2018届高三上学期期末质量检测数学(理)试题

绝密★启用前深圳市2018届高三年级第一次调研考试数学（理科） 2018.3第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={xlog 2x<1}，B={xl 1x}，则A B=A.（0，3]B.[1，2)C.[-1，2)D.[-3,2) 2.已知a R ，i 为虚数单位，若复数1a iz i，1z 则a=A.2 B.1 C.2 D.13.已知1sin()62x ，则2192sin()sin ()63x xA.14 B.34C.14D.124.夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华舞回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海。

一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个诞性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为 A.0.05 B.0.0075 C13 D.165.已知双曲线22221y x a b 的一条渐近线与圆222()9a x y a ，则该双曲线的离心率为 A.3 B.3 c.322 D.3246.设有下面四个命题： p 1:n N ，n 2>2n ；p 2：x R,“x>1”是“x>2”的充分不必要条件；P 3：命题“若x=y ，则 sin x=siny ”的逆否命题是“若sin x siny ，则x y ”； P 4: 若“pVq ”是真命题，则p 一定是真命题。

其中为真命题的是A.p 1,p 2B.p 2,p 3C.p 2，p 4D.p 1,p 37.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高?如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的x=5，y=2，输出的n 为4，则程序框图中的 中应填入A.y xB.y xC.xy D.x y8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，某几何体的三视圈如图所示，则该几何体的外接球表面积为A.169B.254 C.16 D.259.在ABC 中,2,3,AB AC AC BC BD AD AC则A.263 B.22 C.23 D.23310.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(0,+)上有3()'()0f x xf x恒成立，若3()()g x x f x ，令21(log ())ag e，5(log 2)bg ，12()cg e 则A.ab c B.b a c C.b c a D.c b a11.设等差数列n a 满足：71335a a ，222222447474cos cos sin sin cos sin a a a a a a56cos a a 公差(2,0)d ，则数列n a 的前项和n S 的最大值为A.100B.54C.77D.30012.一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为 A.500281 B.500227C.53D.152第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

湖南省常德市2018届高三上学期检测考试(期末)数学(文)试题Word版含答案常德市2017-2018学年度上学期高三数学（文科）检测考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合$A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4,5\}$，则$A\cap B$中元素的个数为（）。

A．2.B．3.C．4.D．5.2.在复平面内，复数$z=1+2i$（$i$为虚数单位）对应的点所在的象限为（）。

A．第一象限。

B．第二象限。

C．第三象限。

D．第四象限。

3.在某学校图书馆的书架上随意放着有编号为1,2,3,4,5的五本史书，若某同学从中任意选出两本史书，则选出的两本史书编号相连的概率为（）。

A．$\frac{1}{10}$。

B．$\frac{1}{5}$。

C．$\frac{2}{5}$。

D．$\frac{1}{2}$。

4.元朝著名数学家XXX《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着XXX走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”其意思为：“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游，先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到酒店和朋友，壶中酒恰好饮完，问壶中原有多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的$x=$，那么在这个空白框中可以填入（）。

A．$x=x-1$。

B．$x=2x-1$。

C．$x=2x$。

D．$x=2x+1$。

5.已知向量$a=(x,y),b=(1,2),c=(-1,1)$，若满足$a\parallel b,b\perp(a-c)$，则向量$a$的坐标为（）。

A．$(\frac{5}{11},\frac{5}{11})$。

B．$(-\frac{5}{11},-\frac{5}{11})$。

C．$(\frac{6}{11},\frac{3}{11})$。

D．$(\frac{5}{11},\frac{6}{11})$。

理科数学2018年高三江西省南昌市高三上学期一模数学（理）理科数学单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）设全集U=R，集合，，则(C B)A= （）A.B.C.D.已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝( )A. 1或－B. 1C. －D. －2给出下列四个命题：①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；②“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是③若命题，则；④命题“，使得”的否定是：“均有”.其中不正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4已知，其中为锐角，若与夹角为，则（）A.B.C.D.已知为的导函数，则的图像是（）A.B.C.D.已知数列的前项和为,则数列的前10项和为（）A. 56B. 58C. 62D. 60定义运算＝a1a4－a2a3 , 将函数f(x)＝的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为 ( )A.B.C.D.在△ABC中，角、、所对的边长分别为,,,且满足，则的最大值是（）A. 1B.C.D. 3设函数，则满足的实数的取值范围是（）A.B.C.D.已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x,y满足+x+y=，设△ABC、△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S、S、S、S，记,,, 则·取最大值时，3x+y的值为( )A.B.C. 1D. 2已知函数，，若与的图象上分别存在点关于直线对称，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.已知数列满足，且，则的整数部分是（）A. 0B. 1C. 2D. 3填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

）若，则=设曲线与轴、轴、直线围成的封闭图形的面积为，若在上单调递减，则实数的取值范围是________. 15．对于正项数列，定义为的“光”值，现知某数列的“光”值为，则数列的通项公式为__________把边长为1的正方形如图放置，、别在轴、轴的非负半轴上滑动．则的最大值是____．简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为集合，,所以,故选C.2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A,,是偶函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于B, 对于既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C, 是奇函数，不合题意；对于D,在区间上单调递减，不合题意，只有合题意，故选A.3. 已知向量，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】向量错误；错误；错误；，正确，故选D.4. 已知数列满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据条件得到：可设，，故两式做差得到：，故数列的每一项都为0，故D 是正确的。

