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放缩法技巧及经典例题讲解一．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-<（2）<>，11>n >= （3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++-- （4）=<=<= （5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+ （7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++ 或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （8）1⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+== （9）)1(11)1(12-<<+k k k k k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211 （10）12112-+<<++k k k k k【经典例题】例1、设数列{}n a 满足12,311+-==+n a a a n n（1） 求{}n a 的通项公式；（2） 若11111,1,1++-=-=-==n n n n n n n c c d n a c c b c 求证：数列{}n n d b ⋅的前n 项和31<n S例2、已知正项数列{}n a 满足()()*21111,1N n a n a a a n n n ∈⋅++==+ （1） 判断数列{}n a 的单调性；（2） 求证：()2111112111+<-<+-++n a a n n n n经典方法归纳：一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a s ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为,n B ，求证：21<n B例2、已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例1．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n n n as a a 22=+.(1) 求证：4221++<n a a S n n ；(2) 求证：2121321-<+⋅⋅⋅+++<+n n n s s s s s s例2．已知数列{}n a 满足：()⋅⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+3,2,121,111n a n a a n n n ．求证:11213-++-≥≥n n n n a a .2．放缩后成等比数列，再求和例2．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：()()n nn a a a a 12+≥--； （2）等比数列{a n }中，211-=a ，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12 ， 数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：31<n B ．3．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列()()32111⋅⋅⋅-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数.63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令,11nn n n n a a a a b +++=，证明,32221+<+⋅⋅⋅++<n b b b n n ⋅⋅⋅=2,1n三. 裂项放缩1、若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
基本不等式放缩法是解决数学问题中的一种常用技巧，特别是在证明不等式时。
放缩法的核心思想是通过适当的放大或缩小某些项，使得原始的不等式更容易处理或者更容易证明。
以下是一些常见的放缩技巧：
1. 添加或舍弃一些正项（或负项）：在保持不等式方向不变的前提下，可以适当添加或去掉一些不影响不等式成立的正项或负项。
2. 先放缩再求和（或先求和再放缩）：根据问题的需要，可以先对某些项进行放缩，然后再进行求和，或者先求和再对结果进行放缩。
3. 逐项放大或缩小：对不等式中的每项单独进行放缩，然后合并结果。
4. 固定一部分项，放缩另外的项：在某些情况下，可以固定一部分项不变，只对其他项进行放缩。
5. 函数放缩：利用函数的单调性进行放缩，例如，对于递增函数，可以放大小的值，缩小大的值。
6. 裂项放缩：将复杂的项分解成更简单的形式，然后进行放缩。
7. 均值不等式放缩：利用算术平均值大于等于几何平均值的性质进行放缩。
8. 二项放缩：在涉及二项式的情况下，可以利用二项式的性质进行放缩。
9. 指数函数放缩：例如，对于指数函数e^x，有e^x ≥x + 1 当x ≥0。
10. 利用导数判断函数的单调性：通过求导数来判断函数的单调性，然后根据单调性进行放缩。
在实际应用中，放缩法往往需要结合具体问题灵活运用，有时还需要与其他数学方法（如代换法、综合法、反证法等）结合使用。
通过放缩，可以将复杂的不等式转化为更易于处理的形式，从而简化问题的解决过程。
十种放缩法技巧全总结放缩法（Scaling）是一种常用的图像处理技术，通过对图像进行放缩，可以改变图像的尺寸和像素分布，以满足不同的需求。
本文将总结十种常用的放缩法技巧，包括等比例缩放、非等比例缩放、双线性插值、最近邻插值等。
1. 等比例缩放等比例缩放是最常用的一种放缩法技巧，通过保持图像的宽高比不变，按比例减小或增大图像的尺寸。
在图像处理软件中，可以直接设置缩放比例或输入目标尺寸来实现等比例缩放。
代码示例：1. 设置缩放比例为0.5：scale_factor = 0.52. 设置目标尺寸为宽度为500px：target_width = 500, target_height = original_height * (target_width / original_width)2. 非等比例缩放非等比例缩放是一种在宽高比不变的情况下，分别按比例减小或增大图像的宽度和高度的放缩法技巧。
与等比例缩放相比，非等比例缩放会改变图像的形状，导致图像的扭曲或拉伸。
代码示例：1. 分别设置缩放比例：scale_factor_x = 0.8, scale_factor_y = 1.22. 分别设置目标尺寸：target_width = original_width * scale_factor_x, targ et_height = original_height * scale_factor_y3. 双线性插值双线性插值是一种用于图像放缩的插值算法，通过对图像的像素进行线性插值计算，以获得更平滑、更真实的放缩效果。
双线性插值通过对目标图像的每个像素，根据原图像的相邻像素的灰度值进行加权平均计算，从而得到最终的像素值。
代码示例：1. 计算目标像素的位置：target_x = (x / scale_factor_x), target_y = (y / s cale_factor_y)2. 计算四个相邻像素的坐标：top_left_x, top_left_y, top_right_x, top_right_y, bottom_left_x, bottom_left_y, bottom_right_x, bottom_right_y3. 分别计算四个相邻像素的灰度值：top_left_gray, top_right_gray, bottom_left_gray, bottom_right_gray4. 根据四个相邻像素的灰度值和目标像素的位置，进行插值计算得到最终的像素值4. 最近邻插值最近邻插值是一种快速的插值算法，通过选择离目标像素最近的原图像像素的灰度值作为目标像素的灰度值。
