2014-2015年湖北省黄冈中学高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)

湖北省黄冈中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．1．（5分）下列说法中正确的是（）A．频率是概率的近似值，随着试验次数增加，频率会越来越接近概率B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，这样对被剔除者不公平C．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x+9x3+5x5+3x6在当x=﹣1时的值时要用到6次加法和15次乘法D．数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半2．（5分）2014年索契冬季奥运会的花样滑冰项目上，8个评委为某选手打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是（）A．84 B．85 C．86 D．87.53．（5分）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．35 B．25 C．15 D．74．（5分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球5．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元6．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公共弦长为（）A．B．C．3D．7．（5分）设，求a2+a4+…+a2n的值（）A．3n B．3n﹣2 C．D．8．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=2，M、N分别为边AB、BC 的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（5分）空间直角坐标系中与点P（2，3，5）关于yoz平面对称的点的坐标为．12．（5分）由数字0，1，2，3，4组成的没有重复数字且比2000大的四位数的个数为（用数字作答）．13．（5分）在（1+x2）（1﹣2x）6的展开式中，x5的系数为．14．（5分）根据如图算法语句，当输出y的值为31时，输入的x值为．15．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若a n=2005，则n=．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组14，15），…，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩在区间0，30，2﹣1，1﹣，﹣2，2﹣，﹣1，1﹣2，2﹣2，213，14），第二组17，1814，16）内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；（2）请根据频率分布直方图估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．考点：众数、中位数、平均数；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图，求出成绩在14，16）内的人数为：50×0.18+50×0.38=28人；（2）由频率分布直方图知，众数落在第三组15，16）中；设中位数是x，∴0.22+（x﹣15）×0.38=0.5，解得中位数．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据图中数据，会求中位数与众数，是基础题．17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+b2=0．（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程没有实根的概率；（2）若a是从区间内任取的一个数，b是从区间内任取的一个数，求上述方程没有实根的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；几何概型．专题：概率与统计．分析：（1）求得所有的（a，b）共12个，而满足条件的（a，b）共3个，由此求得所求事件的概率．（2）如图，试验的所有基本事件所构成的区域为矩形OABC，其中所求事件的区域为三角形OEC，由所求事件发生的概率为，运算求得结果．解答：解：（1）设事件A为“方程x2﹣2ax+b2=0无实根”；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当△=4a2﹣4b2=4（a2﹣b2）＜0，即a＜b时，方程x2﹣2ax+b2=0无实根．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所有的（a，b）共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中，第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含3个基本事件（0，1），（0，2），（1，2），由于每个基本事件发生的可能性都相同，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴事件A发生的概率P（A）==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）答：方程x2﹣2ax+b2=0没有实根的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）设事件B为“方程x2﹣2ax+b2=0无实根”；﹣﹣﹣﹣（8分）如图，试验的所有基本事件所构成的区域为矩形OABC：{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其中构成事件B的区域为三角形OEC，即{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a＜b}，由于点（a，b）落在区域内的每一点是随机的，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴事件B发生的概率P（B）===．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）答：方程x2﹣2ax+b2=0没有实根的概率为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，几何概型问题，属于基础题．18．（12分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．（1）求n；（2）求展开式中的所有有理项；（3）求C n1+9C n2+81C n3+…+9n﹣1C n n的值．考点：二项式系数的性质；二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：（1）根据在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求出n的值．（2）在通项公式中，令x的幂指数为整数，求得r的值，可得展开式中的所有有理项．（3）把要求的式子化为，再利用二项式定理求得结果．解答：解：（1）由题意可得，，解得n=10．（2）因为通项公式为：T r+1=•（﹣2）r•，令5﹣为整数，r可取0，6，于是有理项为和T7=13400．（3）==．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．19．（12分）阅读如图的程序框图，解答以下问题：（1）如果输入的N=3，那么输出的S为多少？（2）对于输入的任何正整数N，都有对应S输出．证明：S＜2．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：（1）写出各次循环得到的结果，直到满足判断框中的条件，退出循环；（2）由框图判定出，根据n＞2时有n＞2时有n!＞2n﹣1，得证．解答：解：（1）第一次循环得到：T=1，S=1，k=2；第二次循环得到：；，4＞3满足条件，输出（2）由题意知，而n＞2时有n!＞2n﹣1∴经验证，n=1，2也有S＜2．点评：本题考查的知识点是循环结构，在求程序的运行结果时，我们常使用模拟运行的方法，如何管理程序运行过程中各变量的值，是解答本题的关键20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：空间角．分析：（I）取AD的中点G，连结PG、GB、BD，由已知条件推导出PG⊥AD，BG⊥AD，从而得到AD⊥平面PGB，由此能够证明AD⊥PB．（II）取PB的中点F，连结MF，CF，由已知条件推导出四边形CDMF是平行四边形，同此能够证明DM∥平面PCB．（III）以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．解答：（I）证明：取AD的中点G，连结PG、GB、BD．∵PA=PD，∴PG⊥AD…（2分）∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PGB．∴AD⊥PB．