A，B，C，都是不正确的。

故答案为D。

5. 将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象,所求函数的解析式为，故选B.6. 设，则“是第一象限角”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：若是第一象限角，则, ,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7. 设（），则下列说法不正确的是（）A. 为上偶函数B. 为的一个周期C. 为的一个极小值点D. 在区间上单调递减【答案】D【解析】对于A，，为上偶函数，A正确；对于B,,为的一个周期,B正确；对于C，), ，,为的一个极小值点,C正确，综上，符合题意的选项为D,故选D.8. 已知非空集合满足以下两个条件：（ⅰ），；（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，即，此时有，同理，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，有，若集合中只有个元素，则，即，此时有，，同理，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，有，若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，不满足条件，所以满足条件的有序集合对的个数为，故选A.【方法点睛】本题主要考查集合的交集、并集及集合与元素的关系、分类讨论思想的应用. 属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2021届河北省石家庄市高三第一学期教学质量检测（一）数学试题一、单选题1.设集合{}1,0,1,2A =-,{}11B x x =-≤≤,则A B =（ ）A.{}1,1-B.{}1,0,1-C.{}0,1D.{}0,1,2【参考答案】B【试题解析】利用交集的定义可求得集合A B .集合{}1,0,1,2A =-,{}11B x x =-≤≤,则{}1,0,1A B =-.故选：B.本题考查交集的计算,考查计算能力,属于基础题. 2.若(12)2z i i -=+,则复数z =（ ） A.1-B.i -C.1D.i【参考答案】D【试题解析】本题根据复数的除法运算直接计算即可.解：因为(12)2z i i -=+,所以2(2)(12)512(12)(12)5i i i iz i i i i +++====--+ 故选：D本题考查复数的除法运算,是基础题.3.北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行.为纪念申奥成功,中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票,图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”.现从一套5枚邮票中任取3枚,则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（ ） A.310B.12C.35D.710【参考答案】C【试题解析】先求出从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有3520C =种,再求出恰有1枚吉祥物邮票的情况有11326C C ⋅=种,最后计算恰有1枚吉祥物邮票的概率即可解：从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有3520C =种,恰有1枚吉祥物邮票的情况有11326C C ⋅=种,则恰有1枚吉祥物邮票的概率63105=, 故选：C本题考查实际问题中的组合计数问题、利用古典概型计算概率,是基础题.4.已知过点(1,1)的直线l 与圆2240x y x +-=交于A 、B 两点,则AB 的最小值为（ ）B.2C. D.4【参考答案】C【试题解析】先根据题意求出圆心的坐标和半径,再求圆心到定点的距离,最后求AB 的最小值解：将圆的方程2240x y x +-=化为标准方程22(2)4x y -+=,则圆心为()2,0,半径2r,则圆心()2,0到定点()1,1,AB最小值为=故选：C.本题考查直线与圆的位置关系、求弦长的最小值,是基础题.5.在边长为2的等边三角形ABC 中,若2BD DC =,则AD AB ⋅（ ） A.83B.2C.103D.4【参考答案】A【试题解析】根据条件2BD DC =,转化1233AD AB BD AB AC =+=+,再根据数量积公式计算结果.()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,所以212123333AD AB AB AC AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭121822223323=⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：A本题考查向量数量积,平面向量基本定理,重点考查转化与计算,计算能力,属于基础题型.6.原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外,主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成,这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后,会转变成稳定的原子,这种过程称之为“衰变”.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中,其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系240()2tN t N -=,其中N 0为0t =时钍234的含量.已知24t =时,钍234含量的瞬时变化率为8ln2-,则()120N =（ ） A.12贝克 B.12 ln2贝克 C.6贝克 D.6 ln2贝克【参考答案】A【试题解析】由24t =时,钍234含量的瞬时变化率为8ln2-,可求0384N =,从而可求()120N .解：240ln 2()224tN t N -'=-⋅⋅,所以00ln 218ln 2,384242N N -=-⋅⋅=, 24240()23842tt N t N --==⋅,12024(120)384212N -=⋅=(贝克),故选：A.考查导数的几何意义以及求函数的值,基础题.7.已知F 1、F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点,点A 在双曲线上,且∠F 1AF 2＝60°,若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点,则双曲线的离心率为（）A.7B.72C.14D.142【参考答案】B【试题解析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得1AF和2AF的值,再结合余弦定理计算离心率.不妨设点A在第一象限,12F AF∠的角平分线交x轴于点M,因为点M是线段2OF的中点,所以12:3:1FM MF=,根据角平分线定理可知1231AFAF=,又因为122AF AF a-=,所以13AF a=,2AF a=,由余弦定理可得22221492372c a a a a a=+-⨯⨯⨯=,所以2274ca=,所以7cea==.故选：B本题考查双曲线的离心率,双曲线的定义,三角形角平分线定理,重点考查转化思想,计算能力,属于中档题型.8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形,若该棱柱存在外接球与内切球,则其外接球与内切球表面积之比为（）A.25︰1B.1︰25C.1︰5D.5︰1【参考答案】D【试题解析】根据题意得到三棱柱的高是内切球的直径,也是底面三角形内切圆的直径,根据等边三角形的性质得到内切球和外接球的半径,计算表面积的比值.设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心,点M 是底面等边三角形的中心,点N 是底边AB 的中点,连结OM ,MN ,AM ,OA ,设底面三角形的边长为a ,则3MN a =,23MA a =, 因为三棱锥内切球与各面都相切,所以三棱柱的高是内切球的直径,底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径,所以3OM MN a ==,即三棱柱内切球的半径33r a =, 233AM a =,所以22153OA OM AM a =+=,即三棱柱外接球的半径15R a =, 所以内切球的表面积为22443r a ππ=,外接球的表面积222043S R a ππ==, 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=故选：D本题考查空间几何体的内切球和外接球的表面积,重点考查空间想象,计算能力,属于中档题型.二、多选题9.设非零实数a b c >>,那么下列不等式中一定成立的是（ ） A.2a bc >B.22ac bc >C.()()->-cca b a c D.ln0a ba c-<-【参考答案】BD【试题解析】利用不等式的性质和特值法依次判断选项即可得到答案.对选项A ,设1a =,1b =-,2c =-,满足a b c >>, 此时不满足2a bc >,故A 错误；对选项B ,因为a b >,且0c ≠,所以22ac bc >,故B 正确. 对选项C ,设3a =,2b =,1c =,满足a b c >>,此时()1-=ca b ,()2-=ca c ,不满足()()->-cca b a c ,故C 错误； 对选项D ,因为a b c >>,所以0a c a b ->->,01-<<-a ba c, 所以ln0a ba c-<-,故D 正确. 故选：BD本题主要考查不等式的比较大小,特值法为解题的关键,属于简单题. 10.记函数()ln f x x x =+的零点为0x ,则关于0x 的结论正确的为（ ） A.0102x <<B.0112x << C.000x e x --= D.000x e x -+=【参考答案】BC【试题解析】分析函数()ln f x x x =+的单调性,利用零点存在定理可判断A 、B 选项的正误,利用指数与对数的转化可判断B 、D 选项的正误.由于函数()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增,且11ln 2022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,()110f =>, 0112x ∴<<, 由于0x 是函数()ln f x x x =+的零点,则00ln 0x x +=,即00ln x x =-,00xx e -∴=,即000x e x --=,则00020x x ex e --+=>,故A 、D 选项错误,B 、C 选项正确. 故选：BC.