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高考数学一轮复习 人教版 解析几何第八单元 听课正文 第48讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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听课正文 第48讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1.直线的倾斜角

(1)定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为

.

(2)范围:倾斜角α的取值范围是 .

2.直线的斜率

(1)定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的 叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= .

(2)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=

.若x1=x2,则直线的斜率

,此时直线的倾斜角为90°.

3.直线方程的五种形式

名称 方程 适用范围

点斜式 不含直线x=x0

斜截式 不含垂直于x轴的直线

两点式 不含直线x=x1(x1=x2)

和直线y=y1(y1=y2)

截距式 不含垂直于坐标轴

和过原点的直线

一般式 平面内所有直线都适用

常用结论

直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:

α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°

k 0 k>0 不存在 k<0

题组一 常识题

1.[教材改编] 直线 x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为

.

2.[教材改编] 已知一直线经过两点A(1,-2),B(a,3),且倾斜角为45°,则a的值为

.

3.[教材改编] 已知过点A( ,2)的直线l的倾斜角为

,则直线l的方程为 .

4.[教材改编] 已知直线x-3my-12=0在两个坐标轴上的截距之和等于10,则实数m的值为

.

题组二 常错题

◆索引:忽略斜率不存在的情况;对直线斜率的取值范围不清楚;忽略截距为0的情况.

5.直线l经过A(2,1),B

- (m>0)两点,那么直线l的倾斜角θ的取值范围是 .

6.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段总有公共点,则直线l的斜率的取值范围是

.

7.过点P(3,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是

.

探究点一 直线的倾斜角和斜率

例1 (1)设直线l的倾斜角为α,且

≤α≤

,则直线l的斜率k的取值范围是 .

(2)[2018·无锡四校联考] 直线xcos α+y+2=0的倾斜角的取值范围是 .

[总结反思] (1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tan α的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助图像或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.

(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为

,此时直线垂直于x轴.

变式题 (1)[2018·湖北重点中学模拟] 直线x+ysin α-3=0(α∈R)的倾斜角的取值范围

是

.

(2)在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(-2, -1),若过点P(-1,-1)的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是

.

探究点二 直线的方程

例2 求满足下列条件的直线l的方程:

(1)直线l经过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直线y=

x的倾斜角的2倍;

(2)直线l过点P(2,4),并且在x轴上的截距是在y轴上截距的

.

[总结反思] (1)求直线方程一般有以下两种方法:

①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.

②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.

(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.

变式题 (1)当a取不同实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过一定点,则这个定点是 ( )

A.(2,3) B.(-2,3)

C. -

D.(-2,0)

(2)已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是( )

A.x+y-3=0

B.x-3y-2=0

C.3x-y+6=0

D.3x+y-6=0

探究点三 直线方程的综合应用

例3 (1)直线l经过点P(2,3),且与两坐标轴的正半轴交于A,B两点,则△OAB(O为坐标原点)面积的最小值为 ( )

A.

B.25

C.12 D.24

(2)已知过点A(3,-2)的直线l交x轴正半轴于点B,交直线l1:x-2y=0于点C,且 =2 ,则直线l在y轴上的截距是

.

[总结反思] (1)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值;(2)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决问题.

图8-48-1

变式题 (1)[2018·郴州一中月考] 如图8-48-1,在△OAB中,A(4,0),B(2,4),过点P(a,0)且平行于OB的直线l与线段AB交于点Q,记四边形OPQB的面积为y=S(a),则函数y=S(a)的大致图像为 ( )

A B C D

图8-48-2

(2)过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,则使|PA|·|PB|的值最小时,直线l的方程为

.

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(全国通用)近年高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程教师用

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（全国通用）2018高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程教师用书 文 新人教A版

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2 第八章 平面解析几何

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全国卷Ⅱ·T7 全国卷Ⅰ·T10

全国卷Ⅰ·T20

全国卷Ⅱ·T10 全国卷Ⅱ·T10

圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 全国卷Ⅰ·T15

全国卷Ⅲ·T15 全国卷Ⅰ·T20

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椭圆的标准方程及其性质 全国卷Ⅰ·T5

人教A版高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8-1直

人教A版高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8-1直

高三一轮 第八章 平面解析几何

8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程

【教学目标】

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．

3.掌握确定直线位置的几何要素.

4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.

【重点难点】

1.教学重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握确定直线位置的几何要素及直线方程的几种形式；

2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；

【教学策略与方法】

自主学习、小组讨论法、师生互动法

【教学过程】

教学流程 教师活动 学生活动 设计意图

考纲传真:

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 3.掌握确定直线位置的几何要素.4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.

真题再现;

1.(2013·全国Ⅱ，12)已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )

A.(0，1) B.1－22，12

C.1－22，13 D.13，12

解析 (1)当直线y＝ax＋b与AB、BC相交时(如图①)，

。

学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。

通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢

由y＝ax＋b，x＋y＝1得yE＝a＋ba＋1，又易知xD＝－ba，∴|BD|＝1＋ba，由S△DBE＝12×a＋ba×a＋ba＋1＝12得b＝11＋1a＋1∈0，12.

图① 图②

(2)当直线y＝ax＋b与AC、BC相交时(如图②)，由S△FCG＝12(xG－xF)·|CM|＝12得b＝1－221－a2∈1－22，1(∵00恒成立，

高考数学一轮复习 8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程

高考数学一轮复习 8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[备考方向要明了]

考 什 么 怎 么 考

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．

3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系. 1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解．

2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江T3等．

3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：

(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主．

(2)主要是涉及直线方程和斜率.

[归纳·知识整合]

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①一个前提：直线l与x轴相交；

一个基准：取x轴作为基准；

两个方向：x轴正方向与直线l向上方向． 2 ②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.

③倾斜角的取值范围为[0，π)．

(2)直线的斜率

①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_α.

②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1.

[探究] 1.直线的倾角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？

提示：这种说法不正确．由k＝tan θθ≠π2知，当 θ∈0，π2时，θ越大，斜率越大且为正；当θ∈π2，π时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．

2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系

[探究] 2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？

提示：不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．

3．直线方程的几种形式

名称 条件 方程 适用范围

点斜式 斜率k与点(x0，y0) y－y0＝

高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第1节 直线的倾

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1 第八章 平面解析几何

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直线与圆锥曲线的位置关系 全国卷Ⅰ·T20

全国卷Ⅲ·T20 全国卷Ⅱ·T20 全国卷Ⅱ·T20 全国卷Ⅰ·T8

全国卷Ⅰ·T21 全国卷·T20 2 圆锥曲线的综合应用 全国卷Ⅱ·T21 全国卷Ⅱ·T20

[重点关注]

综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：

1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．

2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．