…（4分）（II）证明：取PB的中点F，连结MF，CF，∵M、F分别为PA、PB的中点，∴MF∥AB，且．∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，∴MF∥CD且MF=CD，…（6分）∴四边形CDMF是平行四边形．∴DM∥CF．∵CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB，∴DM∥平面PCB．…（8分）（III）解：∵侧面PAD⊥底面ABCD，又∵PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD．∴PG⊥BG．∴直线GA、GB、GP两两互相垂直，故以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系G﹣xyz．设PG=a，则由题意得：，．∴．设是平面PBC的法向量，则且．∴取，得．∵M是AP的中点，∴．∴．．∴．平面PAD的法向量，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ，则，…（10分）∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．…（12分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（14分）如图，圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0．（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；（Ⅱ）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x2+y2=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）在圆的方程中，令y=0，可得关于x的一元二次方程的判别式等于零，由此求得a 的值，从而求得所求圆C的方程．（Ⅱ）先求出所以M（1，0），N（a，0），假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入x2+y2=4，利用韦达定理，根据NA、NB的斜率之和等于零求得a 的值．经过检验，当直线AB与x轴垂直时，这个a值仍然满足∠ANM=∠BNM，从而得出结论．解答：（Ⅰ）因为由可得x2﹣（1+a）x+a=0，由题意得△=（1+a）2﹣4a=（a﹣1）2=0，所以a=1，故所求圆C的方程为x2﹣2x+y2﹣y+1=0．（Ⅱ）令y=0，得x2﹣（1+a）x+a=0，即（x﹣1）（x﹣a）=0，求得x=1，或x=a，所以M（1，0），N（a，0）．假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入x2+y2=4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），从而．因为NA、NB的斜率之和为，而（x1﹣1）（x2﹣a）+（x2﹣1）（x1﹣a）=2x1x2﹣（a+1）（x2+x1）+2a==，因为∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，，即，得a=4．当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互为相反数．综上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM．点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．。

2014-2015学年湖北省黄冈市黄梅一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题）1．（5分）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A 类学校中的学生甲被抽到的概率为（）A．B．C．D．2．（5分）设（﹣x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2的值为（）A．0 B．2 C．﹣1 D．13．（5分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系4．（5分）在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）某校高二年级有8个班，现有6名学生，分配到其中两个班，每班3人，共有种（）方法．A．280 B．560 C．1120 D．33606．（5分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．7．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A．68 B．68.2 C．69 D．758．（5分）执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合”．在集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（）A．B．C． D．10．（5分）在数1，2，3，4，5的排列a1，a2，a3，a4，a5中，满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列出现的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题）11．（5分）若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为．12．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=．13．（5分）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P 等于．14．（5分）将7个“省三好学生”名额分配给5个不同的学校，其中甲乙两校各要有2个名额，则不同的分配方案种数有种．（用数字作答）15．（5分）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则+的最小值为．三、解答题（共6小题）16．（12分）用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？（2）可以排出多少个不同的数？（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？17．（12分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．18．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．19．（12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．20．（13分）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值；（1）求随机变量ξ的数学期望（2）记“关于x的不等式ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A 发生的概率P（A）．21．（14分）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，直线l与圆C交于点A、B，且以AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．2014-2015学年湖北省黄冈市黄梅一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．（5分）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A 类学校中的学生甲被抽到的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：抽样比f==，∴A类学校应该抽取2000×=200，∴A类学校中的学生甲被抽到的概率为P==．故选：A．2．（5分）设（﹣x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2的值为（）A．0 B．2 C．﹣1 D．1【解答】解：设f（x）=则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2=（a0+a1+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣…﹣a9+a10）=f（1）f（﹣1）=（）10（）10=1．故选：D．3．（5分）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系【解答】解：样本中心点在直线上，故A正确，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确，R2越大拟合效果越好，故C不正确，当r的值大于0.75时，表示两个变量具有线性相关关系，故选：C．4．（5分）在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：满足约束条件区域为△ABC内部（含边界），与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率概率为P=．