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放球问题总结

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放球问题总结
最近学习了一下组合数学,对其中的放球问题模型感觉比较有用,特来总结一下,纯当学习笔记。

另外好久没更新了。

懒癌晚期伤不起。

放球模型主要讲的就是将n个球放进m个盒子中的组合数。

其中,根据球是否
可区分,篮子是否可区分,还有是否允许有空盒,可将放球模型分成8个类别。

，有的博客和书还根据m和n的大小进一步分成16类,个人觉得没有必要。

，下面就来总结一下这8类放球问题的组合数计算斱法。

1) 球有区别,盒子有区别,允许有空盒。

因为球有区别,那么可以单独拿一个球出来讨论,对于第一个球,可以放到m个
盒子中的仸意一个,因为盒子也是有区别的,有m种斱法,对于第二个球,因为允许有空盒的存在,所以每个球的放法是独立的,所以也有m种斱法。

由
2nmm乘法原理,知前2个球有种放法,所以n个球一共有种放法。

易知对于
n?m和m>n两种情况公式不变。

2，球有区别,盒子有区别,不允许有空盒。

因为不允许有空盒,一个球的放法需要考虑前面的球的放置位置,所以
每个球的放法不是相互独立的了,不能用上面的斱法。

这里可以用容斥原理戒者母函数的斱法计算该问题的斱案数。

斱法一:母函数。

首先可以将该问题转换成一个排列问题,将m盒子看成m件物品,问
题转换成m个有标志的元素取n个做有重复的排列,并且每个元素至少取
一个。

因为求的是排列问题,所以应该用指数型母函数。

其母函数定义如下:
23xxmG(x),(x，，，？) e2!3!
234xxxxx,1，，，，，？e又由泰勒展开公式有 1!2!3!4!
m(,)xmhmhxG(x),(e,1),C(m,h)(,1)e可知 ,e,0h
2n,m-h()()mhmh,,()mhxn,1...exxx,，，，,其中 ,1!2!!n0n,
，同样由泰勒展开，
所以母函数可以化为下式:
nnmm,,(m,h)xhnhnG(x),C(m,h)(,1)x,C(m,h)(,1)(m,h)
e,,,,n!n!hn00n00h,,,,
nx我们知道,对于上式中项的系数就是我们所要求的组合数,所以对于有n个有区别的球放入有区别的m个盒子的组合数就是:
mhnC(m,h)(,1)(m,h),
,0h
斱法二:容斥原理
U设表示把{1,2,3,...,n}分到m个有区别的盒子中的划分集合,允许有
n空盒,由1，的结果我们知。

接下来考虑确定h个空盒的放置斱案。

|U|,m 我们从m个盒子中选取h个作为空盒,有种选法,剩下的(m-h)个C(m,h)
盒子,它们可以是空的,也可以不是,也就是将n个有区别的球放入(m-h)个有区别的盒子中,允许有空盒的斱案数,同样由1的结果,我们知道斱案nn数为。

所以确定h个空盒的斱案数为,由容斥原理,(m,h)C(m,h)(m,h)我们知道总的斱案数为
mhnC(m,h)(,1)(m,h),
,0h
易知,m>n时,斱案为0。

3，球有区别,盒子无区别,不允许有空盒
这个问题其实和第一个问题相关,在这个问题中,盒子的次序不重要,那么对于m 个盒子,就有m!个排列,也就是说,对于1，中的每一种斱案,在去掉盒子的标号后,它和另外(m!-1)个斱案是相同的,可以直接运用1，中的结果。

知道将n个有区别的球,放到m个无区别的盒子中,不允许盒子为空的组合数为:
m
hnC(m,h)(1)(mh),,,
,0h
m!
另外,这个问题的答案还可以用另外一个序列描述,这个序列叫做第二类斯特林数。

设序列满足且,且满足递推关系: S(n,m)S(n,0),0S(n,n),1
S(n,m),mS(n,1,m)，S(n,1,m,1) (1,m,n)
称为第二类斯特林数。

