数值计算方法第一章(2)2010

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0 . 4 9 0 . 4 0 0 8 . 0 0 4 1 0 . 0 2 1 3 1 2 1 9 1 5 0 7 1 1 ( 2 1 ) 0
0 . 484
2 4 2 4
我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为
x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005
即可知近似值x*并不具有两位有效数字。
例４ 对于绝对值小的 x，可利用泰勒级数
ex–1= x+x2/2+x3/6+…
取前n项来计算。
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（二）要防止大数“吃掉“小数，注意保护重要数据
在数值运算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算 机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的
现 象，影响计算结果的可靠性。
5 .编制源程序并调试
6 .做出算法的误差分析
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从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂，典型的有： 1、数据点的插值 2 、曲线拟和 3、复杂函数的微积分运算 4、非线性方程f(x)=0的根的求解
5、当n很大时线性方程组AX=B的求解 6、常微分方程的求解
minf (x) xX
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参考书籍的几种名称： 1、数值分析 2、数值计算原理 3、计算方法 4、算法设计 5、计算机数值计算方法与程序设计
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数值计算中的误差
1、误差的种类和来源
① 模型误差
② 观测误差
③ 截断误差
④ 舍入误差
真
2、误差的有关概念：
值
近似值
① 绝对误差： (x)xx
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数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。

∗
b−a [ f (a) + f (b)] 2
e = x − x∗
为近似值 x 的绝对误差，简称误差。
∗
（2.1）
一般情况下，我们只能知道近似值 x ，而不只准确值 x ，但可以根据测量工具或计算 的情况，对绝对误差的大小范围作出估计，即可以给出一个正数ε，使得
∗
e = x − x∗ ≤ ε
∗
(2.2)
1 1 11 ⎧ ⎪ x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 6 ⎪ 1 1 13 ⎪1 ⎨ x1 + x 2 + x3 = 3 4 12 ⎪2 1 1 1 ⎪ x + x + x = 47 1 2 3 ⎪ 4 5 60 ⎩3
求解时，先将系数舍入成两位有效数字的数，变为
⎧ x1 + 0.5 x 2 + 0.33 x3 = 1.8 ⎪ ⎨ 0.50 x1 + 0.33 x 2 + 0.25 x3 = 1.1 ⎪0.33 x + 0.25 x + 0.20 x = 0.78 1 2 3 ⎩
按四舍五入取四位小数，可得 2 = 1.4142 ，前面已经提到，该数的绝对误差不超过末位 数字的半个单位，即
∗
2 − 1.4142 ≤
定义 2.1 设 x 的近似值
1 *10 − 4 = 0.00005 2
(a1 ≠ 0)
（2.6）
x ∗ = ±0.a1 a 2 L a n * 10 m
如果
x − x∗ ≤
§2
误差来源与误差的基本概念
2.1 误差的来源及分类 在数值计算中，误差是不可避免的。引起误差的因素很多，主要的原因有以下几种： 1.模型误差 解决实际问题的科学计算 ，首先要建立数学模型，即将实际问题经过 抽象合理简化，略去一些次要因素。因而它只是对所提出的问题的一种近似描述，包含有误 差，这种误差称为模型误差。 2.观察误差 在数学模型中总含有一些参数，如温度、长度、电压等，它们的值往往

1 N1(xn) Nn(xn)cn yn
(x)((cn(xxn1)cn1)(xxn1))(xx0)c0
k阶差商
f[x 0 , ,x k] f[x 1 , ,x k 1 ,x x k k ] x f0 [x 0 ,x 1 ,x k 1 ]
差商表
0 1 2 … n
0
1
x0
x1
y0
y1
y1 y0 x1 x0
bi
( xi
x0 ) (xi
yi xi1 )( xi
xi1 ) ( xi
xn )
(x)
(x
x0 ) (x
xn )
x
b0 x0
x
bn xn
Newton 插值
(x)c0c1N1(x) cnNn(x),
Ni(x)(xx0)x(x1) (xxi1)
1
c0 y0
1 N1(x1)
c1
y1
多项式插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi), 构造n次多 项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, i=0,1,…,n.
单项式 插值
(x)a0a1xanxn，或
(x)a0
a1
x
h
an(xh)n
1 x0 x0n a0 y0
1 1
x1
xn
x1n
xnn
a1
an
y1
数值计算方法与算法
第0章 绪论
• 什么是数值计算方法？
数学建模
数值计算
实际问题
数学问题
近似解
• 什么是“好的”数值计算方法？ ✓ 误差小 ─ 误差分析 ✓ 耗时少 ─ 复杂度分析 ✓ 抗干扰 ─ 稳定性分析