【小初高学习】2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.1第2课时集合的表示学业分层测评新人教A

课时分层作业(四) 并集、交集及其应用(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B ＝( )A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4} A [∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4}． 故选A.]2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 B [∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，∴A ∩B ＝{2,4}． ∴A ∩B 中元素的个数为2.故选B.]3．已知集合A ＝{x |x ＋1<0}，B ＝{x |x －3<0}，那么集合A ∪B 等于( )A ．{x |－1≤x <3}B ．{x |x <3}C ．{x |x <－1}D ．{x |x >3} B [A ＝{x |x ＋1<0}＝{x |x <－1}，B ＝{x |x －3<0}＝{x |x <3}．∴A ∪B ＝{x |x <3}，选B.]4．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且A ∩B ＝{(2,5)}，则( )A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝2，b ＝3C ．a ＝－3，b ＝－2D ．a ＝－2，b ＝－3 B [∵A ∩B ＝{(2,5)}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝2a ＋1，5＝2＋b ，解得a ＝2，b ＝3，故选B.] 5．若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( )【导学号：37102057】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验，当x ＝2或－2时满足题意，故选B.]二、填空题6．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝________.{1,3} [A ∩B ＝{1,2,3}∩{y |y ＝2x －1，x ∈A }＝{1,2,3}∩{1,3,5}＝{1,3}．]7．若集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________.【导学号：37102058】R {x |－1<x ≤1，或4≤x <5} [借助数轴可知：A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |－1<x ≤1，或4≤x <5}．]8．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．12 [设所求人数为x ，则x ＋10＝30－8⇒x ＝12.]三、解答题9．设A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求A ∪B . 【导学号：37102059】[解] 因为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，所以12∈A ，12∈B . 将x ＝12分别代入方程2x 2－px ＋q ＝0及6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0中，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12－12p ＋q ＝0，32＋12p ＋1＋5＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝－7，q ＝－4.所以A ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，B ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13.所以A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－4，12，13. 10．已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x －m <0}．(1)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．[解] (1)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，又A ∩B ＝∅，∴m ≤－2.(2)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，∴m ≥4.[冲A 挑战练]1．已知集合M ＝{0,1}，则满足M ∪N ＝{0,1,2}的集合N 的个数是( )【导学号：37102060】A ．2B ．3C ．4D ．8C [依题意，可知满足M ∪N ＝{0,1,2}的集合N 有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，共4个．故选C.]2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则符合条件的实数m 的值组成的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，0，12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－12 C [当m ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝B ；当m ≠0时，x ＝1m ，要使A ∩B ＝B ，则1m ＝1或1m ＝2，即m ＝1或m ＝12. 点评：当m ＝0时，B 为空集，此时也满足A ∩B ＝B ，解题时易漏掉此种情况．]3．A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的取值是________.【导学号：37102061】1 [∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B .又a 2＋4≠3，故a ＋2＝3，即a ＝1，此时B ＝{3,5}，符合题意．]4．已知M ＝{x |y ＝x 2－1}，N ＝{y |y ＝x 2－1}，那么M ∩N ＝________.{y |y ≥－1} [M ＝{x |y ＝x 2－1}＝R ，N ＝{y |y ＝x 2－1}＝{y |y ≥－1}，故M ∩N ＝{y |y ≥－1}．]5．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－4x ＋a ＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.【导学号：37102062】[解] A ＝{1,2}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .(1)B ＝∅时，方程x 2－4x ＋a ＝0无实数根．所以Δ＝16－4a <0，所以a >4.(2)B ≠∅时，当Δ＝0时，a ＝4，B ＝{2}⊆A 满足条件．当Δ＝16－4a >0时，1,2是方程x 2－4x ＋a ＝0的根，此时a 无解．所以a ＝4.综上可得，a 的取值范围是{a |a ≥4}．。

解：∵B⊆A， ∴B 是 A 的子集，如下图． 要使 B⊆A，则 a≥4.