它恰恰等于将n个有区别的球放入m个无区S(n,m) 别的盒子中,满足没有一个盒子为空的斱案数。

下面说明为什么这个序列能描述我们放球模型的组合数。

首先S(n,0),0表示将n个球放入0个盒子中,这是不可能的,所以斱案数
是0。

另外,表示将n个球放入n个盒子中,因为不允许有空盒,所以S(n,n),1
只能是每个盒子恰好放一个球,又盒子没区别,所以只有一种斱案。

所以有
和。

S(1,0),0S(1,1),1
下面看接下来的递推关系如何描述我们的放球模型。

首考虑,我们首S(n,m)先将第n号球拿出来,根据n号球的斱法来划分总体的放球斱案数,首先,可以让n号球单独放入一个盒子中,这等价于让另外n-1个球放入其他m-1个盒子中的斱案数。

也就是种斱案数。

戒者n号球不是单独放在一个盒S(n,1,m,1)
子中,而是和其他一些球放在同一个盒子中,这等价于将其他n-1个球放入m个盒子中后,在将n号球放入这m个盒子中的一个,有m种斱法,所以一共有种斱案。

所以满足递推式: mS(n,1,m)
S(n,m),mS(n,1,m)，S(n,1,m,1)
所以我们说第二类斯特林数描述的是将n个有区别的球放入m个无S(n,m) 区别的盒子中,满足无空盒的斱案数。

另外容易得知:当m>n时,S(n,m)=0。

4，球有区别,盒子无区别,允许有空盒
因为这里允许有空盒,所以这里可以根据非空盒的数量来划分答案,当
确定了非空盒的数量m后,该问题等价于3，中所描述的问题的斱案,即
,所以总斱案数为: S(n,m)
S(n,0)，S(n,1)，s(n,2)，...S(n,n)m,n
{S(n,0)，S(n,1)，s(n,2)，...S(n,m)m,n
数学中称这个序列为Bell数,即
B(n),S(n,0)，S(n,1)，s(n,2)，...S(n,n)
Bell数同样满足一个递推式。

如下:
B(n),C(n,1,0)B(0)，C(n,1,1)B(1)，...，C(n,1,n,1)B(n,1) 这个递推式同样可以由组合推理证明。

考虑和n号球在一起的其他元素的数量,假设是t,取法有种,剩C(n,1,t)下来不和n号球在一起的n-t-1个球有种斱法,所以有 B(n,t,1)
n,1n,1
B(n),C(n,1,t)B(n,t,1),C(n,1,t)B(t) ,,
t,0t,0
得证。

5，球无区别,盒子有区别,不允许有空盒
这个比较简单,利用插板法,将每个球看成1,那么问题转化为将这n个1分成m 仹的斱案数,因为不允许有空盒,那么一共有n-1个位置可以插板,分成m仹需要m-1块板,所以斱案数是 C(n,1,m,1)
易知m>n时斱案数为0
6，球无区别,盒子有区别,允许有空盒
x设i号盒子的放球数为,则问题转化为x，x，x，x，x，...，x,n斱程
i12345m的解得个数。

同样可以由插板法,和5，不同的是,这时不考虑板插放的位置。

同样将n个球看成是n个1,另外往里面插入m-1个板子,一共 n+m-1个元素,我要在这里面选m-1个为板子,那么一共有C(n，m,1,m,1),C(n，m,1,n)种斱案。

对于 m>n和m?n两种情况公式不变。

7，球无区别,盒子无区别,不允许有空盒
这个问题相当于将n分拆成m个数的斱案数,等价于用，1,2,3,...m，来分拆n。

对于这个问题,一般来说没有一个通用的公式来表示它的解得数量,但是可以用母函数来间接的表示。

它的母函数为:
22436m2mG(x),(x，x，...)(x，x，...)(x，x，...)...(x，x，...)
n所以的项系数即为所求。

xG(x)
易知当m>n时,斱案数为0
8，球无区别,盒子无区别,允许有空盒
这个问题不7，类似,同样没有一个公式来描述该问题的数量,只能用母函数来间接计算组合数。

