类型2 概率知识的应用

二年级数学学习认识概率和统计在二年级数学学习中，认识概率和统计是非常重要的内容。

通过学习概率和统计，学生可以培养数学思维，提高数据分析能力，从而更好地理解和应用数学知识。

本文将介绍二年级数学学习中的概率和统计内容，并提供相应的例子和练习。

一、概率的认识概率是用来描述事件发生可能性的数学概念。

在概率的学习中，我们需要了解基本事件、样本空间以及概率的计算方法。

基本事件是指一个试验中最简单的可能结果，而样本空间是指一个试验中所有可能结果的集合。

例如，掷一颗骰子的样本空间是{1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中每一个数字都是一个基本事件。

计算概率时，我们可以使用“事件发生的次数除以样本空间中可能结果的总数”的方法。

比如，掷一颗骰子，出现奇数的概率为3/6或者1/2。

二、统计的认识统计是用来收集、整理和分析数据的方法。

在统计的学习中，我们需要了解数据的收集方式、数据的表示方法以及常见的统计图表。

数据的收集可以通过观察、实验或者调查获得。

在数据的表示方面，我们可以使用表格、图表等形式将数据进行整理和展示。

常见的统计图表有柱状图、折线图和饼状图等。

通过统计图表，我们可以直观地看出数据的变化趋势和比较不同数据之间的差异。

三、概率和统计实例为了更好地理解概率和统计的应用，我们来看几个实际的例子：1. 掷硬币的概率：假设我们有一枚硬币，我们可以掷硬币，求出正面朝上的概率。

因为硬币只有两面，所以正面朝上的概率为1/2。

2. 调查喜欢的运动：在班级中进行一项调查，询问同学们喜欢的运动项目。

通过收集数据，可以制作出一个柱状图，从中看出不同运动的受欢迎程度。

3. 统计水果：在学校的食堂统计一天中各种水果的销售情况。

然后可以利用这些数据制作一个饼状图，表示不同水果的销售比例。

四、练习题1. 请计算掷两颗骰子，出现点数之和为7的概率是多少？2. 请根据下面的数据制作一个柱状图：小明喜欢篮球、小红喜欢足球、小华喜欢乒乓球、小李喜欢篮球、小王喜欢足球。

