24.1.3 弧、弦、圆心角 教学案

课题：弧、弦、圆心角教学目标：1、理解圆心角概念，掌握圆中心对称性和旋转不变性。

2、探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题。

3、理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的意义。

一、情境引入 二、新课讲解 1、圆的对称性观察：①将圆绕其圆心旋转180°后得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？圆是中心对称图形。

②把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的图形重合吗？ 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性。

2、观察：在圆O 中，这些角有什么共同特点：O ①定义：顶点在圆心上的角叫圆心角（如图）∠AOB 为圆心角，圆心角∠AOB 所对的弧为AB ̂，∠AOB 所对的弦为AB 。

弧 任意给定圆心角对应出现三个量：圆心角弦②随堂练习3、探究圆心角、弧、弦之间的关系①在同圆中，在⊙O 中，如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ̂与CD ̂，弦AB·AB ·ABO ·AB· AB与弦CD 有怎样的数量关系？小结：如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB̂＝CD ̂，AB ＝CD 。

②在等圆中探究： 在等圆中，如果∠AOB ＝∠COD ，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？小结：如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB̂＝CD ̂，AB ＝CD 。

弧、弦与圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？ 为什么？4、弧、弦与圆心角关系定理的推论。

总结：在同圆苛等圆中，如果两个圆心角，两条弧或两条弦中，有一组量相等，那么咜们所对应的其余各组量都分别相等。

5、例题讲解。

①如图，AB 是⊙O 的直径，， ∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数。

②例2，如图，在⊙O 中，AB̂＝AC ̂，∠ACB ＝60° 求证：∠ACB ＝∠BOC ＝∠AOC 6、随堂练习 三、课堂总结1、要注意前提条件2、要灵活转化。

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24。

1.3弧、弦、圆心角一、教材分析了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,最后应用它解决一些具体问题．二、学情分析与园有关的概念:学生对弧、弦、圆心角的概念认识比较容易，但对有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等的性质的应用比较困难。

需要加强突破。

三、教学目标 1．了解圆心角的概念．2．理解有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．理解定理的推论:在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中,如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．四、教学重点难点重点定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．难点探索定理和推导及其应用．五、教学过程设计一、思考圆是中心对称图形吗？如果是，对称中心是什么？根据圆的旋转性，可以很快得出结论：圆是中心对称图形，对称中心是圆心.二、探索新知如图所示，∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．BAO（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题:如图所示的⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么?B'BAA'OAB=''A B，AB=A′B′理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′A B CO同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．（学生活动）请同学们现在给予说明一下．请三位同学到黑板板书，老师点评．例1 ：如图在⊙O 中，⌒ = ⌒ ∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC 。

24．1.3 弧、弦、圆心角1．在实际操作中发现圆的旋转不变性． 2．结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角．3．能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究 探究点一：圆心角【类型一】圆心角的识别如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是()A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．探究点二：圆心角的性质【类型一】利用圆心角的性质求角如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE的大小是()A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．探究点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．三、板书设计教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.。

24.1.3弧、弦、圆心角-公开课-优质课（人教版教学设计精品）24.1圆的有关性质(第3课时)一、内容和内容解析1．内容弧、弦、圆心角之间的关系．2．内容解析弧、弦、圆心角之间的关系，是继垂径定理后圆的又一个重要性质，它是圆中论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据，也是后继研究圆周角以及圆的其他知识的重要基础，是转化思想的具体体现．在同圆或等圆中，如果两条弧、两条弧所对的弦、两条弧所对的圆心角中有一组量相等，那么其他各组量也相等．弧、弦、圆心角之间的关系，是圆的旋转不变性的具体表现，因此在研究方法上依然采用的是利用图形变化的方法，再次体现了图形变化在发现问题、解决问题时的作用．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧、弦、圆心角的关系的探索与应用．二、目标及其解析1．目标(1)了解圆心角的概念．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．(2)在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中体会圆的旋转不变性，在应用弧、弦、圆心角的关系的过程中体会转化思想．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生能识别圆心角，能理解弧、弦、圆心角的关系反映了两条弧，两条弦、两个圆心角三组量中只要其中一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都相等，并能利用这一关系进行有关的证明．达成目标(2)的标志是：学生能从旋转的角度发现问题，并能从旋转的角度对结论进行论证；学生能将证明弦相等、弧相等、圆心角相等的问题进行转化．三、教学问题诊断分析由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路．本课的教学难点是：探索定理和推导及其应用．1。