北京高考立体几何大题2011-2014

291. 给出下列命题，错误的命题是（ ）．A ．若直线a平面α ，且α ∥平面β ，则直线a 与平面β 的距离等于平面α 、β 间的距离 B ．若平面α ∥平面β ，点A ∈α ，则点A 到平面β 的距离等于平面α 、β 间的距离C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离解析：C ．以下按顺序说明，对A 中，在a 上任取一点P ，作PH ⊥β ，PH 为直线a 与平面β 的距离．∵ α ∥β ，PH ⊥α ，∴ PH 又为α 、β 间的距离．对于B ，作AH ⊥β ，AH 的长为点A 到β 的距离．又∵ α ∥β ，∴ AH ⊥α ，于是AH 的长是α 、β 两个平行平面间的距离．对于C ，设a ∥b ，a α ，b β ，过a 上任一点P 作PQ ⊥b 于Q ，则PQ 的长为a 、b 两平行直线间的距离．因为PQ 与α 、β 不一定垂直，所以PQ 的长一般不是α 、β 间的距离，一般地说，a 、b 间的距离不小于α 、β 间的距离．对于D ．设1AA 是异面直线a 、b 的公垂线段，A ∈a ，b A ∈'，a α ，b β ，过A和b 的平面与α 相交于b '，则b b //'，于是b A A '⊥'．∴ α⊥'A A ．同理β⊥'A A ．故A A '的长又是α 、β 两个平面间的距离（如图答9-30）．292. 设α 、β 是两个平面，l 和m 是两条直线，那么α ∥β 的一个充分条件是（ ）．A ．l α ，m α ，且l ∥β ，m ∥βB ．l α ，m β ，且l ∥mC ．l ⊥α ，m ⊥β ，且l ∥mD ．l ∥α ，m ∥β ，且l ∥m解析：C ．可参看图答9-31．图答9-31293. 平面α ∥平面β ，过平面α 、β 外一点P 引直线P AB 分别交α 、β 于A 、B 两点，P A =6，AB =2，引直线PCD 分别交α 、β 于C 、D 两点．已知BD =12，则AC 的长等于（ ）．A ．10B ．9C ．8D ．7解析：B ．如图答9-32，平面PBD ∩α =AC ，平面PBD ∩β =BD ，∵ α ∥β ，∴ AC ∥BD ．由平面几何知识知，BD AC PD PC PB PA ==．∵ P A =6，AB =2，BD =12，∴ 12266AC =+，∴ AC =9．294. 已知AC ，BD 是夹在两平行平面α 、β 间的线段，A ∈α ，B ∈α ，C ∈β ，D ∈β ，且AC =25cm ，BD =30cm ，AC 、BD 在平面β 内的射影的和为25cm ，则AC 、BD 在平面β 内的射影长分别为________，AC 与平面β 所成的角的正切值为________，BD 与平面β 所成的角的正切值为________．解析：设α 、β 间的距离为h ，AC 在平面β 内的射影x C A ='，BD 在平面β 内的射影y D B ='，根据已知条件可得②-①得22222530-=-x y ，即222530))((-=-+x y y x ，把③代入得y -x =11，∴ ⎩⎨⎧=-=+．，1125x y y x 解得⎩⎨⎧==．，187y x 即cm 7='C A ，cm 18='D B ．又h =24cm ，AC 与平面β 所成的角为A AC '∠，='∠A AC tan 724='C A h ，同理．341824tan =='='∠D B h D BD 295. 已知空间不共面的四个点，与此四个点距离都相等的平面有________个．解析：与不共面的四个点距离相等的平面分为两类，一类是四个点中一个点位于平面的一侧，另外三个点在平面的另一侧，这样的平面有4个；另一类是四个点中的两个点位于平面一侧，另外两个点在平面的另一侧，这样的平面有3个，故一共7个平面到这四个点距离相等． 296. 如图9-35，平面α ∥平面β ，△ABC 、△C B A '''的分别在α 、β 内，线段A A '、B B '、C C '相交于点O ，O 在α 、β 之间．若AB =2，AC =1，∠ABC =60°，OA ∶A O '=3∶2，则△C B A '''的面积为________．