江西省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编(5)三角函数

2013年全国各省（市）高考真题数学（文）分类汇编与解析（一）三角函数与数列（黑龙江zhnagyajun131@）2013年6月24日1.（2013年安徽卷16题）（本小题满分12分）设函数()sin sin()3f x x x π=++.（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合； （Ⅱ）不画图，说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到.【解析】（1）3sin cos 3cos sin sin )(ππx x x x f ++=x x x x x cos 23sin 23cos 23sin 21sin +=++= )6sin(3)6sin()23()23(22ππ+=++=x x当1)6sin(-=+πx 3，此时34,2236x k x =∴+=+ππππ所以，)(x f 的最小值为},234|Z k k x ∈+=ππ. (2)x y sin =倍，得x y sin 3=； 然后x y sin 3=6)6sin(3π+x【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.2. （2013年北京卷18题） (本小题共13分)已知函数2()sin cos f x x x x x =++。

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。

（Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。

3.（2013年福建卷17题）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S ． （1）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （2）若519S a a >，求1a 的取值范围．本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（1）因为数列{}n a 的公差1d =，且131,,a a 成等比数列， 所以2111(2)a a =⨯+，即21120a a --=，解得11a =-或12a =． （2）因为数列{}n a 的公差1d =，且519S a a >，所以21115108a a a +>+； 即2113100a a +-<，解得152a -<<4. （2013年广东卷16题）．（本小题满分12分）已知函数(),f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝．(1) 求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2) 若33cos ,,252πθθ⎛=∈⎝【解析】(1)13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ==-， 1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．【解析】这个题实在是太简单，两角差的余弦公式不要记错了.5.（ 2013年广西卷17题）．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和6.（全国新课标二卷17题）．（本小题满分12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。

2013高考数学—三角函数分类汇编1．（2013山东卷理5）将函数)2sin(ϕ+=x y 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值是2.（2013山东卷8）函数x x x y sin cos +=的图像大致为3.（2013陕西卷理16）已知向量)21,(cos -=x a ，)2cos ,sin 3(x x b =，R x ∈，设函数b a x f ⋅=)(（1） 求)(x f 的最小正周期；（2） 求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值；4.（2013新课标2卷15）设θ为第二象限角，若21)4tan(=+πθ，则θθcos sin +=5.（2013新课标1卷）设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos 。

6.（2013江西卷理11）函数x x y 2sin 322sin +=的最小正周期T 为 。

7.（2013大纲卷理12）已知函数x x x f 2sin cos )(=，下列结论错误的是.A )(x f y =的图像关于点)0,(π中心对称 .B )(x f y =的图像关于直线2π=x 对称.C )(x f y =的最大值为23.D )(x f 既是奇函数，又是偶函数 8.（2013大纲卷理13）已知α是第三象限角，31sin -=α，则=αcot 。

9.（2013辽宁理17）设向量)sin ,sin 3(x x a =，)sin ,(cos x x b =，]2,0[π∈x 。

（1=，求x 的值；（2）设函数b a x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值。

10.（2013湖南卷理17）已知函数)3cos()6sin()(ππ-+-=x x x f ，2sin 2)(2x x g = （1）若α是第一象限角，且353)(=αf ，求)(αg 的值 （2）求使)()(x g x f ≥成立的x 的取值范围11.（2013天津卷理15）已知函数1cos 2cos sin 6)42sin(2)(2+-++-=x x x x x f π，R x ∈（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在区间]2,0[π上的最大值和最小值。