本题考查利用零点存在定理判断零点的取值范围,同时也考查了指数与对数转化的应用,考查计算能力,属于中等题.11.2020年初,突如其来的疫情改变了人们的消费方式,在目前疫情防控常态化背景下,某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况,更好的提高服务质量,收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据,并绘制如下的折线图.根据折线图,下列结论正确的是（ ）A.该超市这8个月中,线上收入的平均值高于线下收入的平均值B.该超市这8个月中,线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中,每月总收入与时间呈现负相关D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看,在疫情逐步得到有效控制后,人们比较愿意线下消费 【参考答案】ABD【试题解析】根据折线图逐个判断每个选项的正误.对于A ,由折线图可知,该超市这8个月中,线上收入的平均值为3.510.51211.510.599.5 5.598+++++++=,线下收入的平均值为12.534 5.5 6.5710.5127.6258+++++++=,可知97.625>,因此线上收入的平均值高于线下收入的平均值,故A 正确；对于B ,由折线图可知,该超市这8个月中,线上收入与线下收入相差最小的月份是7月,相差1万元,故B 正确；对于C ,由折线图可知,该超市这8个月中,每月总收入与时间呈现正相关,故C 错误； 对于D ,由折线图可知,从这8个月的线上收入与线下收入对比来看,在疫情逐步得到有效控制后,人们比较愿意线下消费,故D 正确. 故选：ABD.本题考查折线统计图的分析和理解,属于基础题.12.动点P （x ,y ）在单位圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,24秒旋转一周.已知时间t ＝0时,点P 坐标为1)2-,当t ∈[0,24]时,记动点P 的横、纵坐标之和x ＋y 为关于t （单位：秒）的函数g （t ）,则关于函数g （t ）描述正确的是（ ）A.(5)g =B.g （t ）在[5,17]上单调递减C.g （13）＝g （21）D.g （t ）在区间[0,24]上有3个零点【参考答案】ABC【试题解析】根据题意表示单位圆上点的横坐标和纵坐标,并表示函数()1212g t t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再依次判断选项.由已知条件可知该函数的周期为24T =,212T ππω==,当0t =时,12P ⎫-⎪⎪⎝⎭,所以sin 126y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, ()cos sin 126126g t t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()5g =故A 正确；[]5,17t ∈时,2,121223t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦3,22ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦, 所以()g t 在区间[]5,17上单调递减,所以B 正确；()7136g π==()11216g π==, 所以()()1321g g =,故C 正确；[]0,24t ∈,则,212121212t πππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦, ()0g t =,1212t πππ+=或2π,解得：11t =或23t =,只有2个零点,故D 不正确.故选：ABC本题考查三角函数模型的简单综合应用,重点考查读懂题意,三角函数性质的的应用,属于中档题型.三、填空题13.已知实数x ,y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,则2z x y =-的最大值为________.【参考答案】1【试题解析】先根据约束条件画出可行域,再根据可行域求目标函数的最大值即可.解：由约束条件12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,画出可行域,如图,有题意12x y x =⎧⎨=-+⎩,解得点(1,1)B ,根据图象可得,当目标函数过点(1,1)B 时,2z x y =-取得最大值211=1z =⨯-, 故答案为：1.本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值,是基础题. 14.已知π(,π)2α∈,2sin2α＋1＝cos2α,则cos α＝________.【参考答案】5-【试题解析】根据二倍角公式化简为sin 2cos αα=-,再根据22sin cos 1αα+=,得到cos α的值.2sin 2cos21αα=-,即24sin cos 2sin ααα=- ,sin 2cos αα=-,① 又因为22sin cos 1αα+=,②由①②可知,25cos 1α=,又因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos α=.故答案为：5-本题考查二倍角公式,同角三角函数基本关系式,重点考查转化与变形,计算能力,属于基础题型.15.设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ,点A （0,2）,线段FA 与抛物线交于点B ,且2FB BA =,则|BF |＝________.【试题解析】设(,)B x y ,根据2FB BA =可得出用p 表示的B 点坐标,再代入抛物线方程可得出p 值,然后求得B F 、两点坐标,利用两点之间的距离公式可得答案.由题得(,0)2p F 0)p >（,设(,)B x y ,则(,)2pFB x y =-,22(,2)(2,42)BA x y x y =--=--,由2FB BA =得2242p x xy y ⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩解得643px y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,代入椭圆方程得24236p p ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,解得3p =,所以4)3B ,F ,所以||FB ==.本题考查了抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系. 16.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＋a n ＝1,记b m 为数列{a n }中能使*1()21n a m m ≥∈+N 成立的最小项,则数列{b m }的前99项之和为________. 【参考答案】10532【试题解析】首先根据n S 与n a 的关系,得到数列{}n a 的通项公式,再根据规律找到满足条件能使121n a m ≥+()*m N ∈成立的最小项,并对于不同的m 值,计算满足条件的个数,再求和.因为1n n S a +=,所以112a =,所以当2n ≥时,()1111n n n n n a S S a a --=-=---, 即12n n a a -=,所以12n n a =,因为m b 为数列{}n a 中能使121n a m ≥+()*m N ∈成立的最小项,所以11221n m ≥+,所以可得当1m =时,112b =,当2m =时,2212b =,当3m =时,3212b =,当4m =时,4312b =,……,99712b =,所以数列{}m b 的前99项之和为：2523677111111110522236636222222232+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=. 故答案为：10532本题考查已知n S 和n a 的关系求数列的通项公式,以及数列新定义,分组求和,重点考查逻辑推理,计算能力,属于中档题型,本题的难点是理解题意,对于每一个m 值,计算满足条件个数.四、解答题17.在①cos 7C =,②a sin C ＝c cos π()6A -,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线处,并完成解答.问题：△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,π3B =,D 是边BC 上一点,BD ＝5,AD ＝7,且________,试判断CD 和BD 的大小关系________. 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【参考答案】答案见解析.【试题解析】先利用余弦定理求出AB 的长,选条件①：利用辅助公式和正弦定理即可求解；选条件②：利用边化角,然后利用两角差的余弦公式求出A ,最后根据等边三角形的性质,即可判断CD 和BD 的大小关系解：设AB =x ,在ABD ∆中由余弦定理可得：22492525cos2553x x x x π=+-⋅⋅⋅=+-即2524=0x x --,解得=8x , 方案一：选条件①.由cos C =得sinC =, A B C π++=1sin sin()72A B C ∴=+=+= 在ABC ∆147=解得：10BC =,5.CD BD ∴==方案二：选条件②.由正弦定理可得：=2sin ,=2sin ,a R A c R C 代入条件sin cos()6a C c A π=-得：1sin sin sin sin )2A C C A A =⋅+1sin sin sin 2A C A C +, 1sin sin sin 2A C A C ∴=, 因为A 为三角形内角,所以tan A =,故3A π=,所以ABC ∆为等边三角形, 所以8BC =,3CD ∴=，所以CD<BD .本题考查正弦定理、余弦定理、两角差的余弦公式,属于中档题18.公差不为0的等差数列{a n }中,前n 项和记为S n .若a 1＝1,且S 1,2S 2,4S 4成等比数列, （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列11{}n n n a S S ++的前项n 项和T n . 【参考答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n nn ++. 【试题解析】（1）由条件可知221444S S S =⨯,代入等差数列的前n 项和公式,整理为关于d 的方程求解通项公式；（2）由（1）可知()1221211n n n a n S S n n +++=⨯+,利用裂项相消法求和.