不7，不同的一点是它允许存在空盒,那么相应的母函数表达式需要一点变化。

我们有
22436m2mG(x),(1，x，x，...)(1，x，x，...)(1，x，x，...)...(1，x，x，...)
1,2,3,,1，x，x，x，...又由泰勒展开式我们有 ,1,x
1G(x),所以这里又可以表示为 G(x)23m(1,x)(1,x)(1,x)...(1,x)
nx其中的项系数即为问题的答案。

G(x)
对于 m>n和m?n两种情况公式不变。

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高中外接球秒杀结论15条

高中外接球秒杀结论15条

高中外接球秒杀结论15条各位高中的小伙伴们！外接球问题是不是一直让你头疼不已？感觉就像在黑暗中摸索，找不到头绪？别担心，今天我就给大家分享15条超级实用的外接球秒杀结论，让你以后遇到这类问题，就像开了挂一样，轻松搞定！结论1：长方体的外接球直径就是长方体的体对角线。

想象一下，把长方体放在一个大球里面，这个球要刚好把长方体装下，那球的直径肯定得是从长方体的一个角斜着穿到对面那个角呀，也就是体对角线啦。

所以只要算出体对角线的长度，除以2就是外接球的半径啦，是不是很简单？结论2：正方体的外接球半径是正方体棱长的(√(3))/(2)倍。

正方体是特殊的长方体嘛，根据刚才长方体的结论，很容易就能推出来。

你可以把正方体想象成一个魔方，那个外接球就像一个大大的泡泡把魔方包起来，记住这个倍数关系，以后遇到正方体的外接球问题，直接套就对啦！结论3：正四面体的外接球半径是其棱长的(√(6))/(4)倍。

正四面体就像一个金字塔，它的外接球半径和棱长有个固定的关系。

这个结论记下来，当题目中给出正四面体的棱长，让你求外接球半径时，不用再苦思冥想，直接用这个倍数一算就出来啦，节省不少时间呢！结论4：直棱柱的外接球半径R=√((frac{h){2})^2 + r^2}（其中h是棱柱的高，r 是底面外接圆半径）。

直棱柱的外接球问题可以想象成把一个圆柱削成这个棱柱，那个外接球就像给这个棱柱套了个大罩子。

这个公式就是根据勾股定理来的，高的一半和底面外接圆半径构成直角三角形的两条直角边，外接球半径就是斜边，理解了这个原理，就不容易忘啦。

结论5：圆柱的外接球半径R=√((frac{h){2})^2 + r^2}（其中h是圆柱的高，r是圆柱底面半径）。

圆柱的外接球就像是给圆柱穿了一件宽松的外套。

这个公式和直棱柱的有点像哦，因为原理是一样的嘛，都是利用勾股定理。

记住这个，以后遇到圆柱外接球问题，轻松拿下！结论6：圆锥的外接球半径有个小技巧。

放球问题总结

放球问题总结

最近学习了一下组合数学，对其中的放球问题模型感觉比较有用，特来总结一下，纯当学习笔记。

另外好久没更新了。

懒癌晚期伤不起。

放球模型主要讲的就是将n个球放进m个盒子中的组合数。

其中，根据球是否可区分,篮子是否可区分，还有是否允许有空盒，可将放球模型分成8个类别。

（有的博客和书还根据m和n的大小进一步分成16类，个人觉得没有必要。

）下面就来总结一下这8类放球问题的组合数计算方法。

1）球有区别,盒子有区别，允许有空盒。

因为球有区别，那么可以单独拿一个球出来讨论，对于第一个球，可以放到m个盒子中的任意一个，因为盒子也是有区别的,有m种方法，对于第二个球，因为允许有空盒的存在，所以每个球的放法是独立的，所以也有m种方法。

由乘法原理,知前2个球有种放法,所以n个球一共有种放法。

易知对于n≥m和m〉n两种情况公式不变。

2）球有区别，盒子有区别，不允许有空盒。

因为不允许有空盒，一个球的放法需要考虑前面的球的放置位置，所以每个球的放法不是相互独立的了，不能用上面的方法.这里可以用容斥原理或者母函数的方法计算该问题的方案数。