江西省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（5）三角函数一、选择题: 3. (江西省吉安县二中2013年4月高三月考)设,,a b c 分别ABC △是的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3060A a b ==则是B =的（ ） A.充分不必要条件； B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件；【解析】若1,30A a b ==，由正弦定理得sin sin ,60b B A a b B a=<=或120B =反之，1,60B a b ==则1sin sin ,,302a A B ab A b ==<=，故选B5．(江西省赣州市十二县市2013届高三第二学期期中联考文)设函数()ϕω+=x A x f sin )(（)22,0,0πϕπω<<->≠A 的图像关于直线32π=x 对称，它的周期是π，则（ ）A ．)(x f 的图象过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,12ππ上是减函数C ．)(x f 的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛0,125π D ．)(x f 的最大值是4【答案】C7．（江西省九校2013届高三第二次联考文）已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取最小值，则函数3()4y f x π=-是（ ） A ．偶函数且图像关于点(,0)π对称 B ．偶函数且图像关于点3(,0)2π对称 C ．奇函数且图像关于点3(,0)2π对称 D ．奇函数且图像关于点(,0)π对称 【答案】D3．(江西师大附中、鹰潭一中2013年4月高三联考文)已知角α终边上一点P ，则2sin 23tan αα-=（ ）A ．1--B ．1-C ．-D ．0【答案】D二、填空题:11. (江西省赣州市十二县市2013届高三第二学期期中联考理)已知1212(cos,sin ),(2sin ,4cos ),4643e e e e ππππ==⋅= .【答案】215. （江西省八所老牌重点中学2013届高三下学期第一次联考文）已知函数()cos sin f x x x =，给出下列四个结论：①若12()()f x f x =-，则12x x =-； ②()f x 的最小正周期是2π； ③()f x 在区间[,]44ππ-上是增函数； ④()f x 的图象关于直线34x π=对称． 其中正确的结论是 .【答案】③④ 三、解答题:16. (江西省赣州市十二县市2013届高三第二学期期中联考理) (本小题满分12分）己知，将)(x f 的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数)(x g 的图象(I) 求+的值；(II) c b a 、、分别是ABC ∆内角A B C 、、的对边，4=+c a ，且当B x =时，)(x g 取得最大值，求b 的取值范围.16．(江西省赣州市十二县市2013届高三第二学期期中联考文)（本小题满分12分）．已知函数()3sin()sin()()2f x x x ππωωω=---＞0的图像上两相邻最高点的坐标分别为,2)34(),2,3(ππ.（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，a b c 、、分别是角A,B,C 的对边，且()2f A =求2b ca -的取值范围．16．（江西省九校2013届高三第二次联考理）（本小题满分12分）设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f ,y=f （x ）图像的一条对称轴是直线8π=x ．（1）求ϕ； （2）求函数)(x f y =的单调增区间； （3）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切．17．(江西师大附中、鹰潭一中2013年4月高三联考文)（本小题满分12分） 已知点1122(,),(,)A x y B x y 是函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ图象上的任意两点，若12||2y y 时，12||x x 的最小值为2π，且函数()f x 的图像经过点1(0,)2．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin sin cos 21A C B ，求()f B 的取值范围．17.(I)由题意知22T π=,T π∴=，又2,2T πωω=∴=1(0)sin 2f ϕ==且(0,)2πϕ∈，6πϕ∴=从而()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ……………………………………6分（II ）2sin sin cos 21A C B +=22sin sin 1cos 22sin A C B B ∴=-=即2sin sin sin A C B = 2ac b ∴=由222221cos 222a c b a c ac B ac ac +-+-==≥，得(0,]3B π∈ 52(,]666B πππ∴+∈,从而()sin(2)6f B B π=+取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………12分16. (江西省新余市2013届高三第二次模拟文)（本小题满分12分）已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-2sin 2x ． （1）求f(x)的单调递减区间；（2）A 、B 、C 是△ABC 的三内角，其对应的三边分别为a 、b 、c ．若()8A f =，AB AC ⋅=12，a =b<c ，求b 、c 的长．16．解：（1）f sin(2x+4π)， ∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时，f (x)单调递减， 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+，即f (x)的单调递减区间为[8k ππ+，58k ππ+](k ∈Z)． ………………6分（2）f (8A sin(4A +4πsin(4A +4π，)2,4(44πππ∈+A∴ 4A +4π=3π，即A=3π．由AB AC ⋅=c ·b ·cosA=12，cosA=12，得bc=24．①又cosA=222122b c a a bc +-==，b 2+c 2=52．∵ b 2+c 2+2bc=(b+c)2=100，b>0，c>0，∴ b+c=10，②联立①②，且b<c ，解得b=4，c=6．……………………………………12分 16．(江西省宜春市2013届高三4月模拟文) (本小题满分12分)已知向量(1,cos 2),(sin 2,3)m x n x ==，函数()f x m n =⋅，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移3π个单位，所得函数图象对应的解析式记为()g x . （1）求()g x 的解析式；（2）在锐角ABC ∆中，a b c 、、是角A 、B 、C 所对的边，且满足222a cb ac +-=，求()f A 的取值范围.16．解：（1）()sin 222sin(2)3f x m n x x x π=⋅=+=+ ……… 4分)32sin(2)(π+=x x f 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得)3sin(2π+=x y ，再向右平移3π个单位后得()2sin g x x =……… 6分 （2）222a cb ac +-=，2221cos 22a cb B ac +-∴== 又0B π<<，3B π∴=.……… 8分()2sin(2)3f A A π∴=+在锐角△ABC 中,362B A πππ=∴<<.于是242333A πππ<+<，……… 10分sin(2)()322A π∴+∈-所以()(f A ∈……… 12分16．(江西省吉安县二中2013年4月高三月考)（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量P =（sinA,b+c ），q =（a －c,sinC －sinB ）,满足p q +=p q -（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设m =（sin （C+3π）,12）, n =（2k,cos2A ） （k>1）, ⋅m n 有最大值为3，求k 的值.16．解：（Ⅰ）由条件p q +=p q -|，两边平方得0a b =，……2分 得（a －c ）sinA ＋（b+c ）（sinC －sinB ）＝0，根据正弦定理，可化为a （a －c ）+（b+c ）（c －b ）=0,即222a cb ac +-=，……4分 又由余弦定理222a cb +-＝2 a cosB,所以cosB ＝12，B ＝3π.……6分 （Ⅱ）m =（sin （C+3π）,12）, n =（2k,cos2A ） （k>1）, ⋅m n =2ksin （C+3π）+12cos2A=2ksin （C+B ）+12cos2A=2ksinA+2cos A -12=-2sin A +2ksinA+12=-22(sin )A k k -++12（k>1）. ……8分而0<A<23π,sinA∈（0,1],故当sinA＝1时，⋅m n取最大值为2k-12=3,得k＝74 (12)分。

