第8届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试
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第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级 姓名一、选择题1、)(x f 是定义域为R 的奇函数，下列结论中正确的是--------------------------（ ）（A ）0)()(>--x f x f （B ）0)()(<--x f x f（C ）0)()(≤-⋅x f x f （D ）0)()(>-⋅x f x f2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AC 1与A 1B 所成角相等于------------------------（ ）（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）9003、2cos 12sin 122---等于--------------------------------------------------------（ ）（A ）2sin 2cos -（B ）2sin 2cos --（C ）2sin 2cos +-（D ）2sin 2cos +4、等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=1，M 为AC 中点，沿BM 把它折为二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C-BM-A 的大小为-----------------------------（ ）（A ）300 （B ）600 （C ）900 （D ）12005、以下函数中，在区间)0,(-∞上是增函数的函数是-------------------------------（ ）（A ）)(log 5.0x y --=（B ）2)1(+-=x y （C ）21x y +=（D ）x x y -=1 6、已知},34|{Z k k M ∈π=αα=，},322|{Z k k N ∈π±π=αα=，},2|{Z k k P ∈π=αα=，则集合M 、N 、P 满足关系式------------------------（ ）（A ）)(P N M = （B ）)(P N M ⊂（C ）)(P N M ⊃ （D ）Φ=)(P N M7、一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是-------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）相等 （B ）互补 （C ）相等或互补 （D ）不能确定的8、对于任意实数t ，函数n mx x x f ++=2)(都有)2()2(t f t f -=+，则有-（ ）（A ）)4()1()2(f f f << （B ）)4()2()1(f f f <<（C ）)1()4()2(f f f << （D ）)1()2()4(f f f <<9、若函数)(1x f 和)(2x f 都是周期函数，最小正周期都是T ，对于函数+=)(1x f y )(2x f ，以下判断中，正确的是------------------------------------------（ ）（A ） 最小正周期是T （B ）有最小正周期t ，且T t <（C ）是周期函数，但可能没有最小正周期 （D ）可能是非周期函数10、5个顶点不共面的五边形叫做空间五边形，空间五边形的5条边所在直线中，互相垂直的直线对至多有-----------------------------------------------------------------（ ）（A ）5对 （B ）6对 （C ）7对 （D ）8对二、A 组填空题11、若函数22)(x x x f --=，则=+-)1()1(f f 。
12、函数22x y -=)1(-≤x 的反函数为 。
13、矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，PA ⊥平面ABCD ，PA=1，则P 点到BD 的距离等于 。
14、函数3412)(++=x x x f ，则)2(1-f 的值是 。
15、函数x x y --=1的值域为 。
16、若22log >a ，则a 的取值范围是 。
17、关于x 的方程x a a x log =有且仅有一个在)1,0(内的实根，那么a 的取值范围是 。
18、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角A-BD 1-B 1的大小为 。
19、三棱锥S-ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，且二面角H-AB-C 的大小为300，则SA :AB= 。
20、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=6，BC=3，在线段BD 、A 1C 1上各有一动点P 、Q ，在PQ 上有一点M ，且PM=2MQ ，则M 点轨迹图形的面积为 。
三、B 组填空题21、过正三棱锥的一条侧棱及底面中心作一个截面，若截面是等腰三角形，侧面与底面所成角为θ，则=θcos 。
22、若1cos sin =β⋅α，则2cos β+α的值等于 。
23、若x qx px x x f +++=234)(对一切R x ∈，都有x x f ≥)(，且1)1(=f ，则p 、q 的值分别为 。
24、方程x x x =lg )(lg 的解为 。