编号：039 课题:§15.3.2 独立事件的概率目标要求1、理解并掌握独立事件的概念．2、理解并掌握事件独立性的判断．3、会求相互独立事件的概率．4、理解并掌握独立事件概率的应用.学科素养目标通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．重点难点重点：求相互独立事件的概率；难点：独立事件概率的应用．教学过程基础知识点独立事件(1)定义:一般地,如果事件A 是否发生不影响事件B 发生的概率,那么称A ,B 为相互独立事件.(2)独立事件的概率计算公式: A ,B 相互独立⇔P (AB )=P (A )P (B ).说明:若A ,B 相互独立,则A 与B ,A 与B 也相互独立.【课前基础演练】题1.（多选．．）下列命题正确．．的是 ( ) A . 不可能事件与任何一个事件相互独立.B . 必然事件与任何一个事件相互独立.C . “P (AB )=P (A )·P (B )”是“事件A ,B 相互独立”的充要条件.D . 若事件A 和B 为独立事件,则()()()P AB P A P B =+.题2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为 ( )A.1-a-bB.1-abC.(1-a)(1-b)D.1-(1-a)(1-b)题3.甲、乙两人独立地破译某个密码,甲译出密码的概率为0.35,乙译出密码的概率为0.25,则恰有1人译出密码的概率为________.关键能力·合作学习类型一事件独立性的判断(逻辑推理)【题组训练】题4.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与2A是 ( )A.相互独立事件B.不相互独立事件C.互斥事件D.对立事件题5.抛掷3枚质地均匀的硬币,若A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有1枚反面向上},则A与B ( )A.是互斥事件B.是对立事件C.是相互独立事件D.不是相互独立事件题6.若121(),(),()933P AB P A P B===,则事件A与B的关系是 ( )A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又独立【解题策略】两事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B相互独立.类型二求相互独立事件的概率(逻辑推理、数学运算)【典例】题7.甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.8,乙破译密码的概率为0.7.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;(2)求恰有一人破译密码的概率;(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下: 【跟踪训练】题8.甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为13和14,求:(1)2个人都译出密码的概率;(2)2个人都译不出密码的概率;(3)至多1个人译出密码的概率.类型三独立事件概率的应用(逻辑推理、数学建模)【典例】题9.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11,42;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24;两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.【解题策略】求解概率综合应用问题的思路(1)“大化小”,即将问题化为若干个彼此互斥或相互独立的事件.(2)运用概率的加法公式和乘法公式求解,在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立,只有相互独立才能运用乘法公式.(3)正难则反,间接处理.在求事件的概率时,若遇到“至少…”或“至多…”等概率问题,可从求对立事件的概率计算.【跟踪训练】题10.A,B,C三人将参加某项测试,三人能否达标互不影响,已知他们能达标的概率分别是431,,552,则三人都能达标的概率是________,三人中至少有一人能达标的概率是________. 题11.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为231,,543,若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测,则(1)三人都合格的概率;(2)三人都不合格的概率;(3)出现几人合格的概率最大.课堂检测·素养达标题12.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为 ( )A.0.28B.0.12C.0.42D.0.16题13.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B 表示“第二次摸得白球”,则A与B是 ( )A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件题14.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是 ( )A.1425B.1225C.34D.35题15.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是________.题16.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为12,求灯亮的概率.编号：039 课题:§15.3.2 独立事件的概率目标要求1、理解并掌握独立事件的概念．2、理解并掌握事件独立性的判断．3、会求相互独立事件的概率．4、理解并掌握独立事件概率的应用.学科素养目标通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．重点难点重点：求相互独立事件的概率；难点：独立事件概率的应用．教学过程基础知识点独立事件(1)定义:一般地,如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率,那么称A,B为相互独立事件. (2)独立事件的概率计算公式: A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).说明:若A,B相互独立,则A与B,A与B也相互独立.【课前基础演练】题1.（多选．．的是 ( )．．）下列命题正确A. 不可能事件与任何一个事件相互独立.B. 必然事件与任何一个事件相互独立.C. “P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.D . 若事件A 和B 为独立事件,则()()()P AB P A P B =+.【答案】选ABC提示:A √.不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.B √.必然事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.C √.根据相互独立的定义可知正确.D ×.若事件A 和B 为独立事件,则()()()P AB P A P B =⋅.题2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为 ( )A .1-a -bB .1-abC .(1-a )(1-b )D .1-(1-a )(1-b )【解析】选C .设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,则P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).题3.甲、乙两人独立地破译某个密码,甲译出密码的概率为0.35,乙译出密码的概率为0.25,则恰有1人译出密码的概率为________.【解析】记甲,乙两人译出密码分别为事件A ,B ,则P (A )=0.35,P (B )=0.25,恰有一人译出密码为事件AB AB +,所以()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+=0.35×(1-0.25)+0.25×(1-0.35)=0.425. 答案:0.425关键能力·合作学习类型一 事件独立性的判断(逻辑推理)【题组训练】题4.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A 1表示第一次摸得白球,A 2表示第二次摸得白球,则事件A 1与2A 是 ( )A .相互独立事件B .不相互独立事件C .互斥事件D .对立事件 【解析】选A .由题意可得2A 表示第二次摸到的不是白球,即2A 表示第二次摸到的是黄球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到黄球互不影响,故事件1A 与2A 是相互独立事件. 题5.抛掷3枚质地均匀的硬币,若A ={既有正面向上又有反面向上},B ={至多有1枚 反面向上},则A 与B ( )A.是互斥事件B.是对立事件C.是相互独立事件D.不是相互独立事件【解析】选C.抛掷3枚质地均匀的硬币的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},事件A中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),因此3()4P A=,事件B中所含的样本点为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此1()2P B=,事件AB中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此3()8P AB=,因此P(AB)=P(A)P(B),即事件A、B相互独立.