解析：图9-35∵ O B B A A ='' ，∴ A A '、B B '确定平面B A AB ''，平面B A AB ''∩α =AB ，平面B A B A AB ''=''β ，∵ α ∥β ，∴B A AB ''//，同理C B BC ''//，A C CA ''//．由于方向相反，∴ △ABC 与△C B A '''的三内角相等，∴ △ABC ∽△C B A '''．且32='=''OA A O AB B A ． ∵2360sin 1221=︒⨯⨯⨯=∆ABC S ，∴ ．39223322=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛='''∆C B A S 297. 如图9-37，两条异面直线AB 、CD 与三个平行平面α 、β 、γ 分别相交于A 、E 、B ，及C 、F 、D ，又AD 、BC 与平面β 的交点为H 、G ．求证：EHFG 为平行四边形．解析：．同理平面平面．HF AC EG ABC AC ABC EG AC ////// ⇒⎪⎭⎪⎬⎫==βαβα 是平行四边形．故同理．．EHFG FG EH HF EG HF AC FG AC ////////⇒⎭⎬⎫ 298. 如图9-38，已知平面α ∥平面β ，A 、C ∈α ，B 、D ∈β ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：EF ∥α ，EF ∥β ．解析：当AB 、CD 共面时，平面ABCD ∩α =AC ，平面ABCD ∩β =BD ．∵ α ∥β ，∴ AC∥BD ．∵ E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴ EF ∥AC ．∵ AC α ，EF α ，∴ EF ∥α ，同理EF ∥β ．当AB 、CD 异面时，∵ CD E ∉，∴ 可在平面ECD 内过点E 作CD D C //''，与α ，β 分别交于C '，D '．平面C A D B C A '=''α ，平面D B D B C A '=''β ，∵ α ∥β ，∴ D B C A ''//．∵ E 是AB 中点，∴ E 也是D C ''的中点．平面C C D D C C '=''α ，平面D D D D C C '=''β ，∵ α ∥β ，∴ D D C C ''//，∵ E 、F分别为D C ''、CD 中点，∴ C C EF '//，D D EF '//．∵ C C 'α ，EF α ，∴ EF∥α ，同理EF ∥β ．299. 已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 交SC 于F(1)求证：AF ⊥SC(2)若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD解析： 如图，欲证AF ⊥SC ，只需证SC 垂直于AF 所在平面，即SC ⊥平面AEF ，由已知，欲证SC ⊥平面AEF ，只需证AE 垂直于SC 所在平面，即AE ⊥平面ABC ，再由已知只需证AE ⊥BC ，而要证AE ⊥BC ，只需证BC ⊥平面SAB ，而这可由已知得证证明 (1)∵SA ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ，∴SA ⊥BC∵矩形ABCD ，∴AB ⊥BC∴BC ⊥平面SAB∴BC⊥AE又SB⊥AE ∴AE⊥平面SBC∴SC⊥平面AEF∴AF⊥SC(2)∵SA⊥平面AC ∴SA⊥DC，又AD⊥DC∴DC⊥平面SAD ∴DC⊥AG又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF∴SC⊥AG ∴AG⊥平面SDC ∴AG⊥SD300.已知四面体A—BCD，AO1⊥平面BCD，且O1为ΔBCD的垂心.BO2⊥平面ACD，求证：O2是ΔACD的垂心.证明如图所示，连结BO1，AO2，∵AO1⊥平面BCD，O1为ΔBCD的垂心，∴BO1⊥CD，由三垂线定理得AB⊥CD.又BO2⊥平面ACD，由三垂线逆定理得AO2⊥CD.同理连结DO1，CO2可证BC⊥AD，即CO2⊥AD.∴O2是ΔACD垂心.。

