高中数学苏教版选修1-1学案：第3章 4 导数在实际生活中的应用含解析

导数在研究函数中的应用1【学习目标】1熟练掌握函数的单调性，极值与导数的关系；2能运用导数研究解决函数的单调性、极值和最值的有关问题；3．通过小组合作探究，展示评学，提高分析解决综合问题的能力【自主梳理】一、基础训练1．函数()ln f x x x =的单调递增区间是_________递减区间是_________．提炼：利用导数求函数单调区间的一般步骤：2．函数＝33－9＋5的极大值为 ，极小值为 ．提炼：求函数f 极值的一般步骤：3．函数f ＝2co 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ，最小值是____________．提炼：用导数求函数f 最值的一般步骤：① 求函数()y f x =在区间,a b （）上的 ； ② 将极值与 比较，其中最大的一个就是最 值，最小的一个就是最 值．4．已知函数f ＝3＋a 2＋b ＋a 2在＝1处有极值10，则a ＝________,b=_______提炼： 对可导函数f ，f ′0＝0是0点为极值点的__________条件．二、典型例题例1 若函数2()ln f x mx x =+(1)2m =-时，求函数f 单调区间和极值(2)g(x)=f(x)-2x 在定义域内是增函数，求实数m 的取值范围．例2 已知函数()ln ,f x x x = g ＝-2a －3，（1）求函数f 在[]t,t+2(0)t >上的最小值；2对于一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围。

【自主训练】1 设a 为实数，函数f ＝－3＋3＋a1 当a=1时，若对于区间[－3,2]上的任意1，2，都有|f 1－f 2|≤t ，求实数t 的最小值 2是否存在实数a ，使得方程f ＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由＝3＋22＋－4, g ＝a 2－8，1求函数f 在[],1(1)m m >-上的最小值；2在区间[)0,+∞，函数f 的图象在函数g 的图象的上方，求实数a 的取值范围【学有所得】_________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________．。

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数在实际生活中的应用2导学案苏教版选修1-1
学习目标：
1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.
2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.
课前预学：
1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为.
2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是.
3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是.
4.一边长为48 cm的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm的小正方形,做成一个无盖方盒.求x多大时,方盒容积最大?
课堂探究：
1．如图,等腰梯形ABCD的三边AB,BC,CD分别与函数y=-错误！未找到引用源。

x2+2,x∈[-2,2]的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD面积的最小值.
2．已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=错误！未找到引用源。

其中x是年产量(单位:千件).
(1)写出年利润W关于年产量x的函数解析式;
(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?
课堂检测：。