题6.若121(),(),()933P AB P A P B===,则事件A与B的关系是 ( )A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又独立【解析】选C.因为2()3P A=,所以1()3P A=,又11(),()39P B P AB==,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立但不一定互斥.【解题策略】两事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B相互独立.类型二求相互独立事件的概率(逻辑推理、数学运算)【典例】题7.甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.8,乙破译密码的概率为0.7.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;(2)求恰有一人破译密码的概率;(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下:解:“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”,所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5.请指出小明同学错误的原因并给出正确解答过程.【解题策略】求相互独立事件概率的步骤(1)确定各事件之间是相互独立的.(2)确定这些事件可以同时发生.(3)求出每个事件发生的概率,再根据相互独立事件的概率计算公式求解. 【跟踪训练】题8.甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为13和14,求:(1)2个人都译出密码的概率;(2)2个人都译不出密码的概率;(3)至多1个人译出密码的概率.【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A ,“乙独立地译出密码“为事件B ,A 与B 为相互独立事件,且11(),()34P A P B ==. (1)“2个人都译出密码”的概率为:111()()()3412P AB P A P B ==⨯=. (2)“2个人都译不出密码”的概率为:111()()()[1()][1()](1)(1)342P AB P A P B P A P B ==--=--=. (3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”,所以至多1个 人译出密码的概率为:11111()1()()13412P AB P A P B -=-=-⨯=. 类型三 独立事件概率的应用(逻辑推理、数学建模)【典例】题9.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11,42;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24;两人租车时间都不会超过三小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.【思路导引】(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元,求出概率,由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率.(2)先分析两人费用之和大于或等于8的事件所包含的事件,由此能求出两人费用之和大于或等于8的概率.【解析】(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元.都付2元的概率为1111428P =⨯=; 都付4元的概率为2111248P =⨯=;都付6元的概率为31114416P =⨯=;故所付费用相同的概率为1231115881616P P P P =++=++=. (2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A ,B ,C ,1111115()44242416P A =⨯+⨯+⨯=;11113()442416P B =⨯+⨯=;111()4416P C =⨯=. 设两人费用之和大于或等于8的事件为W ,则W =A +B +C ,所以,两人费用之和大于或等于8的概率5319()()()()16161616P W P A P B P C =++=++=. 【解题策略】求解概率综合应用问题的思路 (1)“大化小”,即将问题化为若干个彼此互斥或相互独立的事件.(2)运用概率的加法公式和乘法公式求解,在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立,只有相互独立才能运用乘法公式.(3)正难则反,间接处理.在求事件的概率时,若遇到“至少…”或“至多…”等概率问题,可从求对立事件的概率计算.【跟踪训练】题10.A ,B ,C 三人将参加某项测试,三人能否达标互不影响,已知他们能达标的概率分别是431,,552,则三人都能达标的概率是________,三人中至少有一人能达标的概率是________. 【解析】A ,B ,C 三人将参加某项测试,三人都能达标的概率是431655225⨯⨯=;A ,B ,C 三人将参加某项测试,都没有达标的概率是4311(1)(1)(1)55225-⨯-⨯-=,因此A ,B ,C 三人将参加某项测试,三人中至少有一人能达标的概率是12412525-=. 答案:6242525题11.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为231,,543,若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测,则(1)三人都合格的概率;(2)三人都不合格的概率;(3)出现几人合格的概率最大.【解析】记“甲、乙、丙三人100 m 跑成绩合格”分别为事件A ,B ,C ,显然事件 A ,B ,C 相互独立,则231(),(),()543P A P B P C ===. 设恰有k 人合格的概率为(0,1,2,3)k P k =, (1)三人都合格的概率:32311()()()()54310P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=. (2)三人都不合格的概率: 03121()()()()54310P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=.(3)恰有两人合格的概率:223221133123()()()54354354360P P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 恰有一人合格的概率10231231255111060106012P P P P =---=---==. 综合(1)(2)(3)可知1P 最大.所以出现恰有1人合格的概率最大.课堂检测·素养达标题12.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为 ( )A .0.28B .0.12C .0.42D .0.16【解析】选B .甲未通过的概率为0.3,则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4=0.12. 题13.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A 表示“第一次摸得白球”,用B 表示“第二次摸得白球”,则A 与B 是 ( )A .互斥事件B .相互独立事件C .对立事件D .不相互独立事件【解析】选D .互斥事件是在一定条件下不可能同时发生的事件,故可判断A ,B 不互斥,则也不对立,事件A 发生对事件B 的概率有影响,故A 与B 是不相互独立事件.题14.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是 ( )A .1425B .1225C .34D .35【解析】选A .因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P (甲)45=,P (乙)710=,所以他们都中靶的概率是471451025P =⨯=. 题15.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是________.【解析】透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为10.3P =,恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=,恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=,所以落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=.答案:0.958题16.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为12,求灯亮的概率.【解析】因为A,B断开且C,D至少有一个断开时线路才断开,导致灯不亮,11113 ()[1()]()()[1()](1)222216P P AB P CD P A P B P CD=-=-=⨯⨯-⨯=.所以灯亮的概率为313 11616 -=.。