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1．不能把“A⊆B”“A B”简单地理解成“A是B中部分元 素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素 ；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两 种情况都有A⊆B.
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解析：如图：
，
故选 C.
答案：C
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A＝B
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单击自然此如处果编集辑合母A⊆版B，文但本存样在元式素 x__∈___B，且 x___∉__A，
语言 那么称集合 A 是集合 B 的真子集
符号 语言
A B(或 B A)
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单击此处编集辑合相母等版关文系本的样应用式
思路点拨： A＝B 集元 合相 素――的 等→的特性 概念 列方程组
解：方法一：由 A＝B，有
a2＝1， ab＝b，
或aa2b＝＝b1，.
解方程组得
a＝1， b∈R，
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第一章 集合与函数概念
1.1 集 合 1.1.2 集合间的基本关系
学习目标 单击此处编辑母版文本样式
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自然 如果集合 A 中__任__何__一__个__元素都是集合 B 中的元素，就 语言 说这两个集合有_包__含__关系，称集合 A 为集合 B 的子集 符号
A⊆B(或 B⊇A) 语言 图形 语言
图形 语言
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∅ 子集
A⊆A
A⊆C AC
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1.2.2 第1课时函数的表示法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图1­2­1的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )图1­2­1A．3 B．2C．1 D．0【解析】由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.【答案】 B2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )【解析】距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.【答案】 C3．函数y ＝－1x ＋1的大致图象是( )【解析】 函数y ＝－1x ＋1的图象是由函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位得到，而函数y ＝－1x的图象在第二、第四象限且是单调上升的两支图象，考查所给的四个图象只有B符合，选B.【答案】 B4．已知f (x )是一次函数，且f (x －1)＝3x －5，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x －2 C ．f (x )＝2x ＋3D ．f (x )＝2x －3【解析】 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，可得f (x －1)＝k (x －1)＋b＝kx －k ＋b .∵f (x －1)＝3x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，－k ＋b ＝－5，解之得k ＝3且b ＝－2.∴f (x )的解析式为f (x )＝3x －2，故选B. 【答案】 B5．已知f (x )＝2x ＋3，g(x )＝4x －5，则使得f (h(x ))＝g(x )成立的h(x )＝( ) A ．2x ＋3 B ．2x －11 C ．2x －4D ．4x －5【解析】 由f (x )＝2x ＋3，得f (h (x ))＝2h (x )＋3，则f (h (x ))＝g (x )可化为2h (x )＋3＝4x －5，解得h (x )＝2x －4，故选C. 【答案】 C 二、填空题6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________. 【解析】 由2x ＋1＝a ，得x ＝a －12，∴3×a －12＋2＝4，∴a ＝73.【答案】 737．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图1­2­2的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________(kg)．图1­2­2【解析】 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570，即y ＝30x －570，若要免费，则y ≤0，∴x ≤19.【答案】 198．设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝x ，则f (x )＝________.【解析】 令t ＝1x －1，解得x ＝1t ＋1，代入得f (t )＝1t ＋1，又因为x >0，所以t >－1，故f (x )的解析式为f (x )＝1x ＋1(x >－1)． 【答案】 1x ＋1(x >－1) 三、解答题9．求下列函数的解析式：(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x)＝x －2x －1，求f (x )．【解】 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6，∴f (x )＝x 2－5x ＋6，(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2，(x ≥1)．10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， (1)求f (x )的表达式； (2)求f (2)的值.【解】 (1)由f (0)＝0，得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx ，又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， ∴ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)得，f (2)＝12×2＋12×2＝1＋22.[能力提升]1．已知函数f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (12)＝( ) A ．p ＋q B ．2p ＋q C ．p ＋2qD ．p 2＋q【解析】 由f (ab )＝f (a )＋f (b )，∴f (12)＝f (4)＋f (3)＝2f (2)＋f (3)＝2p ＋q . 【答案】 B2．若x ∈R ，f (x )是y ＝2－x 2，y ＝x 这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值为( ) A ．2 B ．1 C ．－1D ．无最大值【解析】 在同一坐标系中画出函数y ＝2－x 2，y ＝x 的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数f (x )的图象． ∴当x ＝1时，f (x )m ax ＝1， 故选B. 【答案】 B3．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，则f (x )的解析式为________．【解析】 ∵f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x ，①∴将x 换成1x，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x.②由①②消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝－23x －x 3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)． 【答案】 f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)4．如图1­2­3，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)图1­2­3(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h(m )的函数； (2)确定函数的定义域和值域．【解】 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h)m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋＋2＝h 2＋2h(m 2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A <6.84.故值域为{A |0<A <6.84}．。