故选：D．5．（5分）某校高二年级有8个班，现有6名学生，分配到其中两个班，每班3人，共有种（）方法．A．280 B．560 C．1120 D．3360【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先把6个人平均分成两个组，作为两个元素，这是一个平均分组问题，有=10种结果，把这两个元素在8个位置排列，共有A82=56种结果，根据分步计数原理得到共有10×56=560，故选：B．6．（5分）把一枚硬币任意抛掷三次，事件A=“至少一次出现反面”，事件B=“恰有一次出现正面”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，P（AB）==，P（A）=1﹣=，∴P（B|A）==，故选：C．7．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A．68 B．68.2 C．69 D．75【解答】解：设表中有一个模糊看不清数据为m．由表中数据得：=30，=，由于由最小二乘法求得回归方程．将x=30，y=代入回归直线方程，得m=68．故选：A．8．（5分）执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知该循环体运行3次第一次：s=，n=2第二次：s==，n=3第三次：s==，n=4此时退出循环体，不满足S＜P，所以，故选：D．9．（5分）若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合”．在集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：∵集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}，∴集合M的所有非空子集的个数为：29﹣1=511．∵若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合，∴若﹣1∈A，则∈A；若1∈A，则∈A；若2∈A，则∈A，2与一起成对出现；若3∈A，则∈A，3与一起成对出现；若4∈A，则∈A，4与一起成对出现．∴集合M的所有非空子集中，“伙伴关系集合”可能有：25﹣1=31个．∴在集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为：．故选：C．10．（5分）在数1，2，3，4，5的排列a1，a2，a3，a4，a5中，满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列出现的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：数1，2，3，4，5的排列共有A55=120种结果，记“满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5”为事件A，则A包含的结果有2A22+2A33=16由古典概率的计算公式可得P（A）=；故选：B．二、填空题（共5小题）11．（5分）若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为84．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故答案为：84．12．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=．【解答】解：画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象如下图：由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=p，则P（ξ＜﹣1）=p，∴则P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣2p，P（﹣1＜ξ＜0）=．故填：．13．（5分）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P等于．【解答】解：∵ξ服从二项分布B～（n，p）Eξ=300，Dξ=200∴Eξ=300=np，①；Dξ=200=np（1﹣p），②．可得1﹣p==，∴p=1﹣=．故答案为：．14．（5分）将7个“省三好学生”名额分配给5个不同的学校，其中甲乙两校各要有2个名额，则不同的分配方案种数有35种．（用数字作答）【解答】解：∵7个市三好学生名额是相同的元素，∴要满足甲、乙两校至少各有两个名额，可以先给甲和乙各两个名额，余下的三个相同的元素在五个位置任意放，当三个元素都给一个学校时，有5种结果，当三个元素分为1和2两种情况时，有4×5=20种结果，当三个元素按1、1、1分成三份时，有C53=10种结果，∴不同的分配方案有5+20+10=35种结果故答案为：35．15．（5分）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则+的最小值为．【解答】解：因为该足球队进行一场比赛得分的期望是1，所以3a+b=1所以+=（3a+b）（+）=+=，当且仅当a=b取等号，+的最小值为．故答案为：．三、解答题（共6小题）16．（12分）用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？（2）可以排出多少个不同的数？（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？【解答】解：（1）得到一个三位数，分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位．百位上的数字填法有6种，十位上的数字填法有5种，个位上的数字填法有4种，根据分步计数原理，各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120个．（2）分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位，每种都有6种方法，根据分步计数原理，可以排出6×6×6=216个不同的数．（3）从三个位中任选两个位，填上相同的数字，有6C32种方法，剩下的一位数字的填法有5种，根据分步计数原理，恰好有两个相同的数字的三位数有6C32 C51=90 个．17．（12分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．【解答】解：（Ⅰ）由题设，得，即n2﹣9n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）．（Ⅱ）设第r+1的系数最大，则即解得r=2或r=3．所以系数最大的项为T3=7x5，．18．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．【解答】解：（1）由题意可得，∴n=160；（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=∴该代表中奖的概率为=．19．（12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，则有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示．（Ⅱ）平均分为：（Ⅲ）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人，并且X的可能取值是0，1，2．所以X的分布列为：．∴EX=0×+1×+2×==．20．（13分）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一料种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值；（1）求随机变量ξ的数学期望（2）记“关于x的不等式ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A 发生的概率P（A）．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4，（2分）∵“ξ=0”指的是实验成功2次，失败2次．（2分）∴p（ξ=0）=．“ξ=2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次．∴P（ξ=2）=．“ξ=4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次．∴p（ξ=4）=，（6分）∴Eξ=．故随机变量ξ的数学期望为．（7分）（2）由题意知：“不等式ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数R”为事件A．当ξ=0时，不等式化为1＞0，其解集是R，说明事件A发生；当ξ=2时，不等式化为2x2﹣2x+1＞0，∵△=﹣4＜0，所以解集是R，说明事件A发生；当ξ=4时，不等式化为4x2﹣4x+1＞0，其解集{x|x}，说明事件A不发生．（10分）∴p（A）=p（ξ=0）+p（ξ=2）=．（12分）21．（14分）已知圆C经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，直线l与圆C交于点A、B，且以AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【解答】解：（1）直线PQ的方程为y﹣3=×（x+1）即直线PQ的方程为x+y﹣2=0，C在PQ的中垂线y﹣=1×（x﹣）即y=x﹣1上，设C（n，n﹣1），则r2=|CQ|2=（n+1）2+（n﹣4）2，由题意，有r2=（2）2+|n|2，∴n2+12=2n2﹣6n+17，∴n=1或5（舍去），r2=13或37（舍去），∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=13．（2）设直线l的方程为x+y+m=0，由，得2x2+（2m﹣2）x+m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1﹣m，x1x2=，∵以AB为直径的圆经过坐标原点，∴∠AOB=90°，∴x1x2+y1y2=0∴x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，整理得m2+m﹣12=0，∴m=3或﹣4（均满足△＞0），∴l的方程为x+y+3=0或x+y﹣4=0．。