3.4 导数在实际生活中的应用1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.(重点)2.提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识.(难点)[基础·初探]教材整理导数的实际应用阅读教材P93～P96练习以上部分，完成下列问题.1.导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.2.用导数解决实际生活问题的基本思路1.判断正误：(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题.( )(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式.( )(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景.( )【解析】(1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解.(2)√.求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题.(3)√.要根据实际问题的意义确定自变量的取值.【答案】(1)×(2)√(3)√2.生产某种商品x单位的利润L(x)＝500＋x－0.001x2，生产________单位这种商品时利润最大，最大利润是________.【解析】L′(x)＝1－0.002x，令L′(x)＝0，得x＝500，∴当x ＝500时，最大利润为750. 【答案】 500 750[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]面积容积的最值问题有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上.设CD ＝2x ，梯形的面积为S .(1)求面积S 关于x 的函数，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值.【精彩点拨】 (1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S 关于x 的函数式；(2)根据S 的函数的等价函数求最大值.【自主解答】 (1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x ，y ).∵点C 在椭圆上，∴点C 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，则y ＝2r 2－x 2(0< x <r )，∴S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )r 2－x 2(0< x <r ).(2)记S ＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)(0＜x ＜r ) 则S ′＝8(x ＋r )2(r －2x )令S ′＝0，解得x ＝12r 或x ＝－r (舍去).当x 变化时， S ′，S 的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，r 2 r2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2，r S ′ ＋0 － S33r22∴x ＝12r 时，S 取得最大值33r 22，即梯形面积S 的最大值为33r22.1.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解.2.选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题.[再练一题]1.用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积.【解】 设容器底面一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ， 高为14.8－4x －4x ＋0.54＝(3.2－2x )m 由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x ＞0，x ＞0，解得0＜x ＜1.6.设容器的容积为y m 3，则y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，所以y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，则15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(舍去).在定义域(0,1.6)内只有x ＝1处使y ′＝0，x ＝1是函数y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x 在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点.因此，当x ＝1时，y 取得最大值，y max ＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2(m).故高为1.2 m 时，容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3.用料最省、节能减耗问题海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？图3­4­1【精彩点拨】 先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值.【自主解答】 设C 点距D 点x km ，则BD ＝40 km ，AC ＝(50－x )km ， ∴BC ＝BD 2＋CD 2＝402＋x 2(km).又设总的水管费用为y 元，依题意， 得y ＝3a (50－x ) ＋5a x 2＋402(0≤x ≤50)，则y ′＝－3a ＋5axx 2＋402，令y ′＝0，解得x ＝30.当x ∈[0,30)时，y ′＜0，当x ∈(30,50]时，y ′＞0,∴当x ＝30时函数取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.1.像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型.2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时惟一的极小值就是所求函数的最小值.[再练一题]2.某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长为________，宽为________.【导学号：24830090】【解析】 如图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为512xm ，因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，L ′＝2－512x 2.令L ′＝2－512x2＝0，得x ＝16或x＝－16.∵x ＞0，∵x ＝16.∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点.∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省.【答案】 16 m 32 m[探究共研型]利润最大问题探究1 它们的含义吗？【提示】 成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量，一般包括固定成本(如建设厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费用)，单价是指单位商品的价格，销售量是指所销售商品的数量.探究2 什么是销售额(销售收入)？什么是利润？ 【提示】 销售额＝单价×销售量，利润＝销售额－成本.探究3 根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路，你认为解决利润最大问题的基本思路是什么？【提示】 在解决利润最大问题时，其基本思路如图所示.图(2016·滨州高二检测)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3＜x ＜6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售商品所获得的利润最大.【精彩点拨】 利用待定系数法先求得参数a 的值，由题意列出利润关于价格的函数关系式，转化为求函数在(3,6)上的最大值问题.【自主解答】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，解得a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6. 从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6). 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋0 －f (x )极大值由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42. 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.解决最优化问题的一般步骤：(1)根据各个量之间的关系列出数学模型；(2)对函数求导，并求出导函数的零点，确定函数极值； (3)比较区间端点处函数值和极值之间的大小，得到最优解.[再练一题]3.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤.(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值. 【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则ke 30＝100，∴k ＝100e 30，∴日销量q ＝100e30e x ，∴y ＝100e 30x －20－tex(25≤x ≤40).(2)当t ＝5时，y ＝100e30x －25ex，∴y ′＝100e3026－xex.由y ′＞0，得25≤x ＜26，由y ′＜0，得26＜x ≤40， ∴y 在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减， ∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元.[构建·体系]1.一个圆锥形漏斗的母线长为20，高为h ，则体积V 的表达式为________.【解析】 设圆锥的高为h ，则圆锥的底面半径为r ＝400－h 2，则V ＝13π(400－h 2)h .【答案】 13π(400－h 2)h2.某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台.【解析】 构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x ＞0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0是x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点.即生产6千台时，利润最大.【答案】 63.(2016·盐城高二检测)某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________.【导学号：24830091】【解析】 V ′(x )＝2x ·⎝⎛⎭⎪⎫60－x 2＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40).令V ′(x )＝0，得x ＝40或x ＝0(舍).不难确定x ＝40时，V (x )有最大值. 即当底面边长为40时，箱子容积最大. 【答案】 404.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________.【解析】 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R2.要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小， ∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，∴S ′表＝2πR －54πR2.令S ′＝0，解得R ＝3.