解：（1）由已知可得：221444S S S =⨯, 即：2(2)1(46)d d +=⨯+, 解得0d =（舍）或2d = 所以21n a n =-,（2）由（1）可得2n S n =,所以1222212111(1)(1)n n n a n S S n n n n +++==-⨯++；所以22222222221111111111()()()...()()122334(1)(1)n T n n n n =-+-+-++-+--+222121(1)(1)n nn n +=-=++.本题考查等差数列和等比数列的点到综合,以及裂项相消法求和,属于基础题型,本题的难点是第二问,注意能使用裂项相消法的类型.19.中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》,这是中共中央、国务院印发的第一个聚焦义务教育阶段教育教学改革的重要文件,是新时代我国深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的纲领性文件《意见》强调,坚持“五育”并举,全面发展素质教育.其中特别指出强化体育锻炼,坚持健康第一.某校为贯彻落实《意见》精神,打造本校体育大课堂,开设了体育运动兴趣班.为了解学生对开设课程的满意程度,设置了满分为10分的满意度调查表,统计了1000名学生的调查结果,得到如下频率分布直方图：（1）求这1000名学生满意度打分的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）如果认为打分6分及以上为满意,6分以下为不满意,为了解满意度与学生性别是否有关,现从上述1000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本,得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有99％的把握认为满意度与学生性别有关.打分性别不满意满意总计男生100女生60总计200附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,P（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828【参考答案】（1）6.68；（2）列联表见解析,有99%的把握认为满意度与性别有关.【试题解析】（1）根据频率分布直方图计算平均数的公式计算平均数；（2）由频率分布直方图计算可得,满意和不满意的学生的比例为7:3,可计算抽取的200人中的满意和不满意的人数,填写列联表,再计算2K ,并和临界值比较,再判断.解：（1）根据统计数据,计算平均数为：10.0330.11+50.16+70.39+90.31=⨯+⨯⨯⨯⨯x .=6.68.（2）由频率分布直方图可知满意和不满意的频率比值为7:3,根据比较计算200人中满意的人数为7200140⨯=人,不满意的有60分,补充完整的列联表如下：则22(20604080)20010010060140⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯K9.524≈.经查表,得29.524 6.635K ≈>,所以有99%的把握认为满意度与性别有关.本题考查频率分布直方图和独立性检验的实际应用,重点考查数据分析,计算能力,属于基础题型.20.在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 为平行四边形,M 为AA 1的中点,BC＝BD ＝1,1AB AA ==（1）求证：MD⊥平面BDC1；（2）求二面角M-BC1-D的余弦值.【参考答案】（1）证明见解析；（2）10 5.【试题解析】（1）证明BD⊥MD和MD⊥BC1即可证明MD⊥平面BDC1；（2）以DA为x轴,DB为y轴,DD1为z轴,建立坐标系,利用向量法可求出.（1）因为BC=BD=1,CD=AB=2,可得BC2+BD2=CD2,∴BD⊥BC,又AD//BC,∴BD⊥AD .又ABCD-A 1B1C1D1 是直四棱柱,∴DD1⊥平面ABCD,∴DD1⊥BD .1=DD AD D,∴BD⊥平面ADD1A1,∴BD⊥MD, 取BB1中点N,连接NC,MN,//MN DC且,MNCD∴为平行四边形,//∴MD NC,1NB BC BC CC==22,1~NBC BCC ∴, 190C BC BCN ∠∠∴+=,∴BC 1⊥CN , 又MD //NC ,∴MD ⊥BC 1,又BC 1BD ⋂=B ,∴MD ⊥平面BDC 1；（2）以DA 为x 轴,DB 为y 轴,DD 1为z 轴,建立如图所示的坐标系,则(0,1,0)B ,1(1,12)C -,2M ⎛ ⎝⎭,21,BM ⎛=- ⎝⎭,1(12)BC =-, 由（1）可知DM 为平面BDC 1的一个法向量,21,0,2DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面C 1BM 的一个法向量为(,,)n x y z =,∴100BC n BM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩,则20202x z x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩,可取322,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭, 设二面角M -BC 1- D 为θ, 所以10cos DM n DM nθ⋅==, 即二面角M -BC 1- D 10本题考查线面垂直的证明,考查向量法求面面角,属于中档题.21.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()0,1,离心率e 为22.（1）求椭圆方程；（2）已知不过原点的直线()0l y kx t k =+≠：与椭圆E 相交于,A B 两点,点A 关于x轴的对称点为M ,直线,AB MB 分别与x 轴相交于点,P Q ,求OP OQ 的值.【参考答案】（1）2212x y +=；（2）2OP OQ ⋅=.【试题解析】（1）根据题意得1b =,再离心率2222c e a b c a ===+即可解得答案；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ,则11(,)M x y -,将直线与椭圆方程联立得222(12)4220k x ktx t +++-=,故122412kt x x k -+=+,21222212t x x k-⋅=+,进而得(,0)t P k -,2(,0)kQ t-,故2OP OQ ⋅=解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点()0,1,所以1b =；又2222c e a b c a ===+,所以22a =. 即椭圆方程为2212x y +=.（2）法一：设1122(,),(,)A x y B x y ,则11(,)M x y -由2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得222(12)4220k x ktx t +++-=, 所以22221222122164(12)(22)04122212k t k t kt x x k t x x k ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩, 在直线:(0)l y kx t k =+≠中,令0y =,则t x k =-,即(,0)tP k-, 直线212221:()MB y y l y y x x x x +-=--,令0y =,则1221121212122()42()22x y x y kx x t x x k k x y y k x x t t t +⋅++-====-+++,即2(,0)k Q t-, 所以2()2t kOP OQ k t⋅=-⋅-=,即2OP OQ ⋅=（2）法二：设(,),(,),(,),(,0),(,0)A m n B s t M m n P p Q q -, 则(,),(,)ABs m t n AP p m n ,(s m,t n),(,)MB MQ q m n由A ,B ,P 三点共线,则有//AB AP ,即n t nm s m p-=-- 所以()n m s ns mtp m n t n t--=-=--；由B ,M ,Q 三点共线,则有//MB MQ ,即t n ns m q m+=-- 所以()n s m mt nsq m t n t n-+=+=++所以222222(1)ns mt mt ns n s m t OP OQ p q n t t n n t -+-⋅=⋅=⋅=-+-因为A ,B 在椭圆E 上,所以2212m n +=,所以2222m n =-,同理2222s t =-,代入（1）中,得222222222222(22)(22)2n s m t n t n t OP OQ n t n t ----⋅===-- 即2OP OQ ⋅=本题考查椭圆方程的求解,直线与椭圆的位置关系,考查运算能力,是中档题. 22.已知函数2()(1)1xf x x a x e ⎡⎤=+-+⎣⎦,其中e 为自然对数的底数. （1）若a ＝2,求函数f （x ）在（0,f （0））处的切线方程； （2）若函数2()0f x e +≥恒成立,求实数a 的取值范围； 【参考答案】（1）21y x =+；（2）323a e -≤≤+.【试题解析】（1）求出()f x 的导数,则()f x 在0x =处的导数值即为斜率,即可求出切线方程； （2）求出(1)()x fxx x a e ,讨论a 的范围,进而利用导数讨论()f x 的变化情况,即可列出不等式求出a 的范围.（1）2a =时,2()(1)x f x x x e =++,(0)1f =,22()(21)(1)(32)(1)(2)x xx x f x x e x x e x x e x x e ,由()02f '=,则函数在（0,1）处的切线斜率为2,切线方程为21y x =+； （2）21(1)()x x fxx a x a e x x a e .当1a =时, ()0f x '≥,()f x 单调递增,且2()(1)0xf x x e 恒成立,2()0f x e ∴+≥恒成立,符合题意；当1a >时当x a ≤-时,2(1)1()10x a x x x a x 恒成立,2()0f x e ∴+≥恒成立,符合题意；当x a >-时,1min()(1)(3)f x f a e ,即12(3)a e e --≥-,即33a e ≤+,313a e ∴<≤+当1a <时,当1x ≤-时, 2(1)1(1)0x a x a x +-+>-≥恒成立,2()0f x e ∴+≥恒成立,符合题意；当1x >-时,min()()(1)a f x f a a e ,即2(+1)a a e e -≥-,令()()()1,(1),aah a a e a h a ae--=+<=-',第 21 页 共 21 页 则函数()h a 在(,0)-∞单调递增,在(0,1)单调递减,且当0a ≥时,h()(1)0a a a e 恒成立；当0a <时,2h(2)e ； 即2(+1)2a a e e a -≥-⇒≥-21a ∴-≤<；.综上:实数a 的取值范围是323a e -≤≤+.本题考查导数的几何意义,以及利用导数研究不等式的恒成立问题,属于较难题.。

