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固体物理补充习题（十四系用）1. 将半径为R 的刚性球分别排成简单立方（sc ）、体心立方（bcc ）和面心立方（fcc ）三种结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为r p 、r b 和r f 的小刚球，试分别求出r p /R 、r b /R 和r f /R 的最大值。
提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，要比较不同间隙位置的填充情况。
2. 格常数为a 的简单二维密排晶格的基矢可以表为 1a =G a i2122a a =−+G a i j (1)求出其倒格子基矢1G b 和2G b , 证明倒格子仍为二维密排格子；(2)求出其倒格子原胞的面积Ωb 。
3. 由N 个原子（或离子）所组成的晶体的体积V 可以写为V ＝Nv = N βr 3，其中v 为平均一个原子（或离子）所占的体积，r 为最近邻原子（或离子）间的距离，β是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的β值:(1) sc 结构 (2) fcc 结构 (3) bcc 结构(4) 金刚石结构 (5) NaCl 结构。
4. 设两原子间的相互作用能可表示为()m nu r r r αβ=−+ 其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；α、β、n 和m 均为大于零的常数。
证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n > m 。
5. 设晶体的总相互作用能可表示为()m n A B U r r r=−+ 其中，A 、B 、m 和n 均为大于零的常数，r 为最近邻原子间的距离。
根据平衡条件求：(1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r 0和晶体的相互作用能U 0；(2)设晶体的体积可表为V ＝N γr 3，其中N 为晶体的原子总数，γ为体积因子。
若平衡时 晶体的体积为V 0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K 为 009mn U K V = 。
6. 设有一由2N 个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间的势能具有如下的形式： 式中，λ和ρ为参数；R 为最近邻离子间距。
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。
第一章作业1：1.固体物理的研究对象有那些？答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。
2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。
非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。
3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。
有那些单质晶体分别属于以上三类。
答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。
常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。
面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。
常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。
六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。
常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。
4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。
答：NaCl：先将错误!未找到引用源。
两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；Cscl:：先将错误!未找到引用源。
组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
物理补充习题答案物理补充习题答案一、本题共12个小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
题号123456789101112答案ABBCDCDBDBBC二.本题共4个小题，每小题4分，共16分。
在每小题给出的四个选项中，有多个选项正确。
全选对的得4分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分。
题号13141516答案ACDBCABCAB三、本题共4个小题，每小题4分，每空2分，共16分。
17. ：1， 9：1 18.(x3-x1)/(2T)， mgx219.32， 40 20.增大， mg(H-h)四、本题共4个小题，共32分。