∵R ∈(0,3)时，S 表单调递减，R ∈(3，＋∞)时，S 表单调递增，∴当R ＝3时，S 表最小. 【答案】 35.某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝1200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为多少件时，总利润最大？并求出最大总利润.【解】 由题意，可设p 2＝kx，其中k 为比例系数.因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250000，所以p 2＝250000x，p ＝500x，x ＞0.设总利润为y 万元，则y ＝500x·x －1200－275x 3＝500x －275 x 3－1200.求导数得，y ′＝250x －225x 2.令y ′＝0得x ＝25.故当x ＜25时，y ′＞0；当x ＞25时，y ′＜0.因此当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值，即最大利润为26503万元.【答案】 25我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________学业分层测评(二十) 导数在实际生活中的应用 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝43t 3－2t 2，那么速度为24的时刻是________秒末.【解析】 由题意可得t ≥0，且s ′＝4t 2－4t ，令s ′＝24，解得t ＝3(t ＝－2舍去). 【答案】 32.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件.【解析】 令y ′＝－x 2＋81＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去).f (x )在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数， ∴f (x )在x ＝9处取最大值.【答案】 93.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少________米.【解析】 设广场的长为x 米，则宽为40000x米，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40000x (x ＞0)，所以y ′＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－40000x2，令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800. 当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0. 所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800米. 【答案】 8004.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为________. 【解析】 设圆锥的高为h cm(0＜h ＜20)，则圆锥的底面半径r ＝202－h 2＝400－h 2(cm)，V ＝V (h )＝13πr 2h ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)，∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′＝13π(400－3h 2)＝0，解得h ＝2033.由题意知V 一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点. 【答案】2033cm 5.要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边边长之比为1∶2，则它的长为________、宽为________、高为________时，可使表面积最小.【解析】 设底面的长为2x cm ，宽为x cm ，则高为36x 2cm ，表面积S ＝2×2x ·x ＋2×x ·36x 2＋2×2x ·36x 2＝4x 2＋216x(x ＞0)，S ′＝8x －216x2，由S ′＝0，得x ＝3，x ∈(0,3)时，S ′＜0，x ∈(3，＋∞)时，S ′＞0，∴x ＝3时，S 最小.此时，长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm. 【答案】 6 cm 3 cm 4 cm6.(2016·四川高考改编)设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是________.【导学号：24830092】【解析】由图象易知P 1，P 2位于f (x )图象的两段上，不妨设P 1(x 1，－ln x 1)(0<x 1<1)，P 2(x 2，lnx 2)(x 2>1)，则函数f (x )的图象在P 1处的切线l 1的方程为y ＋ln x 1＝－1x 1(x －x 1)，即y ＝－xx 1＋1－ln x 1.①则函数f (x )的图象在P 2处的切线l 2的方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝xx 2－1＋ln x 2.②由l 1⊥l 2，得－1x 1×1x 2＝－1，∴x 1x 2＝1.由切线方程可求得A (0,1－ln x 1)，B (0，ln x 2－1)， 由①②知l 1与l 2交点的横坐标x P ＝2－ln x 1－ln x 21x 1＋1x 2＝2x 1＋x 2.∴S △PAB ＝12×(1－ln x 1－ln x 2＋1)×2x 1＋x 2＝2x1＋x2＝2x1＋1x1.又∵x1∈(0,1)，∴x1＋1x1>2，∴0<2x1＋1x1<1，即0<S△PAB<1.【答案】(0,1)7.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为________.【解析】设圆柱的高为2h，则底面圆的半径为R2－h2，则圆柱的体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3，∴V′＝2πR2－6πh2.令V′＝0，解得h＝33R.∵h∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33R时，V单调递增，h∈⎝⎛⎭⎪⎫33R，R时，V单调递减，故当h＝33R时，即2h＝233R时，圆柱体的体积最大.【答案】23 3R8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为________.【解析】设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时，L(30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】23 000元二、解答题9.设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则如何设计可使总造价最少？【解】设圆柱体的高为h，底面半径为r，设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y ＝3m πr 2＋m (πr 2＋2πrh ).由V ＝πr 2h ，得h ＝V πr 2，∴y ＝4m πr 2＋2mV r(r ＞0)， ∴y ′＝8m πr －2mV r 2.令y ′＝0，得r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫V 4π13.此时h ＝V πr 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫V 4π13.该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在.∴当r ＝⎝⎛⎭⎪⎫V 4π13时，y 有最小值，即h ∶r ＝4∶1时，总造价最少.10.(2016·南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元).(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 【解】 (1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)[20(1＋x )－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1).(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0得x 1＝12或x 2＝－23(舍)，当0＜x ＜12时，y ′＞0；当12＜x ＜1时，y ′＜0，所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.[能力提升]1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________.【解析】 设四角截去的正方形边长为x .∴铁盒容积V ＝4(24－x )2x ，所以V ′＝4(24－x )2－8(24－x )x ＝4(24－x )(24－3x )，令V ′＝0，得x ＝8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.【答案】 8 cm2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x ，x ∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为________.【解析】 依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.0486kx 2，其中x ∈(0，0.0486).所以银行的收益是y ＝0.0486kx 2－kx 3(0＜x ＜0.0486)，则y ′＝0.0972kx －3kx 2. 令y ′＝0，得x ＝0.0324或x ＝0(舍去).当0＜x ＜0.0324时，y ′＞0；当0.0324＜x ＜0.0486时，y ′＜0.所以当x ＝0.0324时，y 取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益. 【答案】 0.03243.如图3­4­2，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积最大值是________.图3­4­2【解析】 设CD ＝x ，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22. ∴矩形ABCD 的面积 S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2)).由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍去)，x 2＝23，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的，∴当x ＝23时，f (x )取最大值439.【答案】4394.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足的函数关系是x ＝2000t ，乙方每年产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s 为赔付价格).(1)将乙方的年利润W (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？【解】 (1)由题意，得W ＝2000t －st ＝－s ⎝⎛⎭⎪⎫t －103s 2＋106s (t ＞0)，∴当t ＝103s，即t ＝106S 2时，W 取得最大值，为106s2，∴乙方获得最大利润时的年产量为106s2吨.(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为V 元.∵t ＝106s 2，∴V ＝st －0.002t 2＝106s 2－2×109s4.V ′＝－106s 2＋8×109s5， 令V ′＝0，得s ＝20，当s ＞20时，V ′＜0，∴V 在(20，＋∞)上单调递减；当S ＜20时，V ′＞0， ∴V 在(0,20)上单调递增.∴当s ＝20时，V 取得极大值，也就是最大值，∴在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是20元.。

