数列的综合应用(网上教学)

又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间 的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进 而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.

数列的综合运用
课前热身
1.已知数列－1、a1、a2、－4成等差数列，－1、b1、b2 、b3、－4是公比为实数的等比数列，则(a2－a1)b2的 值为
变 题 ： 设 { an} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， |q|>1 ， 令 bn=an+1,若数列{bn}有连续四项在集合
{-53,-23,19,37,82}中，则6q=
2.若{an}是各项均为正数的等差数列，{bn}是各项均为 正数的等比数列，a1=b1 ，a2n+1 =b2n+1，则an+1与bn+1 的 大小关系是 .
变题：某厂2019年的投资和利润逐月递增，投入资金逐 月增长的百分率相同，利润的逐月增加值相同，已知1 月的投资额与利润值相等，12月的投资额与利润值相等， 则全年总利润M与全年总投资额N的大小关系是 _________
⑴求q的值； ⑵设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其 前n项和 为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小， 并说明理由．
例题：
例 3. 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且 a1=2 ， nan+1=Sn+n(n+1)． ⑴求数列{an}的通项公式； ⑵ 令Tn=Sn/2n，①当n为何正整数值时，Tn>Tn+1； ②若对一切正整数n，总有Tn≤m，m的取值范围．
练习：
1.已知a 、b是不相等的正数，且a 、x 、y 、b依 次成等差数列，a、m、n、b依次成等比数列， 则 (x+y)2 /mn 的取值范围是 .
2.首项为－24的等差数列，从第十项起开始为正
数，则公差d的取值范围
.
3.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn/3， n=1，2，3，……，求：

所以3an＝3n，即an＝n.又因为函数f（x）＝2x，所以f （an）＝2n，
所以数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝log4[f（a1）·
f（a2）·…·f（an）]＝log4（2×22×…×2n）＝ log421＋2＋…＋n＝12×（1＋2＋…＋n）＝n（n4＋1）.
答案：n（n4＋1）
得2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n＋4成等差数
列，则数列{an}的前n项和Sn＝
.
解析：（1）因为F（x）＝f x＋12－1是R上的奇函数， 所以F（－x）＝－F（x）， 故f 12－x＋f 12＋x＝2（x∈R），（*） 令x＝0，得f 12＝1. 令t＝12－x，则12＋x＝1－t（t∈R）， （*）式可化为f（t）＋f（1－t）＝2（t∈R）.
因此{an}的通项公式为an＝3n－2 1.
（2）由（1）知a1n＝3n－2 1. 因为当n≥2时，3n－1≥2×3n－1， 所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是a11＋a12＋…＋a1n≤1＋13＋…＋3n1－1＝321－31n<32. 所以a11＋a12＋…＋a1n<32.
考点2 数列与函数的综合应用
[例2] （1）已知F（x）＝f x＋12 －1是R上的奇函
数，an＝f（0）＋f n1＋f n2＋…＋f n－n 1＋f（1）（n∈
N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A.an＝n－1
B.an＝n
C.an＝n＋1
D.an＝n2
（2）已知函数f（x）＝log2 x，若数列{an}的各项使
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和
a8是函数f（x）＝
15 4
ln
x＋

y2-x2=1 上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前
1 2
n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)若 cn=an· bn,求证:cn+1<cn. (1)解:由已知点 An 在 y2-x2=1 上知 an+1-an=1, ∴ 数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, ∴ an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.
������(1+������) b= ������ ������ . (1+������) -1
������
第五章
5.5
数列的综合应用 5 -5-
想一想银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型? 答案:单利公式——设本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 n,则本利
和 an=a(1+rn),属于等差模型.复利公式——设本金为 a 元,每期利率 为 r,存期为 n,则本利和 an=a(1+r)n,属于等比模型.
19(19+1) 2
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=10.
解析 答案
第五章
5.5
数列的综合应用 9 -9-
2 4.在数列{an}中,对任意自然数 n∈N*恒有 a1+a2+…+an=2n-1,则 a1+������2 + 3 ������ ������3 +…+������������ =
.
∵ a1+a2+…+an=2n-1,当 n≥2 时,a1+a2+…+an-1=2(n-1)-1,两式作差得 an=2(n≥2),当 n=1 时,a1=1,