通过14块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的14以下.故选C.

10.180 [解析] 依题意知20-𝑥20=𝑥-824-8,即x=54(24-y)(8≤y<24),

所以阴影部分的面积S=xy=54(24-y)·y=54(-y2+24y)=-54(y-12)2+180,

当y=12时,S取得最大值180,故答案为180.

11.40.5 [解析] 由题意可得方程组{𝑥×𝑥1=96,𝑥×𝑥3=54,结合a>0且a≠1,可得{𝑥=34,𝑥=128,

则y=128×(34)𝑥,则该商品上架第4天的价格为128×(34)4=812=40.5(元).

12.解:(1)依题意得(1-x)n=a,

即1-x=√a𝑥,即x=1-√𝑥𝑥(n∈N*).

(2)由题得(1-10%)n≤25%,即(910)𝑥≤14, 6 则nlg910≤lg14,即n(2lg 3-1)≤-2lg 2,

则n≥2lg21-2lg3,又2lg21-2lg3≈13.09,n∈N*,∴n的最小值为14.

故至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.

13.解:(1)依题意知,当n=2时,y=1800;当n=5时,y=6000,

则{1800=2𝑥+𝑥,6000=5𝑥+𝑥,解得{𝑥=1400,𝑥=-1000,

所以y={0,𝑥=1,1400𝑥-1000,𝑥≥2且𝑥∈N*.

(2)记使用n年,年平均收益为W元,

则当n≥2时,W=60 000-1𝑥[137 600+1400(2+3+…+n)-1000(n-1)]=60 000-1𝑥137

600+1400×(𝑥-1)(𝑥+2)2-1000(n-1)=60 000-1𝑥(137 200+700n2-300n)=60 300-(700𝑥+137 200𝑥)≤60 300-2√700𝑥·137 200𝑥=40 700,

当且仅当700n=137 200𝑥,即n=14时取等号,

所以这台收割机使用14年可使年平均收益最大.

14.解:(1)由已知条件得100=a√4,解得a=50,

所以y=50√𝑥(1≤x≤16,x∈N*),

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高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用

高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用

高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用

第1篇：高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用

导语：常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等，下面就由小编为大家带来高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用，大家一起去看看怎么做吧！

1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数y=kx+b(k≠0)，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，指数函数y=ax(a>0且a≠1)，对数函数y=logax(a>0且a≠1)，幂函数y=xa(a为常数)

2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步，审清题意，设立变量;第二步，根据所给模型，列出函数关系式;第三步，利用函数关系求解;第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.

3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：(1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图;(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线;(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式;(4)利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 4.解疑释惑

(1)怎样理解“数学建模”和实际问题的关系?

一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”. (2)怎样才能搞好“数学建模”?

在“数学建模”中要把握好下列几个问题：

1理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.

2数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数. 3求解模型：以所学的数学*质为工具对建立的数学模型进行求解.○

【高中数学】函数模型及其应用

【高中数学】函数模型及其应用

高中数学学科

函数模型及其应用

一、基础知识

1．常见的8种函数模型

(1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；

(2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)；

(3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；

(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；(6)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)；

(7)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)；

(8)“对勾”函数模型：y＝x＋ax(a>0)．

(1)形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质：

①该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．

②当x>0时，x＝a时取最小值2a，当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.

(2)函数f(x)＝xa＋bx(a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab，＋∞)内

单调递增．2．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的增减

性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变化随x的增大，逐渐表

现为与y轴平行随x的增大，逐渐表

现为与x轴平行随n值变化而各有不

同

值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax

幂函数模型y＝xnn>0可以描述增长幅度不同的变化，当n,值较小n≤1时，增长较慢；

当n值较大n>1时，增长较快.

考点一二次函数、分段函数模型高中数学学科

[典例]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票

每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到

高中数学：函数模型及其应用

高中数学：函数模型及其应用

应用函数模型解决实际问题通常有四个步骤：①阅读理解，认真审题；②引进数学符号，建立数学模型；③利用数学的方法，得到数学结果；④转译成具体问题作出解答。其中关键是建立数学模型，下面谈一谈函数模型的应用。

一、二次函数模型

例1、如图所示，某房地产公司在矩形拆迁地ABCD中规划一块矩形地面PQCR建造住宅小公园，为了保护文物，公园又不能超越文物保所区的界线EF，由实地测量知，米，米，米，米，问：怎样设计矩形公园的长和宽，才能使其面积最大？最大面积是多少？

分析：由题意可知，点Q、R必定在边BC、CD上。若点P在DF上，则矩形PQCR应为具有最大面积的矩形PQCD；若点P在BE上，则矩形PQCR应为具有最大面积的矩形EBCR。因此只需求出点P在EF上时矩形PQCR的最大面积，然后加以比较便知。

解析：设点P在EF上，PQ=x，则。

延长QP交AF于G，则。

因为∽，故。

所以。

x，当时，最大，此时最大值约为24067。

而，所以。

故设计矩形公园的长PQ为190米，宽PR约为126.67米时，其面积最大，最大面积约为24067平方米。

说明：根据几何图形的形状，对点P的位置进行分类讨论，比较不同位置下面积的大小，从而求出最大面积时点P的位置。此题借助于二次函数的最值研究方法，求出了矩形PQCR面积的最大值。

二、分段函数模型

例2、一家报刊摊点，从报社买进报纸价格是每份0.24元，卖出是每份0.40元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社，在一个月的30天里，有20天每天可卖出300份，其余10天，每天卖出200份，但这30天里，每天从报社买进的份数必须相同，这家报刊摊点应该每天从报社进多少份报纸，才能获得最大利润？一个月可赚多少钱？

解析：设这家报刊摊点第天从报社买进x份报纸，一个月可赚y元。

①当时，。

②当时，

。

③当时，

。

综上知，这家报刊摊点应该每天从报社进300份报纸，才能获得最大利润，一个月可赚1120元。

创新方案高考数学复习人教新课标函数模型及其应用高中数学

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一、函数及函数的基本性质

函数是数学中一个非常重要的概念，因为它可以帮助我们描述很多自然现象和现实问题中的变化规律。在高中数学中，我们主要学习了一元函数和二元函数，其中一元函数是自变量只有一个的函数，而二元函数是自变量有两个的函数。下面我们来介绍一下函数的基本性质。

1. 定义域和值域：一个函数的定义域就是自变量可以取的所有实数的集合，而值域则是函数所有可能取到的函数值的集合。

2. 奇偶性：如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数；如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。

3. 单调性：如果对于任意的x1f(x2)，则函数f(x)为单调递减函数。

4. 周期性：如果对于任意的x，有f(x+T) = f(x)（其中T>0），则函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。

5. 对称性：如果对于任意的x，有f(a-x) = f(a+x)，则函数f(x)关于直线x=a对称。