解答应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤，只写出最后答案的不能得分。
有数值计算的题，答案必须明确写出数值和单位。
21.(7分)(1)前2s内物体下落的高度h= gt2=20m……………………………………(1分)前2s内重力对物体所做的功W=mgh=200J………………………………………(2分)(2)第2s末物体的运动速度v=gt=20m/s ………………………………………(1分)第2s末重力对物体做功的`瞬时功率P=mgv=200W………………………………(3分)22.(8分)(1)地球同步卫星绕地球运行的角速度大小ω=2π/T……………………………(2分)(2)设地球质量为M，卫星质量为m，引力常量为G，地球同步通信卫星的轨道半径为r，则根据万有引力定律和牛顿第二定律有…………………(2分)对于质量为m0的物体放在地球表面上，根据万有引力定律有…(2分)联立上述两式可解得………………………………………………(2分)23.(8分)(1)因滑块恰能通过C点，即在C点滑块所受轨道的压力为零，其只受到重力的作用。
设滑块在C点的速度大小为vC，根据牛顿第二定律，对滑块在C 点有mg=mvC2/R…………………………………………………………………………(1分)解得vC= =2.0m/s…………………………………………………………………(1分)(2)设滑块在B点时的速度大小为vB，对于滑块从B点到C点的过程，根据机械能守恒定律有mvB2= mvC2+mg2R…………………………………………………………(1分) 滑块在B点受重力mg和轨道的支持力FN，根据牛顿第二定律有FN-mg=mvB2/R………………………………………………………………………(1分) 联立上述两式可解得FN=6mg=6.0N………………………………………………(1分)根据牛顿第三定律可知，滑块在B点时对轨道的压力大小FN′=6.0N……………(1分)(3)设滑块从A点滑至B点的过程中，克服摩擦阻力所做的功为Wf,对于此过程，根据动能定律有mgh-Wf= mvB2…………………………………………………………(1分)解得Wf=mgh- mvB2=0.50J…………………………………………………………(1分)24.(9分)(1)小球从A点运动到B点的过程中，机械能守恒，设在B点的速度为vB，根据机械能守恒定律有mgR= mvB2………………………………………………………………(1分)设小球在B点时所受轨道的支持力为FN，对小球在B点根据牛顿第二定律有FN-mg=m ……………………………………………………………………(1分) 联立可解得FN=3mg……………………………………………………………………(1分)(2)小球离开B点后做平抛运动。
固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编著）》使用2019年11月20日第1章晶体结构 (1)第2章晶体的结合 (12)第3章晶格振动和晶体的热学性质 (20)第4章晶体缺陷 (33)第5章金属电子论 (37)第1章 晶体结构1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于 多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：R f =22a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb =32a 那么，Rf Rb =23aa=631.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：晶面族（123）截a 1,a 2,a 3分别为1,2,3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于a 1的长度，OB 的长度等于a 2长度的1/2，OC 的长度等于a 3长度的1/3，所以只有A 点是格点。
若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 和C 都不是格点。
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴b a 、，夹角ϕ，如下表所示。
序号 晶系 基矢长度与夹角关系 布拉维晶胞类型 所属点群 1 斜方 任意2,πϕ≠b a 、简单斜方（图中1所示） 1，2 2 正方 2,πϕ==b a简单正方（图中2所示） 4，4mm 3 六角 32,πϕ==b a简单六角（图中3所示） 3，3m ，6，6mm 4长方2,πϕ=≠b a简单长方（图中4所示） 有心长方（图中5所示）1mm ，2mm1 简单斜方2 简单正方3 简单六角4 简单长方5 有心长方二维布拉维点阵1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
Word版完整版校核版第一章 晶体的结构及其对称性1.1石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问它是简单还是复式格子。
为什么？作出这一结构所对应的两维点阵和初基元胞。
解：石墨层中原子排成的六角网状结构是复式格子。
因为如图点A 和点B 的格点在晶格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移A →B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格子。