第1课时并集、交集及其应用学习目标：1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)[自主预习·探新知]1．并集思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？[提示](1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．(2)不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．2．交集3．并集与交集的运算性质[基础自测]1．思考辨析(1)两个集合的并集中元素的个数一定多于这两个集合中元素个数之和．( )(2){1,2,3,4}∪{0,2,3}＝{1,2,3,4,0,2,3}．( )(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________，M∩N＝________.{－1,0,1,2} {0,1}[∵M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，∴M∩N＝{0,1}，M∪N＝{－1,0,1,2}．] 3．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________.【导学号：37102049】{x|x>－3}[如图：故A∪B＝{x|x>－3}．][合作探究·攻重难]并集概念及应用(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )【导学号：37102050】A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝( )A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N ＝{－2,0,2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解[跟踪训练]1．设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，若S∪T＝R，则实数a应满足( )A．－3<a<－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a >－1D ．a <－3或a >－1A [在数轴上表示集合S ，T 如图所示．因为S ∪T ＝R ，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1a ＋8>5，解得－3<a <－1.故选A.]交集概念及其应用(1)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于( )【导学号：37102051】A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |0≤x ≤4}D ．{x |1≤x ≤4} (2)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(1)A (2)D [(1)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}．如图，故A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}． (2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2， ∴8∈A,14∈A ，∴A ∩B ＝{8,14}，故选D.]定义法，数形结合法但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点[跟踪训练]2．（2018·全国卷Ⅰ）已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}A [由题意知A ∩B ＝{0,2}．]3．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )【导学号：37102052】A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－1D [因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a >－1.]集合交、并运算的性质及综合应用 [探究问题]1．设A 、B 是两个集合，若已知A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，则集合A 与B 具有什么关系？ 提示：A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .2．若A ∩B ＝A ∪B ，则集合A ，B 间存在怎样的关系？ 提示：若A ∩B ＝A ∪B ，则集合A ＝B .已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．思路探究：A ∪B ＝A ――――→等价转化B ⊆A ――――――→分B ＝∅和B ≠∅建立k 的不等关系――→求交集得k 的范围 [解] (1)当B ＝∅，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A . (2)当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ， 只需⎩⎪⎨⎪⎧－3<k ＋14≥2k －1k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合(1)(2)可知k ≤52.[当堂达标·固双基]1．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图1­1­2中阴影部分所表示的集合是( )图1­1­2A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}D[由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P ＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝( )【导学号：37102053】A．{1} B．{2}C．{－1,2} D．{1,2,3}B[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}∴A∩B＝{2}．]3．已知集合A＝{1,3}，B＝{1,2，m}，若A∩B＝{1,3}，则A∪B＝( )A．{1,2} B．{1,3}C．{1,2,3} D．{2,3}C[∵A∩B＝{1,3}，∴3∈B，∴m＝3，∴B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}．]4．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________.【导学号：37102054】6[用数轴表示集合A、B如图所示．由A∩B＝{x|5≤x≤6}，得m＝6.]5．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}，(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.[解](1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．。