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在新教材下函数的放缩能力的提升

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新教材下函数的放缩能力的提升与导数结合的函数放缩题是近几年各种大型考试的热点，一诊、二诊、三诊以及高考的压轴题都常常选这一背景进行命题。

如何构造函数是这一类题的精髓所在！在新教材体系下，这一种能力在学生中如何有效突破，如何有效提升成为了一个很关键的课题。

现在就我对教学中的一些做法与想法与大家共同探讨一下，让大家看看我其中的得与失，力争让每一个到会的朋友都能有一定的收获。

一、“抓手一”从我个人的经验看，在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是ln x ，如何摆脱ln x ，把对数背景的数列转变为普通数列，成了突破函数放缩能力的第一“抓手”，关于不等式：1ln 1x x x x-≤≤-（1x ≥）成为了这一类题的最好素材。

（为了让学生加强记忆，有所沉淀，我把上一不等式常常戏称为“定海神针”，以达到强化记忆的目的。

）所以刚开始时，我就集中选练这一方面的很多小题，如： 例1．求证21+31+41+…+11+n <+<)1ln(n 1+21+31+41+…+n1例2．已知n N *∈，求证：111111ln 2122121n n nnn n ++⋅⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅⋅++++-例3．证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．例4．求证:212131211n n>-++++例5．已知,4n N n ∈≥.求证：11117123210n n n n++++<+++ .例6．求证:213121111<++++++<n n n例7．数列{}n a 中，1n n a n =+，求证()12ln 2ln 2n a a a n n +++<+-+ 。

例8．求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211(例9．（2012一诊22）已知函数21()ln22f x x m m x m =-+-，0m <。

（1）当1m =-时，求函数()3x y f x =-的单调区间；（2）已知2e m ≤-，（其中e 是自然对数的底数），若存在实数011,22e x -⎛⎤∈-⎥⎝⎦，使0()1f x e >+成立，证明210m e ++<；（3）证明：2183(1)(2)ln32nk k n n k=-++>∑（n N *∈）二、“抓手二”这是我让学生过的第一道关，这一道关其实学生很好就能把握的。

但在学习的过程中，又常常会遇到很多不能用1ln 1x x x x -≤≤-（1x ≥）放缩成功的，比如说：以下几例中所渗透出来的不等式，就比1ln 1x x x x -≤≤-（1x ≥）要求还要高一些，这是我教学中的第二个“抓手” 11ln ()12x x x x≤-≤- （1x ≥），定海神针的内涵也被拓宽成了下列不等式111ln ()12x x x x xx-≤≤-≤-（1x ≥）。

例10．（2010四川理科22题（2））对任意正整数证明不等式2(1)2ln 02n n n n+--+≤。

例11．证明：1111ln(1)(1)232(1)n n n nn ++++>++≥+ 。

例12．证明：11111ln(21)()3521221n n n N n n +++++>++∈-+三、“抓手三”在教学过程中，我还遇到了这样一个题： 例13．（全国二理22，有改动） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2x f x x x =+-+，证明：当x ＞0时，()f x ＞0；（Ⅱ）证明： 199()10＜21e .在做完这一个题以后，我给一ln x 的逼近函数，12(1)ln 11x x x x xx --≤≤≤-+，就把上面这一个题反复研究，学生对定海神针的内涵又进了一层。

四、“抓手四”在教学过程中，要善于抓住考题中的“乌龙”， 从而提升破题速度。

而这一类题通过1l n 1x x x x-≤≤-（1x ≥）的图象可以看得一清二楚。

常见的真数远远大于1的函数放缩，基本上都是“乌龙”题。

例15．证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例16．求证：<+)1(2n n n ln 4ln 3ln 2ln ∙⋯⋯∙∙∙)2(≥n例17．求证nnn 1ln 44ln 33ln 22ln <∙⋯⋯∙∙∙)2(≥n例18．2222222ln 2ln 3ln 21(,2).232(1)n n n n n nn --+++<∈≥+N例19．求证:)2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n nn ααααααα例20．求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n nn n∈+-<++++.例21．求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n例22.（二诊22题）已知函数a xa x g x x f (.23)(,ln )(-==为实常数）．(I)当1=a 时，求函数)()()(x g x f x -=ϕ在),4[+∞∈x 上的最小值； (Ⅱ)若方程)()(2x g e x f =（其中 71828.2=e ）在区间]1,21[上有解，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)证明：*,12)]1()()12(2[601451N n n k f k f k f n nk ∈+<+--+<+∑=（参考数据：6931.02ln ≈）五、“抓手五”既然在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是ln x ，那么对e 的理解我认为也是一种必需的知识储备，1lim (1)n n e n→+∞+=，做为数学分析中的一种最基本最重要的极限，在导数的公式推导中，我也给学生讲了一下。

但最重要的是：我让学生通过这一个结论的记忆，知道一些常见的不等式：如（1）n N *∈时，1(1)n e n+< ；（2）数列1(1)n n a n=+为一个单调递增数列；（3）1(1)2nn +<（4）1(1)3nn +<（5）22(1)n e n+<有一个晚自习时，我曾经让班上的学生做了两个题，其中的一个题是高三的三诊模拟题， 例23.（四中三诊模拟22题）已知数列}{n a 满足).2(22,111≥-+==-n n a a a n n （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）若数列}{n b 中24b =，前n 项和为n S ，且4()(*).n n S nbn a n n N -=+∈证明：1215(1).3nb nb +<很多学生在做最后一个不等式证明时，用15(1)23nn +<<，很快得证。