【自主解答】 设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 由已知得
a＝ 2x，h＝60－22x＝ 2(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当 x＝ 15 时，S 取得最大值．
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)． 由 V′＝0 得 x＝0(舍)或 x＝20. 当 x∈(0，20)时，V′＞0；当 x∈(20，30)时，V′＜0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
腰直角三角形斜边的两个端点．设 AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应 取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何 值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
图 3－4－1 【思路探究】 把侧面积、体积表示成 x 的函数，用导 数知识求最值即可．
转化与化归思想在优化问题中的应用 (14 分)有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河 岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到甲厂所在河岸的垂足 D 与 A 之间相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和 乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，则供水站 C 建 在岸边何处时才能使总的水管费用最省？
●教学建议 从教学内容分析，教材例题与学生生活经验有一定的差 距，问题信息量大，数学建模要求高，在具体的教学中，可 以设置有一定梯度和接近学生生活中的优化问题，提高学生 的学习兴趣，同时告诉学生如何去思考解决这类问题的一般 思路．在掌握函数极值的判别法之后，判定可导函数的极大 值与极小值并不困难，但在遇到一些实际问题时，往往会遇 到障碍．这里关键是能从实际问题的不同情景出发，建立与 之相对应的函数关系，再应用求函数极值的方法最终解决问 题．