1.2在正交直角坐标系中，若矢量k l j l i l R l321++=，错误！未找到引用源。
i ，j ，k为单位向量。
错误！未找到引用源。
为整数。
问下列情况属于什么点阵？（a ）当i l为全奇或全偶时； （b ）当i l之和为偶数时。
解： 112233123l R l a l a l a l i l j l k=++=++ 错误！未找到引用源。
()...2,1,0,,321±±=l l l当l 为全奇或全偶时为面心立方结构点阵，当321l l l ++错误！未找到引用源。
之和为偶数时是面心立方结构1.3 在上题中若=++321l l l 错误！未找到引用源。
奇数位上有负离子，=++321l l l 错误！未找到引用源。
偶数位上有正离子，问这一离子晶体属于什么结构？解：是离子晶体，属于氯化钠结构。
1.4 （a ）分别证明，面心立方（fcc ）和体心立方（bcc ）点阵的惯用初基元胞三基矢间夹角相等，对fcc 为错误！未找到引用源。
，对bcc 为错误！未找到引用源。
（b ）在金刚石结构中，作任意原子与其四个最近邻原子的连线。
证明任意两条线之间夹角θ均为'1c o s109273a r c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'1c o s109273a r c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解:（1）对于面心立方()12a a j k =+ 错误！未找到引用源。
()22a a i k =+ ()32a a i j =+13222a a a a ===()1212121602a a COS a a a a ⋅⋅===()2323231602a a COS a a a a ⋅⋅===()1360COS a a ⋅=（2）对于体心立方()12a a i j k =-++ ()22a a i j k =-+ ()32a a i j k =+-12332a a a a ===()12'12121129273a a COS a a a a ⋅⋅==-=()'1313131129273a a COS a a a a ⋅⋅==-=()'2312927COS a a ⋅=（3）对于金刚石晶胞()134a i j k η=++()234a i j k η=--()2212122122314934a COS a ηηηηηη-⋅⋅===-错误！未找到引用源。
选修 3-3 第九章《固体、液体、物态变化》教师教课用书五增补习题A 组1．判断物质是晶体仍是非晶体，比较靠谱的方法是（）A ．从外形上判断B ．从导电性能来判断C ．从各向异性或各向同性来判断D ．从有无确立的熔点来判断2．以下各组物质所有为晶体的是（）A ．石英、雪花、玻璃B．食盐、橡胶、沥青C ．食盐、雪花、金刚石D．雪花、橡胶、石英3．对于液体表面的缩短趋向，正确的说法是：（）A．因为液体表面分子散布比内部密，因此有缩短趋向B．液体表面分子散布和内部同样，因此有缩短趋向C．因为液体表面分子遇到内部分子的作用，散布比内部稀，因此有缩短趋向D．液体表面分子遇到与其接触的气体分子的斥力作用，使液体表面有缩短趋向4．（多项选择）对于浸润和不浸润现象，以下说法中正确的选项是( )A．水与任何固体均是浸润的B．在内径小的容器里，假如液体能浸润器壁，液面成凸形C．假如附着层分子遇到固体分子的作使劲小于液体内部分子的作使劲，该液体与物体之间是不浸润的D．鸭的羽毛上有一层很薄的脂肪，使羽毛不被水浸润5．以下现象中哪个不是因为表面张力惹起的（）A 、布伞有孔，但不漏水B 、小船浮在水中C 、硬币浮在水面上D、玻璃细杆顶端被烧熔后变钝6．一个玻璃瓶中装有半瓶液体，拧紧瓶盖后，搁置一段时间，则（）A．不再有液体分子飞出液面B．不再有气体分子进入液面C．液体分子随和体分子停止运动，达到均衡D．在同样时间内从液体里飞出的分子数等于返回液体的分子数，液体和汽达到了动向均衡7．（多项选择）对于干湿泡湿度计，以下说法正确的选项是（）A．湿泡所显示的温度都高于干泡所显示的温度B．干泡所显示的温度都高于湿泡所显示的温度C．在同样温度下，干湿泡温度差异越大，说明该环境越干燥D．在同样温度下，干湿泡温度差异越大，说明该环境越湿润8．当空气水蒸气的压强是 1.38 ×103Pa，气温是 20°C 时，空气的相对湿度是（）（20°C水蒸气饱和汽压是 2.30 ×103Pa）A ． 1.38 ×103Pa B． 0.92 ×103Pa C． 60%D． 40%9．已知液态氧的沸点是－183℃，液态氮的沸点是—196℃，液态氦的沸点是—268℃，利用液态空气提取这些气体，随温度高升而先后分别出来的序次是（）A ．氧、氦、氮B．氧、氮、氦C．氦、氧、氮D．氦、氮、氧10．有一句民间说法叫做“水缸‘穿裙子’，老天要下雨”。
固体物理补充习题（十四系用）1. 将半径为R 的刚性球分别排成简单立方（sc ）、体心立方（bcc ）和面心立方（fcc ）三种结构，在这三种结构的间隙中分别填入半径为r p 、r b 和r f 的小刚球，试分别求出r p /R 、r b /R 和r f /R 的最大值。
提示：每一种晶体结构中都有多种不同的间隙位置，要比较不同间隙位置的填充情况。
2. 格常数为a 的简单二维密排晶格的基矢可以表为1a =a i2132a a =-+a i j(1)求出其倒格子基矢1b 和2b , 证明倒格子仍为二维密排格子；(2)求出其倒格子原胞的面积Ωb 。