在教学过程中，还曾经遇到过这样两个题，都是学生问我的，我觉得有一类用贝努里不等式能处理的问题，用定海神针来做，也行。

如： 例24．求证：23423433334(,2)313131313nnn N n *⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<∈≥----例25．求证：n N *∈时，21)411()411)(411(2>---n六、“抓手六”我个人习惯在讲一种难题时，首先要尽可能多地给学生以铺垫，让学生在成功的体验中学习，更有趣一些。

让学生能自主地找到突破口，是最重要的。

例26．已知：数列{}n a 满足：11a =，11122n n n n a a ++=+，n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：1112n n a -≤≤； （3）设224n n nT a n n =-+，且21ln(1)2n n n K T T =++。

证明：22n n nT T K <+。

例27． 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n nb a n >⋅.例28．已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2na e <.例29．(1)证明: ()ln 1(0)x x x +<>(2)数列{}n a 中. 11a =,且()11211122n n n a a n n --⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭; ①证明: ()724n a n ≥≥②()21n a en <≥七、“抓手七”当然学生既使学会了这些，也只是具备了一定的能力而已，在未来的高三提升中，还需要更多的磨砺与积累。

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利用GGB软件辅助高中数学新教材函数教学

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学
生通过观察发现:当底数 ０＜a＜１ 时,指数 函 数y＝ax
的图象呈现下降 趋 势,随 着 x 值 的 不 断 增 大,函 数 图
图２
响,可 以 利 用 GGB 软 件
画 出 四 个 指 数 函 数 y＝
x
x
x
２．
８,
８,
７,
y ＝１．
y ＝０．
x
８ 的 图 象 (图 ３)．
y＝０．
图３
还可以拖动滑 动 条,让 底 数 a 不 断 变 化,通 过 观 察 我
则
x２
x１x２ ＝b ３ 若 函 数 y ＝f (
x),
x)共 有 四 个 不 同 零 点,由 小 到 大 记 为 x１ ,
x２ ,
y＝g(
x３ ,
x４ ,则 x１x３ ＝x２x４ ＝b．
说明:这些 素 材,可 结 合 前 文 中 改 编 命 制 试 题 的
三步骤,命制新的试题,也可给学生探究 ．
７ 结束语
教学研究
２０２４ 年 ５ 月上半月
利用 GGB 软件辅助高中数学新教材
∗
函数教学
◉ 新疆昌吉州第一中学 李 梅
吉
学
院 蔡 华
◉ 昌
如果教师能 巧 妙 地 利 用 函 数 图 象 将 抽 象
摘要:函数是数学中一个重要的概念,也是新教材高中数学教学的重点和难点 ．
的问题转化为直观的图形,则可以帮助学生有效地理解函数,也可以大大降低学习函数的难度 ．
我国著名 数 学 家 华 罗 庚 先 生 曾 说:“出 题 比 做 题
”命 题 是
更难,题目要出得 妙,出 得 好,要 测 得 出 水 平 ．
一次由内而外的工作,是一 个 将 解 题 引 向 深 人 的 研 究
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)

放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)

2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk Λ 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n Λ (5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i ji j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ (2)求证:nn 412141361161412-<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++ΛΛ(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+Λ再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n nΛ例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk Λ 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n ΛΛ 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=Λ212,求证:23321<++++nT T T T Λ.解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=ΛΛ所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T ΛΛ 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++Λ.解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++ΛΛ因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121ΛΛΛ6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---Λ所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n αααααααΛ解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n例10.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ 解析:提示:2ln 1ln 1ln 1211ln )1ln(++-++=⋅⋅-⋅+=+ΛΛn n nn n n n n n当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数xx f 1)(=,首先:⎰-<n in ABCFx S 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i n n i n ni n --==<⋅--⎰ 取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n,所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n ,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到: )1ln(113121+<++++n n Λ另一方面⎰->n i n ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n ni n --==>⋅---⎰取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+Λ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ΛΛ例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211(Λ和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2Λ. 解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。

数列及函数不等式放缩如何一步到位

数列及函数不等式放缩如何一步到位

数列不等式与函数不等式
——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常 出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和 技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行 合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类 问题的重要原则。
熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见 的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到 的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、 对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、 等比放缩、切线放缩等等。
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。
基本结论：
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n
nx
1 n 1 dx ln n ln( n 1)
n n1 x
1
n 1
1
dx 2
n
nx
x
| n 1 n
1
n1
dx 2
n n1 x
x
|n n 1
f (x) 1 或 1
x
(
1 2
1 31
)
（1 4
1 5
...
1 32
）
...
（3n11
1
1 3n1
2
...
1 3n
）
n段，每个括号都 5 ？
6
下证f
(n)
1 3n1 1
1 3n1 2
...
1 3n
5 6
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n nx
1
1
1
1 3n1 2
1 3n1 3
1 3n 1
)
3n
1
5n 6
1 2
1 ... 3
1 3n
5n 6
导数大题中最常用的放缩大法

导数大题中最常用的放缩大法

导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。

例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。

放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。

第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。