放缩法技巧全总结
放缩法技巧全总结如下，仅供参考：
1. 舍掉（或加进）一些项。
2. 在分式中放大或缩小分子或分母。
3. 应用基本不等式放缩（例如均值不等式）。
4. 应用函数的单调性进行放缩。
5. 根据题目条件进行放缩。
6. 构造等比数列进行放缩。
7. 构造裂项条件进行放缩。
8. 利用函数切线、割线逼近进行放缩。
9. 利用裂项法进行放缩。
10. 利用错位相减法进行放缩。
请注意，使用放缩法时，要确保放缩的方向一致，适度地进行放与缩，且很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
另外，用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
因此，对放缩法只需了解，不宜深入。
放缩技巧积累公式生用放缩技巧是数学中经常使用的一种方法，通过对数学表达式中的相关变量进行适当放缩，可以简化问题的求解过程，提高求解效率。
下面将介绍一些常见的放缩技巧及其应用。
一、放缩技巧之平方差公式平方差公式是数学中常用的放缩技巧之一，它可以将一个式子表示为两个平方差的形式，从而提供了更多的计算方式。
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以将一个式子表示为两个平方差的形式，从而可以将一些复杂的计算转化为更简单的计算，例如求解一些二次式的因式分解等问题。
2. (a + b)² - (a - b)² = 4ab这个公式是平方差公式的一个推论，用来计算两个具有平方差形式的式子之间的差值。
可以应用于一些问题中，例如计算两个数的乘积等。
二、放缩技巧之倍角公式倍角公式是一类通过对角度进行放缩的技巧，可以将不同角度的三角函数关系转化为相同角度的三角函数关系，从而简化问题的求解。
1. sin 2θ = 2sinθcosθ这个公式表示角度2θ的正弦值可以通过角度θ的正弦和余弦值来计算，可以应用于一些三角函数的积分、导数和级数展开等问题。
2. cos 2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ这个公式表示角度2θ的余弦值可以通过角度θ的正弦和余弦值来计算，可以应用于一些三角函数的积分、导数和级数展开等问题。
三、放缩技巧之柯西不等式柯西不等式是数学中一个重要的放缩技巧，它可以将多个变量的乘积的和表示为一个变量的平方和的形式，从而提供了更多的计算方式。
1.(a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²)≥(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)²这个公式表示两个向量的点乘的平方不小于它们的模的平方的乘积，可以应用于一些向量和矩阵计算中。
高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。
下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。
1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。
这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。
2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。
通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。
这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。
3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。
4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。
常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。
通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。
5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。
常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。
通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。
6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。
通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。
递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。
以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。
通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。
十种放缩法技巧全总结放缩法技巧是一种常用的设计和排版技术，可以在不改变内容的情况下，通过调整大小、缩放比例或间距来改变元素的排列和呈现效果。
它适用于各种设计领域，如平面设计、网页设计、广告设计等。
下面将总结十种常用的放缩法技巧，以便设计师们能更好地应用于实践。
1. 缩放比例：通过调整元素的大小来改变整体布局的比例和平衡感。
放大某些元素可以突出其重要性，缩小其他元素可以减弱它们的影响力。
同时，还可以通过放大主标题或重点内容来吸引读者的注意力。
2. 内外间距：通过调整元素之间的间距来改变整体布局的紧凑度和松散度。
增大内间距可以提高元素的可读性和可识别性，减小外间距可以增加元素之间的联系和连贯感。
3. 字号变化：通过调整文字的大小来突出显示重点内容或区分不同的信息层次。
可以使用不同的字号来区分标题、正文、引用等内容，以达到突出重点和提高可读性的效果。
4. 对比度调整：通过增加或减少元素之间的明暗差异，来增强或减弱它们的视觉冲击力。
使得重要内容或元素更加醒目，吸引读者的目光。
5. 彩色调整：通过调整元素的色彩饱和度、色调或色相，来改变整体布局的氛围和效果。
可以使用鲜艳的颜色来吸引注意力，使用柔和的颜色来营造温馨的氛围。
6. 图片处理：通过剪裁、缩放或扭曲图片，来实现更好的视觉效果和排版效果。
可以根据布局需要来调整图片的形状和比例，使其更好地契合整体设计。
7. 线条处理：通过增加或减少线条的粗细、长度或间距，来改变整体布局的结构和感觉。
可以添加辅助线条来提供指引，增强整体排版的连贯性和稳定感。
8. 图标和符号：通过添加图标和符号，来强调或解释某些内容。
可以使用简洁明了的图标来代替大段文字，使得信息更加清晰易懂。
9. 插图选择：通过选择合适的插图，来增加整体布局的视觉吸引力和趣味性。
可以使用与内容相关的插图来补充和强化文字表达，使得信息更加生动有趣。
10. 特殊效果：通过应用一些特殊的效果，如阴影、渐变、透明度等，来增加整体布局的层次感和立体感。
十种放缩法技巧全总结放缩法是一种常用的图片处理技巧，通过对图片进行放大或缩小来达到不同的效果。
在实际应用中，我们常常会遇到各种需要放缩的情况，因此掌握一些放缩法的技巧是非常重要的。
下面将介绍十种放缩法的技巧，希望能对大家有所帮助。
首先，我们来说说最基础的放缩技巧——等比例放缩。
等比例放缩是指在放大或缩小图片的过程中，保持图片的长宽比例不变。