2011 年高考试题数学（理科）选修系列：几何证明选讲一、选择题 :1．(2011 年高考北京卷理科5) 如图， AD ， AE ， BC 分别与圆 O 切于点 D ， E ， F ，延伸 AF 与圆 O 交于另一点 G 。

给出以下三个结论：① AD+AE=AB+BC+CA ；② AF · AG=AD · AE③ △ AFB ～△ ADG 此中正确结论的序是A ． ①②B ． ②③C ． ①③D ． ①②③【答案】 A【分析】由切线长定理得 AD=AE,BD=BF,CE=CF,所以 AB+BC+CA=AB+BD+CE=AD+AE ，故 ① 正确；由切割线定理知， AD 2 = AF AG ·，故 ② 正确，所以选 A.二、填空题 :1. (2011 年高考天津卷理科12) 如图 ,已知圆中两条弦 AB 与 CD 订交于点 F,E 是 AB 延伸线上一点 ,且 DF=CF= 2 ,AF:FB:BE=4:2:1若. CE 与圆相切 ,则线段 CE 的长为.【答案】72【分析】设 AF=4x,BF==2x,BE=x,则由订交弦定理得 : DF 2 AF FB ,即 8x 22 , 即 x 21,由切割线定理得:CE2EB EA 7x 27,所以447CE.22. (2011 年高考湖南卷理科 11) 如图 2，A,E 是半圆周上的两个三平分点，直径BC=4， AD ⊥ BC ，垂足为 D ，BE 与 AD 订交于点 F ，则的 AF 长为.2 3答案：3分析：如图 2 中，连结EC， AB,OB,由 A,E 是半圆周上的两个三平分点可知：∠EBC=30° , 且⊿ABO 是正三角形，所以EC=2,BE=2 323 2 3 , BD=1,且 AF=BF=3. 故填3评析：本小题主要观察平面几何中直线与圆的地点关系问题，波及与圆相关的定理的运用.3.(2011 年高考广东卷理科 15) （几何证明选讲选做题）如图 4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于 A, B 。

三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第十章 立体几何一、选择题1. 【2014高考北京理第8题】如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z 大于零)，则四面体P —EFQ 的体积( )A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关 【答案】D考点：点到面的距离;锥体的体积.【名师点睛】本题考查空间下几何体中相应点的坐标以及四面体的体积，点到面的距离，本题属于基础题，要准确确定三角形的底和高，利用锥体的体积求出多面体的体积.2.【2014高考北京理第7题】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D A B C 在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ， 故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.【名师点睛】本题考查空间直角坐标系下几何体的位置和相应点的坐标以及正投影的概念，正投影的位置、形状和面积，本题属于基础题，要准确写出点的坐标，利用坐标求出三角形的面积.3. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A 【解析】试题分析： 该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ． 考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.4. 【2014高考广东卷.理.7】若空间中四条直线两两不同的直线1l .2l .3l .4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14//l lC .1l .4l 既不平行也不垂直D .1l .4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，D 1C 1B 1A 1DCBA14//l l ；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此1l .4l 的位置关系不确定，故选D .【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于中等题．解题时一定要注意选“正确”还是选“错误”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．5.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为2122482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为12328S S S S π=++=，故选C.考点： 三视图，空间几何体的体积. 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:5.【 2013湖南7】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A ．1BC ．2D ．2【答案】 C【解析】试题分析： 由题知，正方体的棱长为1，水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为. 【考点定位】三视图【名师点睛】本题主要考查了简单空间图形的三视图，解决问题的关键是正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．6.【 2014湖南7】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱【名师点睛】解决有关三视图的题目，主要是根据三视图首先得到几何体的空间结构图形，然后运用有关立体几何的知识进行发现计算即可，问题在于如何正确的判定几何体的空间结构，主要是根据“长对正，高平齐，宽相等”进行判断.7.【2015高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A ）23π （B ）43π （C ）53π （D ）2π 【答案】C【解析】直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.8. 【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16 B.13 C.12D.1 【答案】A 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.9.【2014高考陕西版理第5题】已知底面边长为1在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】D 【解析】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故22R ==，即得1R =，所以该球的体积224441333V R πππ===，故选D .考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.【名师点晴】本题主要考查的是正四棱柱的几何特征；球的体积，属于容易题．解题时一定要注意正四棱柱的几何特征（实际上是一个特殊的长方体），求出球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式直接运算即可10. 【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积．【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的表面积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可．11. 【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．基本性质及推论，线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．12. 【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．1B ．1C ．61D ．51【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A BC D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．A1【考点定位】三视图．【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算，要求有一定的空间想象能力，关键是能从三视图确定截面，进而求体积比，属于中档题．13. 【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13【答案】C【考点定位】1.三视图；2.简单几何体的体积.【名师点睛】本题考查了三视图，直观图，组合体的体积，属于中档题，注意由三视图还原几何体的解题的关键，注意计算的准确性．14. 【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题．15. 【2014新课标，理11】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.D.【答案】C【解析】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A （1，0，0），1(0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-uuu r ，1(,0,1)2AN =-uuu r ，所以cos ,||||BM AN BM AN BM AN ⋅==⋅uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuur 3=C. 【考点定位】异面直线所成的角.【名师点睛】本题考查了空间几何体棱柱的性质，异面直线所成角，空间直角坐标，空间向量的数量积，本题属于中档题，要求学生根据根据已知建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的知识求异面直线所成角的余弦值，注意由已知准确写出所需点的坐标.16. 【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+ 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知,上面是半径为2的半球,体积为311423V π=⨯⨯=⎝⎭下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C.考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.17. 【2014四川，理8】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则s i n α的取值范围是（ ）A ．3B ．[3C ．[33D ．[3【答案】B【考点定位】空间直线与平面所成的角.【名师点睛】通过证明直线与平面垂直，构造得到直线与平面所成角的平面角，利用解三角形的知识计算得到其正弦值.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力以及空间想象能力，考查学生空间问题转化为平面问题的转化与化归能力.18【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则（ ） A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂ ，,n n l β⊥∴⊥ ．故选C ． 考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．19. 【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