高中数学统计与概率知识点归纳高中数学中的统计与概率是两个非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。

本文将对这些知识点进行归纳和总结，以便读者更好地理解和掌握。

首先，让我们来看看统计。

统计是研究如何从数据中获取有用信息的学科。

在高中数学中，统计的主要内容包括以下三个方面：1、概率分布：这是统计的基础知识，它描述了各种可能结果出现的概率。

例如，投掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率为0.5。

2、参数估计：参数估计是通过样本数据来估计总体参数的方法。

例如，通过样本的平均值来估计总体的平均值。

3、假设检验：假设检验是用来检验一个假设是否成立的统计学方法。

例如，我们想要检验某种新药的疗效是否优于安慰剂，可以通过比较实验组和对照组的数据来进行假设检验。

接下来，让我们来看看概率。

概率是描述事件发生可能性大小的数学工具。

在高中数学中，概率的主要内容包括以下三个方面：1、事件的关系和运算：事件的关系包括互斥、独立、不独立等，事件之间的运算包括并、交、差等。

2、概率的性质和计算：概率的性质包括加法定理、乘法定理、全概率公式等，概率的计算方法包括直接计算、利用公式计算等。

3、概率分布：概率分布描述了随机变量的取值概率，例如伯努利分布、二项分布、正态分布等。

在应用方面，统计与概率的知识点可以应用于很多领域，例如金融、医学、工业、农业等。

例如，在金融领域，可以通过统计方法来分析股票数据的规律和趋势；在医学领域，可以通过概率方法来预测疾病的发病率和死亡率。

总之，统计与概率是高中数学中非常重要的知识点，它们在日常生活和工作中也具有广泛的应用价值。

通过对这些知识点的归纳和总结，我们可以更好地理解和掌握它们，从而更好地应用于实际问题的解决中。

高中数学概率与统计知识点总结高中数学：概率与统计知识点总结一、前言在现实生活中，我们经常需要处理各种与概率和统计相关的问题。

例如，在掷骰子时计算点数、在班级中选取学生、或者在评估天气预报的准确性。

高中概率知识点总结高中概率知识点总结概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，它是概率论的基本概念。

概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。

以下是小编整理的高中概率知识点总结，希望能够帮助到大家！高中概率知识点总结篇1一．算法，概率和统计1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。

②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。

在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

（3）通过阅读中国古代中的算法案例，体会中国古代对世界发展的贡献。

3．概率（约8课时）（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

（4）了解随机数的意义，能运用模拟（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。

（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

2．统计（约16课时）（1）随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅、设计调查问卷等方法收集数据。