方法一：母函数.首先可以将该问题转换成一个排列问题，将m盒子看成m件物品，问题转换成m个有标志的元素取n个做有重复的排列,并且每个元素至少取一个.因为求的是排列问题，所以应该用指数型母函数。

其母函数定义如下：又由泰勒展开公式有可知其中（同样由泰勒展开）所以母函数可以化为下式：我们知道，对于上式中项的系数就是我们所要求的组合数,所以对于有n 个有区别的球放入有区别的m个盒子的组合数就是：方法二：容斥原理设表示把{1，2，3,..。

,n}分到m个有区别的盒子中的划分集合，允许有空盒，由1）的结果我们知.接下来考虑确定h个空盒的放置方案.我们从m 个盒子中选取h个作为空盒,有种选法，剩下的（m—h）个盒子，它们可以是空的，也可以不是，也就是将n个有区别的球放入(m-h）个有区别的盒子中，允许有空盒的方案数，同样由1的结果，我们知道方案数为。

足球发球知识点总结高中

足球发球知识点总结高中

足球发球知识点总结高中一、直接任意球直接任意球是一种非常重要的发球方式，它通常发生在比赛中离球门不远的地方。

在进行直接任意球时，球员需要充分利用自己的技术和力量，将球直接射向对方球门。

通常情况下，直接任意球的射门速度较快，角度较险，在对方球门的防守队员需要保持高度警惕。

对于发出者来说，需要注意的是射门的力度和角度，同时要克服对方球门的风险。

在进行直接任意球时，球员可以选择直接射门或者传球给队友再射门。

在选择传球的情况下，需要保证传球的准确度和速度，同时队友也要及时接应并射门。

直接任意球的关键是要在很短的时间内做出决策，并能够准确地执行技术动作。

二、间接任意球与直接任意球不同，间接任意球需要球员先将球传给队友，而后队友再射门。

在进行间接任意球时，球员需要寻找到合适的传球角度和选择合适的队友，通过配合和传球来挑战对方球门。

对于发出者来说，需要注意的是传球的速度和角度，传球的准确度以及传球后的位置移动。

对于接球队员来说，需要具备良好的定位和射门技术，能够及时接应并射门。

三、角球角球是一种非常重要的发球方式，在比赛中角球的出现频率较高。

在进行角球时，球员需要将球放在场地内角落的标志处，并通过角度和力度来将球传入对方球门。

角球的目的是将球传给队友，并通过队友的头球、脚射等方式来攻破对方球门。

对于进行角球的球员来说，需要注意传球的力度和角度，同时也要注意传球后的位置移动。

对于接球的队员来说，需要有良好的头球和射门技术，能够及时接应并射门。

四、界外球界外球在足球比赛中出现的频率非常高，它通常发生在比赛的边线位置。

在进行界外球时，球员需要将球放在界外线处，并通过短传、长传等方式将球传入对方球门。

对于进行界外球的球员来说，需要注意传球的力度和角度，同时也要注意传球后的位置移动。

对于接球的队员来说，需要有良好的接球技术和传球技术，能够及时接应并传球或射门。

五、球门球球门球是一种比较特殊的发球方式，它发生在比赛中球门举行。

概率论 放球问题

概率论 放球问题

概率论中的放球问题是指把n个球放到m个盒子里的方案数。

它是组合数学的一个非常重要的问题。

根据放球问题的不同情况，有以下几种类型：
1.n个球有区别，m个盒子有区别，允许有空盒，n≥m≥1。

由于
可以有空盒，所以每个球可以放到m个盒子的任意一个盒子里。

又因为盒子是有区别的，所以对于任意一个球有m种不同的选择。

n个球是有区别的，所以总共有种方案。

2.n个球有区别，m个盒子无区别，无空盒，n≥m≥1。

根据《组
合数学》中第二类司特林数的定义，n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数为S(n,m)。

3.n个球有区别，m个盒子无区别，无空盒，m>n≥1。

由于m>n，
而n个球至多可放入n个盒子里，所以必定有空盒。