3. 由N 个原子（或离子）所组成的晶体的体积V 可以写为V ＝Nv = N βr 3，其中v 为平均一个原子（或离子）所占的体积，r 为最近邻原子（或离子）间的距离，β是依赖于晶体结构的常数，试求下列各种晶体结构的β值:(1) sc 结构 (2) fcc 结构 (3) bcc 结构 (4) 金刚石结构 (5) NaCl 结构。
4. 设两原子间的相互作用能可表示为()mn u r r rαβ=-+ 其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；α、β、n 和m 均为大于零的常数。
证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足n > m 。
5. 设晶体的总相互作用能可表示为()m n A BU r r r=-+其中，A 、B 、m 和n 均为大于零的常数，r 为最近邻原子间的距离。
根据平衡条件求： (1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距r 0和晶体的相互作用能U 0；(2)设晶体的体积可表为V ＝N γr 3，其中N 为晶体的原子总数，γ为体积因子。
若平衡时 晶体的体积为V 0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量K 为9mn U K V =6. 设有一由2N 个离子组成的离子晶体，若只计入作近邻离子间的排斥作用，设两个离子间的势能具有如下的形式：式中，λ和ρ为参数；R 为最近邻离子间距。
若晶体的Madelung 常数为α，最近邻的离子数为Z ，求平衡时晶体总相互作用势能的表达式。
7. 由N 个原子组成的一维单原子晶体，格波方程为()cos n x A t naq ω=-，若其端点固定，(1)证明所形成的格波具有驻波性质，格波方程可表为()sin sin n x A naqt ω'=；（最近邻间） （最近邻以外）±e r2 λρee RR --/2 ()u r =(2)利用边界条件x N = 0，求q 的分布密度和波数的总数；(3)将所得结果与周期性边界条件所得的结果进行比较并讨论之。
8. 由2N 个（设N 很大）带电荷±q 的正负离子相间排列的一维晶体链，最近邻之间的排斥能为B/R n ，(1)试证在平衡时，晶体链的互作用能为()20002ln 2114Nq U R R n πε⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；(2)若晶体被压缩，使()001R R δ→-，设δ1，证明在晶体被压缩过程中，外力对每一个离子所做的功的主项平均为212c δ，其中，()2001ln 24n q c R πε-=。
9. 由N 个原子组成的一维单原子链，近邻原子间的相互作用能可表为()1264u r x x σσε⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，其中x 为近邻原子间距。
试求(1)平衡时的近邻原子间距x 0与相互作用能u 0；(2)若只考虑近邻原子间的相互作用，求原子链的弹性模量K 。
10. 若一维单原子链的格波方程取为()cos n x A t naq ω=-，证明：(1)格波的总能量为()22111E m 22n n n n ndx x x dt +⎛⎫=+β- ⎪⎝⎭∑∑，这里m 为原子质量，β为恢复力系数，求和指标n 遍及所有原子；(2)每个原子的时间平均总能量22112E m A ω= 。
11. 质量分别为M 和m （设M > m ）的两种原子以a 和13a 相间排成如图所示的一维晶体链，若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，设相邻原子间的恢复力系数同为β， (1)写出每种原子的动力学方程式； (2)写出格波方程式；(3)导出色散关系式。
12. 在坐标纸上画出二维正方晶格的前五个布里渊区图形。
13. 由N 个原子组成的一维(链长为L)、二维(面积为S)和三维(体积为V)简单晶格晶体，设格波的平均传播速度为c ，应用Debye 模型分别计算： (1)晶格振动的模式密度g(ω)； (2)截止频率ωm ； (3)Debye 温度ΘD ； (4)晶格热容C V ；(5)晶体的零点振动能E 0 (用N 和ωm 表示)。
14. 由N 个质量为m 的原子组成的一维单原子链，近邻原子间距为a ，相互作用的力常数为β，用格波模型求：(1)晶格振动的模式密度g(ω)； (2)晶体的零点能E 0；a 31M μn-1 νn-1 μn νn μn+1νn+1(3)晶格的热容量C V ； 15. 在高温下（k B T ωm ），试用Debye 模型求三维简单晶格频率从0到ωm 中总的平均声子数 (已知晶体体积为V ，格波的传播速度为c )。
16. 在高温下（T ΘD ），根据Debye 理论证明由N 个原子组成的d 维晶体的晶格热容为(1)一维: C V = Nk B 11362-⎛⎝⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ΘD T ; (2)二维: C V = 2Nk B 11242-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ΘD T ; (3)三维: C V = 3Nk B 11202-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ΘD T 。