武汉市2018届高中毕业生二月调研测试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数满足，则（ ）z (34)12i z i +=-=z A ． B ． C ． D ． 1255i -+1255i --1255i +1255i -2．已知集合，则（ ）2{|160},{|lg |2|0}A x x B x x =-≤=->A B ⋂=A ． B ． C ． D ． [4,1)(3,4]-⋃[4,3)(1,4]--⋃-(4,1)(3,4)-⋃(4,3)(1,4)--⋃-3．在等差数列中，前项和满足，则（ ）{}n a n n S 7245S S -=5a =A ．7 B ．9 C ．14 D ．184．根据如下程序框图，运行相应程序，则输出的值为（ ）n A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 12236．已知不过原点的直线交抛物线于两点，若的斜率分别为O 22y px =,A B ,OA AB ，则的斜率为（ ）2,6OA AB k k ==OBA ．3B ．2C ．-2D ．-37．已知函数的最大值为2，则满足()sin(2)cos(2)(0)f x x a x ϕϕϕπ=+++<<，则（ ） ()()2f x f x π=-=ϕA ． B ． C ．或 D ．或 6π3π3π23π6π56π8．将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为（ ） A ．B ．C ．D ． 31025320149．已知平面向量，满足，，则,,a b e ||1e = 1,2,||2a e b e a b ⋅=⋅=-+= a b ⋅ 的最大值为（ ）A ．-1B ．-2C ．D ． 52-54-10．已知实数满足约束条件，若不等式,x y 5001202x y y x y x +-≥⎧⎪⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，恒成立，则实数的最大值为（ ）22(1)2(42)0a x xy a y -++-≥aA ．B ． C735311．已知函数,若在上恒成立，则实数22()ln (1)()f x x x a x a R =--∈()0f x ≥01x <≤的取值范围为（ ）a A ． B ． C ． D． 2a ≥1a ≥12a ≥a ≥12．已知直线与曲线相交，交点依次为，且l 326139y x xx =-+-,,A B C ，则直线的方程为（ ）||||AB BC ==l A ． B ． C ． D ．23y x =-+23y x =-35y x =-32y x =-+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在的展开式中，的系数为 ．27(1)(1)x x x -++4x 14．已知是等比数列的前项和，成等差数列，，则 n S {}n a n 396,,S S S 254a a +=8a =．。