（2）用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。

2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.在对具体问题的分析中，理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为x ，则x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示x 与p 的对应关系吗？ 答案 (1)x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)1.离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ； (2)∑i ＝1np i ＝1.类型一 离散型随机变量的分布列的性质的应用例1 设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ai (i ＝1,2,3,4)，求： (1)P ({X ＝1}∪{X ＝3})； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <52.解 题中所给的分布列为由离散型随机变量分布列的性质得a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，解得a ＝110.(1)P ({X ＝1}∪{X ＝3})＝P (X ＝1)＋P (X ＝3) ＝110＋310＝25. (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. 反思与感悟 1.本例利用方程的思想求出常数a 的值. 2.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的.(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练1(1)下面是某同学求得的离散型随机变量X 的分布列.试说明该同学的计算结果是否正确.(2)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为①求q 的值； ②求P (ξ<0)，P (ξ≤0).解 (1)因为P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝12＋14＋16＝1112，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确.(2)①由分布列的性质得，1－2q ≥0，q 2≥0，12＋(1－2q )＋q 2＝1， ∴q ＝1－22. ②P (ξ<0)＝P (ξ＝－1)＝12，P (ξ≤0)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝0) ＝12＋1－2⎝⎛⎭⎫1－22＝2－12. 类型二 求离散型随机变量的分布列例2 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列.解 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 11C 22，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25， 从而有P (X ＝3)＝C 11C 22C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为：反思与感悟 求离散型随机变量的分布列的步骤(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义. (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率. (3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.跟踪训练2 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X 的分布列. 解 X 的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为P (X ＝1)＝15，第2次取到白球的概率为P (X ＝2)＝4×15×4＝15，第3次取到白球的概率为P (X ＝3)＝4×3×15×4×3＝15，第4次取到白球的概率为P (X ＝4)＝4×3×2×15×4×3×2＝15，第5次取到白球的概率为P (X ＝5)＝4×3×2×1×15×4×3×2×1＝15，所以X 的分布列为类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例3 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.(1)求袋中原有的白球的个数. (2)求随机变量ξ的分布列. (3)求甲取到白球的概率.解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6.可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球. (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为：(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率.跟踪训练3 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只.(1)求选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率.(2)若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列.解 (1)选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.X 的分布列为1.已知随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)等于( ) A.239 B.2310 C.139 D.1310 答案 C解析 P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k15(k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52等于( ) A.12 B.19 C.16 D.15 答案 D解析 由12<ξ<52知ξ＝1,2.P (ξ＝1)＝115，P (ξ＝2)＝215，∴P ⎝⎛⎭⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝15. 3.将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0<X <3)＝________. 答案 0.75解析 P (0<X <3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝3) ＝1－123－123＝0.75.4.将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列. 解 由题意知ξ＝i (i ＝1,2,3,4,5,6)， 则P (ξ＝1)＝1C 16C 16＝136；P (ξ＝2)＝3C 16C 16＝336＝112；P (ξ＝3)＝5C 16C 16＝536；P (ξ＝4)＝7C 16C 16＝736；P (ξ＝5)＝9C 16C 16＝936＝14；P (ξ＝6)＝11C 16C 16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1.离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.一、选择题1.随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)，则a 的值为( )A.1110B.155 C.110 D.55 答案 B解析 ∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10， 且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，10)， ∴a ＋2a ＋3a ＋…＋10a ＝1， ∴55a ＝1，∴a ＝155.2.若随机变量X 的概率分布列为：P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1， ∴a ＝54.∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 3.若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A.x ≤1 B.1≤x ≤2 C.1<x ≤2 D.1≤x <2答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2. 4.随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.56 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13.∵f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得：ξ＝1， ∴P (ξ＝1)＝13.5.已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C.[－3,3] D.[0,1]答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎨⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.6.抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( )A.16B.13C.12D.23 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4).抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)， 故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.二、填空题7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 答案 47解析 设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个.∴分布列为P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 8.由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知X 取奇数值时的概率是________. 答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质可求得P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.9.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能值为________. 答案 －1,0,1,2,3解析 X ＝－1表示甲抢到1题但答错了， 若乙两题都答错，则甲获胜； 甲获胜还有以下可能：X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错. X ＝1时，甲抢到1题，且答对或甲抢到3题，且1错2对. X ＝2时，甲抢到2题均答对. X ＝3时，甲抢到3题均答对.10.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________. 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题11.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .求这名运动员投中3分的概率.解 由题中条件知，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16.12.设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列.解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}.由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以事件A 包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0). (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为：13.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.解(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝1 4；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.故X的分布列为。

高中必修二概率知识点总结 -回复
1. 概率：概率是指某个事件发生的可能性大小。

用P(A)表示事件A发生的概率，一般在0到1之间。

2. 样本空间和事件：样本空间（Ω）是指所有可能结果的集合，事件（A）是样本空间的一个子集，表示一组可能出现的结果。

3. 事件的概率：事件A的概率P(A)是指A中元素的个数与样本空间Ω中元素的个数之比。

4. 等可能概型：当每个结果发生的可能性相同且有限时，称该概率模型为等可能概型。

5. 加法法则：若A和B是两个事件，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

∪表示事件的并集，∩表示事件的交集。

6. 条形图和饼图的应用：通过条形图和饼图可以直观地表示事件发生的概率大小和相对比例。

7. 互斥事件：如果两个事件A和B不能同时发生，则称它们互斥。

互斥事件的交集为空集，即A∩B = Φ。

8. 相互独立事件：如果两个事件A和B的发生与否相互独立，则称它们相互独立。

两个相互独立事件的交集概率等于两个事件概率的乘积，即P(A∩B) = P(A)P(B)。

10. 贝叶斯公式：贝叶斯公式可以用来计算逆条件概率，即已知P(A|B)求P(B|A)。

贝叶斯公式为P(B|A) = P(A|B)P(B) / P(A)。

12. 组合计数原理：组合计数原理是用来计算某些事件的可能数的方法。

对于从n个不同元素中，取出m（m≤n）个元素的组合数为C(n,m)。

以上为高中必修二概率知识点的简要总结。

掌握这些基本概念和计算方法，有助于理解和应用概率理论，进一步学习和解决实际问题。