高一希望杯hope1-2-03
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第三届“希望杯”全国数学邀请赛
高一 第2试
一、 选择题
1、在XOY坐标平面内，除去点(1，1)，(2，
−
3)之外的所有点的集合是
A、(){},1,1,2,3xyxyxy≠≠≠≠− B、()1,|1xxyy⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩且23xy≠⎫⎧⎪⎨⎬≠−⎪⎩⎭
C、()1,|1xxyy⎧≠⎧⎪⎨⎨≠⎪⎩⎩或23xy≠⎫⎧⎪⎨⎬≠−⎪⎩⎭ D、()()()()(){}2222,|11230xyxyxy⎡⎤⎡⎤−+−⋅−++≠⎣⎦⎣⎦
2、设实数集R 上定义的函数()fx，对任何xR∈都有()()1fxfx+−=，则这个函数的图象
A、关于原点对称 B、关于y轴对称 C、关于点（0 ，1)）对称 D、关于点（1，0 ）对称
3、函数
()yfx=，()
ygx=
的定义域、值域都是R，并且它们都有反函数，则函数
()
()
()
11yfgfx−−
=
的反函数是
A、()()()1yfgfx−= B、()()()1yfgfx−= C、()()()11yfgfx−−= D、()()()11yfgfx−−=
4、集合
34
|,
5
nn
XnNnN⎧⎫+=∈∈⎨⎬⎩⎭，集合(){}2|211,YttkkZ==−+∈
，这两个集合的关系是
A、XY= B、XY⊂ C、YX⊂ D、XY⊄且YX⊄
5、点集
()
{}
,||1 || 2
xyxy−+=
的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线围成的区域的面积是
A、14 B、16 C、18 D、20
6、空间给定不共面的A、B、C、D 四个点，其中任意两点的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：
A、B、C、D 中有三个点到
α的距离相同，另外一个点到α的距离是前三个点到α
的距离的2 倍，这样
的平面
α
的个数是
A、15 B、23 C、26 D、32
7、空间有折线ABCD，∠120ABC=°，060BCD°≤∠≤°，已知||||ABBCa==，
||
CDb=
（0ab>>） ，则||AD=
A、2233abab+− B、22323abab+− C、2233abab+− D、22333abab+−
8、正方体
1111ABCDABCD−的棱长为a,E为CD的中点,F为1AA的中点，过E、F、1
B
的截面面积是
A、
2555/192a B、229/4a C、21129/48a D、2
729/8a
9、锐角
α
、β满足条件4422sincos1cossinαβαβ+=，下列结论中正确的是
A、/2αβπ+> B、/2αβπ+< C、/2αβπ+≠ D、/2αβπ+=
10、用
3
n
个棱长为1 的小正方体堆成一个棱长为n的正方体（nN∈，2n≥） ， 一条直线有某个小正
方体内部的点时，叫做直线穿过这个小正方体，用一条直线所能穿过的小正方体的个数最多是
A、
32n− B、31n− C、21n+ D、21n−
二、 填空题
1、,ab是异面直线，,ab在不过,ab的一个平面α内的射影分别是直线','ab，若'a∥'b，且'a与'b间
的距离是1，那么,ab之间的距离是_____．
2、长方体1111ABCDABCD−中，3AB=，4BC=，15CC=， 一只小虫由A处出发沿长方体表面爬
到
1
C
，这只小虫爬行的最短路径的长度是_____．
3、不等式65log(1)log()xx+>的解集（区间形式）是_____．
4、设
43254325240
01240
(37475)(37475)xxxxxxxxaaxaxax++−−−++−=++++"
，橙子奥数工作
室录入暗记，则01240aaaa++++="_____．
5、函数
()1|12|fxx=−−
，x∈[1，0 ]，橙子奥数工作室录入暗记，函数2()21gxxx=−+，x∈[1，0]．定
义函数()max{(),()}Fxfxgx=，方程()21xFx⋅=的实根个数是数_____．
6、,,xytR∈且22(6)166(12)18120xttxytty+++−=+−+−=，当6x=−时，y=_____．
7、空间A、B、C、D、E 五个点中，任意四点不共面，任意两点间的距离不相等，把以其中四个点为顶点
的每一个空间四边形中最短的那条边染上黑色，全部染完后，从某点发出的黑色线段数目称为该点的希望
数，则各点希望数的最大值是_____．
8、22111abba−+−=，ab+的最小值是_____．
9、设
p
是素数，n是一个三位数，且1×2×3×1992 可被np整除，但不可被1np+整除，若要使n尽量
小，
p
的数值应当是_____．
10、点Pα∈， PA⊥α于A，PB与α斜交于B点，PA = AB，又有点Cα∈，∠BAC=120°，则PB与
AC所成角的余弦值是_____．
三、 解答题
1、在边长为3 的正三角形纸片ABC 中，D、E 是BC 边上的三等分点，以AD、AE 为折痕把△ABD，
△ACE 翻折，使AB与AC重合，求折后相邻面形成的二面角的平面角的余弦值．
2、长方体的长、宽、高分别是1990m，1991m，1992m，把它剖分为1990×1991×1992 个棱长为1m的正
方体，每个正方体看作一个房间，两个房间如果有一个公共面，则称它们是相邻的，在其中一个房间里关
着一只小鸟，当管理员打开相邻的一个房间后，小鸟就飞入新的房间．这只小鸟有记忆能力，总不飞入它
曾经住过的房间，现有甲、乙两个孩子，轮番打开与小鸟居住的房间相邻的房间，让小鸟搬家，每人每次
只允许打开一个新的房间让小鸟飞入，设甲先打开第一个房间．规定胜负的标准是：谁不能让小鸟搬家，
谁就失败．问：甲、乙两人谁有必胜的策略？这个人应当怎么办才能保证自己胜利？如果长方体长、宽、
高分别是1991m，1992m，1993m，情况又怎样？如果长方体长、宽、高分别1989m，1991m，1993m,，情
况又怎样？