【新课标版】【三年真题重温】 【2011⋅新课标全国】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．【解析】(Ⅰ) ∵DAB ∠=060,AB =2AD ,由余弦定理得BD ,∴22BD AD +=2AB , ∴BD ⊥AD ．又∵PD ⊥面ABCD ， ∴BD ⊥PD ． ∴BD ⊥平面PAD ， ∴PA BD ⊥．cos ,〈〉==m n ．故二面角A PB C --的余弦值为 ．【2012 新课标全国】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小。

解析：（1）在Rt DAC ∆中，AD AC =得：45ADC ︒∠=设AC a =，则12C O =，111230CD C O C DO ︒=⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【2013⋅新课标全国】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。

【答案】（1）取AB 的中点O ，连接1OC O 、1OA O 、1A B ，因为CA=CB ，所以OC AB ，由于AB=A A 1，∠BA【命题意图猜想】纵观2011年和2012年2013年的高考题对本热点的考查，可以发现均以规则几何体为背景，这样建立空间直角坐标系较为容易，2011年以四棱锥为几何背景考查线线垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解.突出考查空间想象能力和计算能力..在2012年主要以直三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解.突出考查空间想象能力和计算能力. 2013年以三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定、线面垂直、面面垂直的性质以及向量法求线面角，考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力. 从近几年的高考试题来看，线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．而直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定高考大题没涉及，而在小题中考查，从高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．预测2014年高考，可能以锥体为几何背景，第一问以线面平行，面面平行为主要考查点，第二问可能给出一个角，求点的位置或设置一个探索性命题，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力．【高考信息速递】【最新考纲解读】1．点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义．了解可以作为推理依据的公理和定理．(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．2．空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．(4)理解直线的方向向量与平面的法向量定义．(5)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(6)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用．【方法技巧提炼】1. 线线平行与垂直的证明证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.2.线面平行与垂直的证明方法线面平行与垂直位置关系的确定，也是高考考查的热点，在小题中考查关系的确定，在解答题考查证明细节.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直.3.面面平行与垂直的证明（1）面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.（2）面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.4.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.5. 如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径。