17. Grüneisen 常数(1)证明频率为ωi 的声子模式的自由能为ln 22i B B k T sh k T ω⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦；(2)以∆表示体积相对改变，那么单位体积晶体的自由能可以表为()21E ,ln 222i B i B T B k T sh k T ω⎡⎤⎛⎫∆=∆+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑其中B 为体积弹性模量。
假设ωi (q)与体积的依赖关系为δω/ω = - γ∆，其中γ为Grüneisen常数。
如果将γ看作与模式无关，证明当122i i i B B cth k T ωγω⎛⎫∆= ⎪⎝⎭∑时，F 相对于∆为极小。
18. 已知三维晶体在q ≈ 0附近一支光学波的色散关系为 ()()2220x x y y z z q A q A q A q ωω=-++其中A x 、A y 、A z 为大于零的常数，试求这支光学波的模式密度g(ω)的表达式。
19. 在Debye 近似下证明T ＝0时，三维晶体中一个原子的均方位移为222338D R cωπρ=其中ρ为晶体的质量密度，c 为声速，ωD 为Debye 截止频率。
提示：一个格波的平均能量可参考补充题10(2)及T ＝0时一个格波的能量()12E ωω= 。
20. 对于Cu ，形成一个Schottky 空位所需的能量为1.2 eV ，形成一个间隙原子的能量为4 eV 。
在接近熔点时(1300 K)，试估算晶体中空位的浓度和间隙原子的浓度，并比较这两种浓度的数量级差。
21. 若晶体中原子的总数为N ，间隙位置的总数为N’，形成一个Frenkel 缺陷所需的能量为u f 。
在一定的温度下，平衡时晶体中有n f 个Frenkel 缺陷，试由∂∂F n f T⎛⎝ ⎫⎭⎪= 0 导出平衡时Frenkel 缺陷数目的表达式，设n f N ，N’ 。
22. 已知1100︒C 时，碳在γ-Fe 中的扩散系数D ＝6.7×10 –7 cm 2/s 。
若保持表面处碳的浓度不变，要得到d = 1 mm 厚的渗碳层（碳的浓度为表面处的一半），问在此温度下需要扩散多长时间？（erf (0.500) = 0.52050，erf (0.477) = 0.50005）23. 设有某种简单立方晶体，熔点为800︒C ，由熔点结晶后，晶粒大小为L ＝1 μm 的立方体，晶格常数a = 4⨯10 –10 m 。
求结晶后每个晶粒中的空位数，已知空位的形成能为1 eV 。
若晶体在高温形成的空位，降到室温后聚集到一个晶面上，形成一个空位园片，以致引起晶体内部的崩塌，结果将转变为何种形式的晶格缺陷？求出此时每个晶粒中的位错密度。
24. 证明在T ＝0 K 时，金属中自由电子气的状态方程为 PV 5/3＝ const . , 这里P 为电子气的压强，V 为金属的体积。
已知Cu 的电子密度n = 8.45×1022 cm –3，计算Cu 中电子气的压强为多少个大气压。
（提示：利用热力学第一定律）25. 证明T ＝0时自由电子气的体积弹性模量 109U K V=，这里U 为自由电子的总能量，V 为金属的体积。
若已知钾的电子密度为1.4×1022 cm –3，求钾的体积弹性模量。
26. 在长为L 的一维金属链中共有N 个自由电子，在T ＝0 K 时，求：(1)电子的能态密度N(E)； (2)晶体链的费米能级E F 0； (3)一个电子的平均能量E 。
27. 假设每个铜原子贡献一个自由电子，试计算室温（300 K ）下电子气体的热容量，并将所得结果与铜的总热容量24 J/mol ·K 的数值进行比较。
已知铜的原子量为63.5，密度为8.9 g/cm 3。
28. 证明电子密度为n 的二维自由电子气的化学势可由下式给出()μπT k T n m k T B B =⎛⎝⎫⎭⎪-⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥ln e x p 21 ,其中m 为电子质量。
29. 在低温下，金属钾摩尔热容量的实验结果可表为C = ( 2.08T+2.57T 3 ) ×10 –3 J/mol.K ,试求：(1)钾的Debye 温度ΘD ； (2)Fermi 温度T F ；(3)在Fermi 面上一摩尔金属的电子能态密度N(E F 0)。
30. 已知Cu 的电子密度为n = 8.45×1022 cm –3，Debye 温度ΘD = 315 K 。
(1)求当T 为何值时，电子热容等于晶格热容？(2)计算T ＝300 K 时一摩尔Cu 的电子顺磁磁化率χ 。
31. 利用Sommerfeld 展开式证明，在k B TE F 0时一个自由电子的平均动能近似为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=220125153F F T T E E π 。
32. 已知Na 为bcc 结构，晶格常数为a = 4.28×10 –10 m ，(1)用自由电子模型计算其Hall 系数R H ； (2)设有一长方形Na 晶片，长为 ，宽为5 mm ，厚为1 mm 。
若沿晶片长边方向通以100 mA 的电流，并将其置于0.1 T 的磁场中（磁场方向垂直于晶片），求Hall 电压V H 的大小。