3.若 sin + θ ⎪ < 0,cos - θ ⎪ > 0 ，则 θ 是（ ） ( )12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） -+ - +6.设函数 f (x ) = ⎨且 f (1) = 6 ，则 f (2) = （ ） 7.已知 α ∈ (0,π )，且 sin α = 4 ⎛ π ，则 tan - α ⎪ = （ ）A ． ±B ． ±7C. - 或 -7D ． 或 7,全国名校大联考 2018-2019 年度高三第二次联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.已知全集U = {-2, -1,3,4}，集合 B ={-1,3}，则 C B = （ ）UA ． {-1,3}B ． {-2,3}C ． {-2,4}D ． ∅2.命题“ ∀x ∈ (1,+∞),log x = x - 1 ”的否定是（ ）2A ． ∀x ∈ (1,+∞),log x ≠ x - 1B ． ∃x ∈ (1,+∞),log x ≠ x - 122C ． ∃x ∈ (1,+∞),log x = x - 1D ． ∀x ∉ (1,+∞),log x ≠ x - 122⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 4.已知平面向量 a , b 的夹角为 60 ︒ ， a = 1, 3 , b = 1 ，则 a + b = （）A ．2B ． 2 3 C.7D ．45.若将函数 y = 2sin 2 x 的图象向左平移 πA ． x =C. x =k ππ(k ∈ Z ) B ． x = k π π (k ∈ Z )2 6 2 6k ππ(k ∈ Z )D ． x = k ππ(k ∈ Z )2 12 2 12⎧⎪3a x , x ≤ 1, ⎪⎩log a (2x + 4), x > 1,A ．1B ．2 C. 3 D ．6⎫ 5⎝ 4⎭1117778. 已知 AB = (cos17︒,cos73 ︒ ) BC = (2cos77 ︒,2cos13 ︒ ) ，则 ∆ABC 的面积为（ ）A ．3B ．1 C. 3 D ．22()()(40)( )9. 函数 f (x ) 有 4 个零点，其图象如下图，和图象吻合的函数解析式是（ ）A ． f (x ) = sin x - lg xB ． f (x ) = sin x - lg x C. f (x ) = sin x - lg xD ． f (x ) = sin x - lg x10. 已知 a , b , c 分别是 ∆ABC 的三个内角所对的边，满足a b c= =cos A cos B cos C，则 ∆ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形11.某新建的信号发射塔的高度为 AB ，且设计要求为:29 米 < AB < 29.5 米.为测量塔高是否符合要求，先取与发射塔底部 B 在同一水平面内的两个观测点 C , D ，测得∠BDC = 60︒, ∠BCD = 75︒, C D = 40 米，并在点 C 处的正上方 E 处观测发射塔顶部 A 的仰角为 30 ︒ ，且 CE = 1 米，则发射塔高 AB = （ ）A ． 20 2 + 1 米B ． 20 6 + 1 米C.2 + 1 米D ． 40 6 + 1 米12.设向量 a , b , c 满足 a = b = 2, a ⋅ b = -2 ， a - c , b - c = 60︒ ，则 c 的最大值等于（）A ．4B ．2 C.2D ．1第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 f (x ) = a x + b (a > 0, a ≠ 1) 的定义域和值域都是 [-1,0]，则 a b =．14.若动直线 x = a 与函数 f (x ) = sin x 和 g (x ) = cos x 的图象分别交于 M , N 两点，则 MN 的最大值为．（m,a为常数，a>0且a≠1）的图象过点A(2,4),B -1,⎪.f(x)+1，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由.3,BC=2，点D在边AB上，AD=DC,DE⊥AC，E为垂足.20.已知向量m=(2,sinα),n=(cosα,-1)，其中α∈ 0,⎪，且m⊥n.（2）若sin(α-β)=10，且β∈ 0,⎪，求角β.15.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=-x+2，那么不等式f(x)+1<0的解集是．16.已知∆ABC的三边垂直平分线交于点O，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且c2=2b(2-b)，则AO⋅BC的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数f(x)=（1）求实数m,a的值；（2）若函数g(x)=f(x)-118.在锐角∆ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且cos(B+C)+sin A=0.（1）求A；（2）若a=6-3，∆ABC的面积为3，求b-c的值.19.如图，在∆ABC中，B=π（1）若∆BCD的面积为33，求AB的长；（2）若ED=62，求角A的大小.⎛π⎫⎝2⎭（1）求sin2α和cos2α的值；⎛π⎫10⎝2⎭，且 < α < 时，求 sin 2α + ⎪ 的值.22. 已知向量 a = k sin ,cos 2 ⎪ , b = cos , -k ⎪ ，实数 k 为大于零的常数，函数x 32 < A < π , f (A ) = 0 ，且 a = 2 10 ，21.设函数 f (x ) = sin x + 3cos x + 1 .（1）求函数 f (x ) 的值域和函数的单调递增区间；（2）当 f (α ) = 13 π 2π ⎛ 5 6 3 ⎝2π ⎫ 3 ⎭⎛ x x ⎫ ⎛ ⎫ ⎝ 3 3 ⎭ ⎝ ⎭f (x ) = a ⋅ b , x ∈ R ，且函数 f (x ) 的最大值为 2 - 1.2（1）求 k 的值；（2）在 ∆ABC 中，a , b , c 分别为内角 A , B , C 所对的边，若求 AB ⋅ AC 的最小值.π16. - , 2 ⎪ ⎪⎪ a 2 = 417.解：（1）把 A (2,4 ), B -1, ⎪ 的坐标代入 f (x ) = ，得 ⎨ ，解得 m = 1,a = . 2 ⎭ a x ⎪ m = 1 f (x ) + 1 2x + 1 = bc sin A = 3 ，所以 bc = 12 .试卷答案一、选择题1-5: CBBCB6-10:CCADC 11、12：AA二、填空题13. 414.215. {x x > 0}⎛ 2 ⎫ ⎝ 3 ⎭三、解答题⎧ m ⎛ 1 ⎫ m 1 ⎝2 ⎪⎩ a -1 2（2） g (x ) 是奇函数.理由如下：由（1）知 f (x ) = 2x ，所以 g (x ) =所以函数 g (x ) 的定义域为 R .f (x ) - 1 2x - 1=，又 g (-x ) = 2- x- 1 2x ⋅ 2- x - 2x 2x- 1= =-2- x + 1 2x ⋅ 2- x + 2x 2x + 1= -g (x )，所以函数 g (x ) 为奇函数.18.解：（1）因为 cos (B + C ) + sin 2 A = 0 ，所以 - cos A + 2sin A cos A = 0 ，即 sin A = 1 .2又因为 ∆ABC 为锐角三角形，所以 s in A = 1 2，所以 A = 30 ︒ .（2）因为 S ∆ABC 1 2又因为 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，所以 39 - 12 3 = b 2 + c 2 - 12 3 ，所以 b 2 + c 2 = 39 .故 b - c =(b - c )2 = b 2 + c 2 - 2bc = 39 - 24 = 15 .，B = , BC = 2 ，∴ ⨯ 2 ⨯ BD ⨯ sin = ，∴ BD = .（ 1 π 3 2 3 3CD = BC 2+ BD 2- 2BC ⋅ BD ⋅ cos B =4 + 4 2 1 - 2 ⨯ 2 ⨯ ⨯ =. + =. ，∴ CD = AD = ， =，∴ cos A = . 4 .代入 cos 2 α + sin 2 α = 1 ，得 5cos 2 α =1，且 α ∈ 0, ⎪ ，则 cos α = 5 ,sin α =. ⨯ = .cos2α = 2cos 2α - 1 = 2 ⨯ - 1 = - .（2）∵ α ∈ 0, ⎪ , β ∈ 0, ⎪ ，∴ α - β ∈ - , ⎪ .又 sin (α - β ) = 10 ，∴ cos (α - β ) = .⨯ - ⨯ = .因 β ∈ 0, ⎪ ，得 β = . 21.解：（1）依题意 f (x ) = sin x + 3 cos x + 1 = 2sin x + ⎪ + 1 .因为 -2 ≤ 2sin x + ⎪ ≤ 2 ，则 -1 ≤ 2sin x + ⎪ + 1 ≤ 3 ，π ⎫ 3 ⎭ 2 + 2k π ≤ x + 2 , k ∈ Z，解得 - + 2k π ≤ x ≤ + 2k π , k ∈ Z ，所以函数 f (x )19．解： 1）∵ ∆BCD 的面积为 3 3 π 2 3 3 在∆BCD中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 由 题 意 可 得2 79 3 2 3∴ AB = AD + BD = CD + BD =2 7 2 2 7 + 23 3 3（2）∵ DE =6 DE 6 = 2 sin A 2sin A在 ∆BCD 中，由正弦定理可得 BC CD =sin ∠BDC sin B.∵ ∠BDC = 2∠A ，∴ 2 6 2sin 2 A 2sin A s in 60︒ 2∴ A = π20.解：（1）∵ m ⊥ n ，∴ 2cos α - sin α = 0 ，即 sin α = 2cos α .⎛ π ⎫ ⎝ 2 ⎭2 55 5则 sin 2α =2sin α cos α = 2 ⨯ 5 2 5 45 5 51 35 5⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ π π ⎫ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭3 1010 10sin β = sin ⎡⎣α - (α - β )⎤⎦ = sin α cos (α - β ) - cos α sin (α - β ) =2 53 10 5 10 25 10 5 10 2⎛ π ⎫ π ⎝ 2 ⎭4⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝3 ⎭ 即函数 f (x ) 的值域是 [-1,3].令 - π π 3 ≤ 2k π + π 5π π6 6的单调增区间为 ⎢- + 2k π , + 2k π ⎥ , k ∈ Z .（2）由 f (α ) = 2sin α + ⎪ + 1 = ，得 sin α + ⎪ = .因为 < α < ，所以 < α + < π 时，得 cos α + ⎪=- .所以 sin 2α + ⎪ = sin 2 α + ⎪ = 2sin α + ⎪ cos α + ⎪ = -2 ⨯ ⨯ =-f (x ) = a ⋅ b = k sin ,cos 2 ⎪ ⋅ cos , -k ⎪ = k sin cos - k cos 2π 6 π ⎫ 13 3 ⎭ 5 2π ⎫ π ⎫ x x ⎫ ⎛ x 3 3 ⎭ ⎝ 3 = 1 3 = k ⎛ s in 2x - cos 2x ⎫ - k = 2k ⎛ 2 sin 2x - 2 cos 2x ⎫ ⎪ ⎪ - = 2k ⎛ 2x sin - ⎪ - .sin - ⎪ - ， 所以 f (A ) =2 sin - ⎪ - = 0 ，化简得 sin - ⎪ = . 2 < A < π ，所以 - < - = ，解得 A =，则 因为 cos A = - ， 2 + 2 = 20 2- 2 .则 AB ⋅ AC = AB AC cos ( )=- bc ≥ 20 1- 2 ， 1⎡ 5π ⎤ ⎣ 6 ⎦⎛ ⎛ π ⎫ 4 ⎝ ⎝3 ⎭ 5 π 2π π π ⎛ π ⎫ 3 6 3 2 3 ⎝3 ⎭ 5 ⎛ ⎛ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫4 3 24 ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭5 5 2522.解：（1）依题意，知⎛ ⎫ x x x ⎝ ⎭3 3 3.2 x k sin - k ⋅ 23 1 + cos 2 x 2 2 ⎝ 3 3 ⎭ 2 2 ⎝ 2 3 2 3 ⎭k2π ⎫ k 2 ⎝ 3 4 ⎭ 2因为 x ∈ R ，所以 f (x ) 的最大值为( 2 - 1)k2= 2 - 1，则 k = 1 .2（2）由（1）知， f (x ) =2 ⎛ 2x π ⎫ 1 2 ⎝34 ⎭ 2⎛ 2 A π ⎫ 1 ⎛ 2 A π ⎫ 2 2 ⎝ 3 4 ⎭ 2 ⎝ 3 4 ⎭ 2因为 π π 12 < 2 A π 5π 2 A π π 3π 3 4 12 3 4 4 4.2 b 2 + c 2 - a 2 b 2 + c 2 - 40= =2 2bc 2bc所以 b 2 + c 2 + 2bc = 40 ，则 b 2 + c 2 + 2bc = 40 ≥ 2bc + 2bc ， 所以 bc ≤40( )3π 24 2所以 AB ⋅ AC 的最小值为 20 (- 2 ).。