第四章 三角函数与解三角形 一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若sin 2a =，则cos a =（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．23[答案]C[解析]221cos 12sin 12..23C αα=-=-⨯=∴选 [考点定位]此题主要考查三角恒等变换里面的二倍角余弦公式、三角函数求值问题. 2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知a 是第二象限角，5sin ,13a =则cos a =（ ）（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213【答案】A【解析】∵a 是第二象限角，∴12cos 13α===-.故选A. 【考点定位】三角求值3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ）A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 【考点定位】三角函数诱导公式.4.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图像如图，则=ω（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】∵由题中图像可知0042T x x π+-=.∴2T π=.∴22ππω=.∴4ω=.故选B. 【考点定位】三角函数的图像与解析式.5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】函数()2s i n ()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π- （B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π【答案】A【解析】由图知，周期T 满足111521212T ππ=-，∴T π=，又0ω>，∴2ω=，故()2sin(2)f x x ϕ=+，图象的最高点为5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，于是由“五点法”作图，知52122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=-，选A.【易错点】注意求初相ϕ的值时，图象的最高点坐标与五个关键点坐标的对应关系最容易代错！【考点定位】本题考查正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，难点是确定初相ϕ的值，关键是理解“五点法”作图.6.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 已知sin2α=错误！未找到引用源。