立体几何中的折叠问题
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立体几何中的折叠问题 第 1 页 共 5 页 立体几何中的折叠问题
1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.
2.折叠问题分析求解原则：
(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；
(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。
（最值问题）1、把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为_______.
（两点间距离，全品83页）2、把长宽分别为23、2的长方形ABCD沿对角线AC折成60o的二面角，求顶点B和D的距离。
3、（全品70页）给出一边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，并用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积。
4、（2005江西文）矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B—AC—D，则四面体ABCD的外接球的体积为 （ ）
A．12125 B．9125 C．6125 D．3125 立体几何中的折叠问题 第 2 页 共 5 页 ABCDEMN
解决折叠问题的关键是弄清折叠前后哪些量没有变化，折叠后位置关系怎样变化，通过空间想象折叠成的几何体的形状来分析已知和待求，是培养空间想象能力的很好的题型。
高考题中的折叠问题
1、在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF
把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S—EFG
中必有
(A)SG⊥△EFG所在平面 (B)SD⊥△EFG所在平面
(C)GF⊥△SEF所在平面 (D)GD⊥△SEF所在平面
2、如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，
G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，
EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）
A．90° B．60°
C．45° D．0°
3、（2005浙江理科）12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如下图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_____．
4、（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为
(A)2734 (B)26 (C)86 (D)246
5、（2009浙江）如图，在长方形ABCD中，2AB，1BC，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC．在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足．设AKt，则t的取值范围是 ． 立体几何中的折叠问题 第 3 页 共 5 页
6．（2010上海）在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去AOB,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为 。
7、（2010浙江）如图，在矩形ABCD中，点,EF分别在线段,ABAD上，
243AEEBAFFD.沿直线EF将AEF翻折成'AEF，使平面'AEFBEF平面.
(I)求二面角'AFDC的余弦值； (II)点,MN分别在线段,FDBC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与'A重合，求线段FM的长.
8、(2009浙江备) 如图, 在平面内直线EF与线段AB相交于C点, ∠BCF＝30, 且
AC = CB = 4, 将此平面沿直线EF折成60的二面角－EF－, BP⊥平面, 点P为垂足.
(Ⅰ) 求△ACP的面积;(Ⅱ) 求异面直线AB与EF所成角的正切值.
B
A F C
C B
P
A
E E F 立体几何中的折叠问题 第 4 页 共 5 页
9、（2007广东）如图所示，等腰ABC△的底边66AB，高3CD，点E是线段BD上异于点BD，的动点，点F在BC边上，且EFAB⊥，现沿EF将BEF△折起到PEF△的位置，使PEAE⊥，记BEx，()Vx表示四棱锥PACFE的体积．
（1）求()Vx的表达式；
（2）当x为何值时，()Vx取得最大值？
（3）当()Vx取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．
10、（2006辽宁）已知正方形ABCD，EF，分别是边ABCD，的中点，将ADE△沿DE折起，如图所示，记二面角ADEC的大小为（0π）．
（1）证明BF∥平面ADE；
（2）若ACD△为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角的余弦值．
图6 P
E D
F B
C A
A B C
D E F A
B C
D E F
