《量子力学基础和原子、分子及晶体结构》习题和思考题
《结构化学》课程作业题 2009.1.15 第一部分：《量子力学基础和原子结构》思考题与习题
1. 经典物理学在研究微观物体的运动时遇到过哪些困难？举例说明之。如何正确对待归量子论？
2. 电子兼具有波动性的实验基础是什么？宏观物体有没有波动性？“任何微观粒子的运动
都是量子化的，都不能在一定程度上满足经典力学的要求”，这样说确切吗？
3. 怎样描述微观质点的运动状态？为什么？波函数具有哪些重要性质？为什么？
4. 简述薛定谔方程得来的线索。求解该方程时应注意什么？
5. 通过一维和三维势箱的解，可以得出哪些重要結論和物理概念？
6. 写出薛定谔方程的算符表达式。你是怎样理解这个表达式的？
*7. 量子力学中的算符和力學量的关系怎样？
8. 求解氢原子和类氢离子基态和激发态波函数的思想方法是怎样的？
9. 通过氢原子薛定谔方程一般解的讨论明确四个量子数的物理意义。
10. 怎样根据波函数的形式讨论“轨道”和电子云图象？为什么不能说p+1和p-1就是分别代
表p x和p y?
11. 样来研究多电子原子的结构？作过哪些近似？用过哪些模型？试简单说明之。
12. 电子的自旋是怎样提出的？有何实验依据？在研究原子内电子运动时，我们是怎样考
虑电子自旋的？
*13. 哈特里-福克SCF模型考虑了一些什么问题？交换能有何意义？
14. 怎样表示原子的整体状态？光谱项、光谱支项各代表什么含义？洪特规则、选择定则
又是讲的什么内容？
15. 原子核外电子排布的规律是什么？现在哪些问题你比过去理解得更加深入了？通过本
部分的学习，你对微观体系的运动规律和特点掌握了多少？在思想方法上有何收获？
16. 巴尔末起初分析氢原子光谱是用波长）（4
22
-=n n c λ，其中c 为常数，n 为大于2的正整数，试用里德伯常数H R ~
求出c 值。
17. 试计算氢原子中电子处于波尔轨道n = 1和n = 4时的动能（单位：J ）和速度（单位：m·s -1）。
18. 已知电磁波中电场强度ε服从波动方程2222
21t
c x ∂∂⋅=∂∂ε
ε，试说明如下函数⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
⎪⎭⎫
⎝⎛-=t x t x y νλπεε2cos 0），（是这个方程的解。其中c 表示光速。 19. 试计算具有下列波长的光子的能量和动量
（a ）1 nm (X-射线) (b ) 200 nm （紫外光） （c ）600 nm （可见光） (d ) 10 4 nm （红外线） (e ) 1 m (微波) (f ) 10 m （无线电波） 20. 计算下列粒子的德布罗意波长，并说明所得结果的物理意义。
（a ）具有200 eV 动能的电子； （b ）具有105 eV 能量的光子；
（c ）以1m·s -1速度运动的小球（质量为0.3㎏）； （d ）相应于波尔轨道n = 1和n = 100的电子。
21.试确定在戴维逊-革末实验中加速至75 eV 的电子束垂直打在镍单晶表面上所得强度最
大时的反射角。
22. 假定长度为l =200 pm 的一维势箱中运动的电子服从玻尔的频率规则12n n E E h -=ν,试
求：
（a ) 从能级n +1跃迁到n 时发射出辐射的波长λ ； （b ) 波数ν（单位㎝-1）.
23. 试证：如果粒子位置的不确定量等于这个粒子的德布罗意波长，则此粒子的速度不确
定量等于此粒子的速度。
24. 用一台光子显微镜测定原子中电子的位置，定到10-11 m 范围内，试问用该法定电子的
位置时，电子的動量不确定量有多大？
25. 假定三维势阱中薛定谔方程的解具有如下形式：
）（）（）（），，（c
z n b y n a x n abc z y x z y x n n n z
y x πππψ⋅⋅⋅=
sin sin sin 8
(式中：0 < x < a , 0 < y < b , 0 < z < c ) （a ) 试证明这函数是归一化的：
（b ) 在a = b = c = 100 pm 情况下，试求出直径为1.0=∆=∆=∆z y x pm ,而其中心在x =20 pm,
y =30 pm , z =50 pm 的微观体积元中，发现一个电子处于这两种状态⎪⎩
⎪
⎨⎧2
1
1112
z
y x
n n n 时的几率。
26.下列函数，哪几个是算符d 2 / dx 2的本征函数？并求出相应的本征值：
(a ) imx e , (b ) sin х； (c ) x 2+y 2； (d )
x e x a --）（ 27. 如果算符Q ˆ对任两个波函数ψ1和ψ2的作用满足1ˆψQ =1φ, 2ˆψQ =2φ,而对于1
ψ和2ψ的任意线性组合2211c c ψψ+和（c 1和c 2分别为任意常数）能满足
Q ˆ（2211c c ψψ+）=1c Q ˆ1
ψ+2c Q ˆ2ψ=1c 1φ+2c 2φ 则称算符Q
ˆ为线性算符。试问x p ˆ、dx d 、22dx
d 中哪几个是线性算符？ *28. 如果算符Q
ˆ能满足
()
⎰⎰⎰*
***==ψ
τψφτφψQ ˆd Q ˆd Q ˆφd τ
则称算符Q
ˆ是厄密算符。试问x p ˆ、dx d 、22
dx
d 中哪几个是厄密算符？ 29. 试求长度为l 的一维势箱中，处于n = 3状态的一个粒子的x 2和p 2的平均值2x 、2p 。 30. 在边长为a 、b 、c 的三维势箱中，求量子数为n x 、n y 、n z 状态时的：（a ）x ， （b ）
x p ；
试问：（c ）2x 是否等于()2
x ；（d ）xy 是否等于y x ⋅。
31. 请写出+Na 及-F 的薛定谔方程算符表达式。 32. 在原子、分子问题的讨论中频繁地出现这样的积分
⎰
∞
+-=
1
n n r n dr r e ββ！
试用关于定积分的微分的莱伯尼兹（Leibniz ）定理
dr )r ,(f dr r ,f d d b
a b
a
ββββ
⎰⎰
∂∂
=
）（
对上述积分结果作简单的推导。
33. 假定激发态ar
e
r b N r --=）（）（22ψ是氢原子径向薛定谔方程： R E R r
e Z dr R d r dr R d m ⋅=-+-222222）（η 的一个解，试求其a ，b ，N 的值以及相应的能量E 。
34. 假定氢原子的激发态具有这样的形式）（r f y ⋅=ψ，试根据薛定谔方程的球极坐标形
式推导其径向方程为：
）（）（）（r f E r f r
e Z dr d
f r dr f d m ⋅=-⋅+-2
22242η 35. 已知类氢离子某一激发态的径向波函数及球谐函数分别为
32
2202
30
66814a /r Z 0/l
n e a r Z a r Z a Z
R -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=，