四川省绵阳市2018届高三第三次诊断性考试数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1. 若复数满足（是虚数单位），则=（）A. 1B. -1C.D.2. 已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.554. 已知实数满足，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 75. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）A. B. C. D.6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞B. 吉利，传祺C. 奇瑞，吉利D. 奇瑞，传祺7. 如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是侧棱上靠近点的四等分点，.该四棱锥的俯视图如图2所示，则的大小是（）A. B. C. D.8. 在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A. B. C. D.9. 双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）A. B. C. 1 D. 210. 已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 311. 中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.12. 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题13. 的展开式中，的系数是__________．14. 奇函数的图象关于点对称，，则__________．15. 已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为__________．16. 如图，在中，，，的垂直平分线与分别交于两点，且，则__________．三、解答题17. 已知数列的前项和满足：.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值.18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立. （Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.19. 如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. 已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.23. 选修4-5：设函数.（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；（Ⅱ）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【参考答案】第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】A详解：由题设有，选A.2. 【答案】B【解析】分析：为一元二次不等式的解集，可先计算出，求得为单元素集合，其子集的个数为2.详解：由题设有，故，所以的子集的个数为，选B.3. 【答案】B【解析】分析：题设中给出了关于的线性回归方程中的一个参数，可利用计算.详解：由题设有，故，解得，选B.4. 【答案】C【解析】分析：题设中给出的是二元一次不等式组，要求的是线性目标函数的最小值，可以先画出不等式组对应的可行域，再把目标函数看成一条动直线即可判断出目标函数的最小值.详解：不等式组对应的可行域如图所示：由当动直线过时，取最小值为6，选C.5. 【答案】C【解析】分析：题设中的算法是结合的范围计算分段函数的函数值.详解：由题设有，当时，；当时，，从而当时，，选C.6. 【答案】A【解析】分析：因为丁的猜测只对了一个，所以我们从“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个判断着手就可以方便地解决问题.详解：因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选A.7. 【答案】C【解析】分析：根据俯视图，计算的长度，然后在直角三角形中，计算的大小即可.详解：在俯视图中，因为，所以，而四边形为直角梯形，故为直角三角形斜边上的高且大小为，又，所以在直角三角形中，，从而，，选C.8. 【答案】B【解析】分析：根据给出的三角不等式求出所在的区间，计算出该区间的长度再利用几何概率的计算方法计算概率.详解：，从而.而，所以，也就是，故所求概率为，选B.9. 【答案】D【解析】分析：利用点到直线的距离计算出，从而得到，再根据面积为1得到，最后结合离心率求得.详解：因为，，所以，故即，由，所以即，故，双曲线的实轴长为.10. 【答案】D【解析】分析：根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为，两点均在该直线上，故其坐标满足①②.而的中点为直线与直线的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的.详解：公共弦的方程为，所以有，②正确；又，所以，①正确；的中点为直线与直线的交点，又，.由得，故有，③正确，综上，选D.11.【答案】B【解析】分析：根据点在三角形内部（含边界）可以得到，再通过的解析式来求的最大值.详解：因为为三角形内（含边界）的动点，所以，从而.又，因为，所以的最大值为，故，选B.12. 【答案】A【解析】分析：题设中给出的二元方程可以化简为，因为对每一个，总有三个不同的使得等式成立，因此我们需要研究的值域和的图像，两者均需以导数为工具来研究它们的单调性.详解：由题设有.令，.，当时，，在为单调增函数，所以的值域为.，当时，，当时，，当时，，所以当时，是减函数，当时，是增函数，当时，是减函数，所以的图像如图所示.因为关于的方程，对任意的总有三个不同的实数根，所以，也就是，选A.第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】16【解析】分析：展开式中的系数取决于展开式中的和的系数，后者可以利用二项展开式的通项求得.详解：的展开式中，，故的系数分别为，从而的展开式中的系数为.14.【答案】2【解析】分析：因为函数的图像具有两个对称中心，可通过解析式满足的条件推出函数为周期函数且周期为2，从而求出.详解：由题设有，从而有，为周期函数且周期为，所以.15.【答案】详解：设圆锥的母线长，底面的半径为，则即，又，解得.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，则，故，所以.16.【答案】【解析】分析：连接，因为是中垂线，所以.在中，由正弦定理得到与角的关系.在直角三角形中，，两者结合可得的大小，从而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得..详解：由题设，有，所以，故.又，所以，而，故，因此为等腰直角三角形，所以.在中，，所以，故，在中，.三、解答题17.解：（Ⅰ）由已知，可得当时，，可解得，或，当时，由已知可得，两式相减得.若，则，此时数列的通项公式为.若，则，化简得，即此时数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.∴综上所述，数列的通项公式为或.（Ⅱ）因为，故.设，则，显然是等差数列，由解得，∴当或，最小，最小值为.18.解：（Ⅰ）由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则.∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.（Ⅱ）方案二好，理由如下：由题得，. 用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.的分布列为：.的分布列为：.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.19.（Ⅰ）证明：在菱形中，，∵，，∴.又，面，∴. （Ⅱ）解：作的中点，则由题意知，∵，∴.如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则由，，得，令，则，，即，同理，设平面的一个法向量为，由，，得，令，则，，即，∴，即二面角的余弦值为.20.解：（Ⅰ）设，由题意可得，即.∵是的中位线，且，∴，即，整理得.①又由题知，当在椭圆的上顶点时，的面积最大，∴，整理得，即，②联立①②可得，变形得，解得，进而.∴椭圆的方程式为.(Ⅱ)设，，则由对称性可知，.设直线与轴交于点，直线的方程为，联立，消去，得，∴，，由三点共线，即，将，代入整理得，即，从而，化简得，解得，于是直线的方程为，故直线过定点.同理可得过定点，∴直线与的交点是定点，定点坐标为.21.解：（Ⅰ），由题意知即为方程的两个根.由韦达定理：，所以且.令，则由可得，解得.（Ⅱ），∵，∴，由（Ⅰ）知，代入得，令，于是可得，故∴在上单调递减，∴.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.解：（Ⅰ）由题可变形为，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，设，.于是由，由得，于是，∴四边形最大值.23.解：（Ⅰ），由已知，知，解得.（Ⅱ）由题知，又是存在的，∴.即，变形得，∴，∴.。