这种放缩法可以保持图片的原貌，避免出现变形的情况。
其次，我们要提到的是非等比例放缩。
非等比例放缩是指在放大或缩小图片的过程中，不保持图片的长宽比例。
这种放缩法常用于特殊效果的处理，可以让图片呈现出不同的形态。
接下来，我们来说说双向放缩。
双向放缩是指在放大或缩小图片的过程中，同时对图片的长宽进行调整。
这种放缩法可以让图片在保持长宽比例的情况下，实现更灵活的尺寸调整。
第四种放缩技巧是单向放缩。
单向放缩是指在放大或缩小图片的过程中，只对图片的长或宽进行调整，而保持另一方向不变。
这种放缩法常用于需要调整图片宽度或高度的情况。
第五种放缩技巧是透视放缩。
透视放缩是指在放大或缩小图片的过程中，对图片进行透视变换，使得图片呈现出透视的效果。
这种放缩法常用于景深效果的处理。
第六种放缩技巧是旋转放缩。
旋转放缩是指在放大或缩小图片的过程中，对图片进行旋转变换，使得图片呈现出旋转的效果。
这种放缩法常用于创意设计中。
第七种放缩技巧是扭曲放缩。
扭曲放缩是指在放大或缩小图片的过程中，对图片进行扭曲变换，使得图片呈现出扭曲的效果。
这种放缩法常用于特殊效果的处理。
第八种放缩技巧是镜像放缩。
镜像放缩是指在放大或缩小图片的过程中，对图片进行镜像变换，使得图片呈现出镜像的效果。
这种放缩法常用于对称效果的处理。
第九种放缩技巧是网格放缩。
网格放缩是指在放大或缩小图片的过程中，通过网格调整，使得图片呈现出更精细的效果。
这种放缩法常用于细节处理。
最后，我们要提到的是矢量放缩。
矢量放缩是指在放大或缩小图片的过程中，使用矢量图形进行放缩，可以保持图片的清晰度和质量。
常用放缩方法技巧 Prepared on 22 November 2020
常用放缩方法技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：
a a >+12；n n n >+)1(
⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2
5lg 3lg (
5lg 3lg 2=<=+<⋅；2)
1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2
222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论：
Ⅰ.
的放缩 <Ⅱ.
21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ.
21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 21
k 的放缩(3)：2214112()412121
k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a m a m b a b
记忆口诀“小者小,大者大”。
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。
例：()(0)1x f x x x
=
≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。
一． 先求和再放缩
例1.)
1(1+⋅=n n a n ,前n 项和为S n ，求证：1<n s
例2.n n a )31(= , 前n 项和为S n ，求证：2
1<n s
二． 先放缩再求和
（一）放缩后裂项相消
例3．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s
，求证：22n s <
（二）放缩后转化为等比数列。
例4. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+
（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥
（2）
1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T <
三、裂项放缩
例5.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=n k k .
例6.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥+->-++++
n n n (2)求证:n n
412141
361161412-≤++++ (3)求证：)112(2131211)11(
2-+<++++<-+n n n
例7.求证:3
5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n
例8.已知n n n a 24-=,n n n a a a T
+++= 212,求证:2
3321<++++n T T T T .
四、分式放缩
姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a m a m b a b 记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. 例9. 姐妹不等式:12)1
211()511)(311)(11(+>-++++n n 和
1
21)211()611)(411)(211(+<+---n n 也可以表示成为 12)
12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n 和121
2642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n
例10.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n
五、均值不等式放缩
例11.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2
+<<+n S n n n
例12.已知函数bx a x f 211
)(⋅+=，a>0,b>0,若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最大值为2
1，
求证：.2
121
)()2()1(1-+>++++n n n f f f
六、二项式放缩
n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2
222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n
例13.设N n n ∈>,1，求证)
2)(1(8)32(++<n n n .
例14. n n a 32⋅= , 试证明：.121111424
n n n a a a +++<+≤
七、部分放缩(尾式放缩) 例15.求证: 7412311231
1311<+⋅+++⨯++-n
例16. 设++
=a n a 211.2,131≥++a n a a 求证：.2<n a
八、函数放缩
例17.求证：)(6
65333
ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .
例18.求证:)2()
1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα
例19. 求证:n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++
九、借助数列递推关系 例20. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(2111
21-+≥+++n a a a n
例21.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n
十、分类放缩
例22.求证:212131211n n
>-++++。