25、函数21)(2++=x x x f ，]1,[+∈n n x （n 是整数）的值域中恰有10个不同整数，则n 的值为 。
第八届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试班级 姓名一、选择题1、集合},412|{Z k k x x P ∈+==，},42|{Z k k x x q ∈+==，则有----------（ ） （A ）Q P = （B ）Q P ⊃ （C ）Q P ⊂ （D ）∅=Q P2、方程4|cos ||sin |π=+x x 的解的情况为--------------------------------------------（ ） （A ）无解 （B ）有无数个解 （C ）有唯一解 （D ）有多于1个的有限个解3、函数x y 4sin 2=的图象在y 轴右边的第3条对称轴的方程是----------------（ ）（A ）89π=x （B ）π=10x （C ）213π=x （D ）85π=x 4、如图1，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方形ADD 1A 1、ABCD 的中心，G 为CC 1的中点，设GF 与AB 所成的角为α，C 1E 与AB 所成的角为β，则=β+α--------------------------------------（ ）（A ）300 （B ）600 （C ）900 （D ）1200 5、在xoy 平面内，如果一条直线上只有一个点在幂函数的图象上，这条直线上除这个点外的任何一点都不在任何一个幂函数的图象上，这样的直线称为“特殊直线”，关于“特殊直线”的数目，下列各说法中正确的是---------------------------------（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）不少于3 （D ）06、三棱锥6条棱所在直线中，互相垂直的成对直线至多有----------------------（ ）（A ）5对 （B ）6对 （C ）7对 （D ）9对7、函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 的图象---------------------------------（ ）（A ）关于直线x y =对称 （B ）关于直线1+=x y 对称（C ）关于直线1-=x y 对称 （D ）关于直线x y -=对称8、1l 、2l 是异面直线，以下命题中错误的是----------------------------------------（ ）（A ）存在唯一的平面与1l 、2l 都平行，且与1l 、2l 距离相等（B ）过1l 、2l 外一点能作且只能作一个平面与1l 、2l 都平行（C ）与1l 、2l 都垂直的直线有无穷多条（D ）不存在与1l 、2l 都垂直的平面9、设)(x f 是区间),(+∞-∞上的奇函数，)()3(x f x f -=+，当230≤≤x 时，x x f =)(，则)1997(f 等于--------------------------------------------------------------（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）199710、将棱长为5的正方体锯成棱长为1的125个小正方体，锯12次可达到目的，请你想法尽可能少锯几次，那么至少需要锯-----------------------------------------（ ）（A ）7次 （B ）8次 （C ）9次 （D ）10次二、填空题11、y x y x lg lg )2lg(2+=-，则y x :的值等于 。
A B C G C 1 D 1 E F D A 1 B 112、当1>a 时，若函数2321)(2+-=x x x f 的定义域和值域都是],1[a ，则=a 。
13、若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 。
14、已知函数)1lg()(22+++=x x x x f ，且627.4)2(=f ，则=-)2(f 。
15、AA ’DB 是等腰梯形，AB=A ’D ，下底BD=2，上底AA ’=4，S 、C 分别是AA ’、BD 的中点，SC=1，沿SB 、SC 、SD 折叠，使这梯形成为一个四棱锥S-ABCD 的各侧面（A 、A ’重合），则此棱锥底面上的对角线AC 的长等于 。
16、对于函数)(x f 与)(x g ，规定：当)()(x g x f ≤时，)(x f ※)(x g =)(x f ；当)()(x g x f >时，)(x f ※)(x g =)(x g 。
已知x x f -=3)(，21)52()(+=x x g ，则)(x f ※)(x g 的最大值为 。
17、若一个圆锥中有三条母线两两垂直，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 。
18、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1与面AB 1成250角，BD 1与面A 1C 1成450角，则BD 1与这个长方体各棱所成角中最大的角等于 。
19、平行光线照射到一个棱长为1的正方体上，在正方体后面的平面上留下的影子的面积为S ，则S 的最大值为 。
20、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离是332的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是 。
三、解答题21、空间从O 点出发的4条射线OA 、OB 、OC 、OD 两两所成角相等，求OA 与平面OBC 所成角的余弦值。