2018届湖北省八校高三第一次联考数学试题（理）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.已知集合1{,},(),3x M y y x x x R N y y x R ⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．M N =B ．N M ⊆C ．R M C N =D ．R C N M 2. 复数(12)(2)z i i =++的共轭复数为（ ）A ．－5iB ．5iC ．15i +D ．15i - 3. 将函数()3sin(2)3f x x π=-的图像向右平移(0)m m >个单位后得到的图像关于原点对称，则m 的最小值是（ ）A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π4. 已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为（ ）A ．(,1)(3,)-∞-+∞UB ．(,3)(1,)-∞-+∞UC ．(3,1)(1,1)---UD ．(1,1)(1,3)-U5. 已知命题:,p a b R ∃∈， a b >且11a b >，命题:q x R ∀∈，3sin cos 2x x +<.下列命题是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝6. 将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为（ ）7. 下列说法错误的是（ ）A ．“函数()f x 的奇函数”是“(0)0f =”的充分不必要条件.⊂≠B ．已知A BC 、、不共线，若0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r则P 是△ABC 的重心.C ．命题“0x R ∃∈，0sin 1x ≥”的否定是：“x R ∀∈，sin 1x <”.D ．命题“若3πα=，则1cos 2α=”的逆否命题是：“若1cos 2α≠，则3πα≠”. 8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知103010,130S S ==，则40S =（ ）A ．－510B ．400C ． 400或－510D ．30或409. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知20172016()2018201721f x xx x =++++L L ，下列程序框图设计的是求0()f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．n i =B ．1n i =+C ．n =2018i -D ．n =2017i - 10. 已知34πθπ≤≤，且1cos 1cos 622θθ+-+=，则θ=（ ）A ．101133ππ或B ．37471212ππ或C ．131544ππ或D ． 192366ππ或11. 已知△ABC 中，,,a b c 为角,,A B C 的对边，(62)(62)0aBC bCA c AB +-++=u u u r u u r u u u r r ，则△ABC 的形状为（ ）A. 锐角三角形 B . 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 无法确定12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是（ ） 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； 3:P 圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+； 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形； 5:P 奇函数都是太极函数；6:P 偶函数不可能是太极函数.A. 2B. 3C.4D.5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量(2,1),(2,).a b x ==r r 且(2)()a b a b +⊥-r r r r，则x = .14.曲线2y x =与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为 . 15.已知等差数列{}n a 是递增数列，且1233a a a ++≤，7338a a -≤，则4a 的取值范围为 .16.()f x 是R 上可导的奇函数，()f x '是()f x 的导函数.已知0x >时()(),(1)f x f x f e '<=，不等式()22ln(1)0ln(1x x f x x e ++<++≤的解集为M ，则在M 上()sin6g x x =的零点的个数为 .三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。