2014-2015学年湖北省黄冈中学高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）2．（5分）已知a是第二象限角，，则cosα=（）A．B．﹣ C．D．﹣3．（5分）函数f（x）=log3（2x+1）的值域为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）4．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣15．（5分）函数的零点所在的区间是（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）6．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．87．（5分）已知函数f（x）=，则（）A．B．C．D．8．（5分）下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于；④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是．说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）10．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）11．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=．13．（5分）函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）的单调增区间是．14．（5分）已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA=，则cosB=．15．（5分）定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{﹣2.5}=﹣2．当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则=．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．17．（12分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），且{b n}的前n项和T n．求证：T n≥2．18．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．19．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．20．（13分）已知函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x的导数为f′（x），且数列+a n=nf′（）+3（n∈N*）．{a n}满足a n+1（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意n∈N*，都有≥4成立，求a1的取值范围．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（Ⅰ）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1）n∈N，求n；（Ⅲ）当b=a﹣2时，若x1，x2是F（x）的两个极值点，当|x1﹣x2|＞1时，求证：|F（x1）﹣F（x）|＞3﹣4ln2．2014-2015学年湖北省黄冈中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C．2．（5分）已知a是第二象限角，，则cosα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵α为第二象限角，tanα=﹣，∴cosα=﹣=﹣．故选：B．3．（5分）函数f（x）=log3（2x+1）的值域为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵2x+1＞1恒成立，∴函数的定义域是R，∵函数y=log3x在定义域上是增函数，∴y＞log31=0，则原函数的值域是（0，+∞）．故选：A．4．（5分）已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（）A．m+n=1 B．m+n=﹣1 C．mn=1 D．mn=﹣1【解答】解：由题意可得，∴，故有，∴mn=1，故选：C．5．（5分）函数的零点所在的区间是（）A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）【解答】解：∵函数，∴f（2）==＜0，f（3）==＞0，∴f（2）f（3）＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为（2，3）故选：B．6．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：依题意可得b n=qb n，则数列{b n}为等比数列．+1又，则b50=2．∴，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=，则（）A．B．C．D．【解答】解：（x+1）2dx+dx，∵（x+1）2dx=（x+1）3|=，dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一，故dx=π，∴（x+1）2dx+dx==，故选：B．8．（5分）下列四种说法中，①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命题“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③已知幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于；④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是．说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①命题“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“对于任意x∈R，x2﹣x≤0”，故命题①不正确；②命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，∴“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q不一定都真，∴不一定有“p且q为真”，∴命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；③由幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），∴2α=，∴α=，∴幂函数为，∴，∴命题③正确；④向量在向量方向上的投影是，其中θ是和的夹角，故④错误．∴正确的命题有一个．故选：A．9．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．10．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）11．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=，n∈N*．【解答】解：设，代入4a2=4a1+a3，解得q=2，∴，n∈N*．故答案为：，n∈N*．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=﹣．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得•T=•=3﹣1，ω=．再根据五点法作图可得×1+φ=，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（x﹣），∴f（2）=sin（﹣）=sin=﹣sin=﹣，故答案为：﹣．13．（5分）函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）的单调增区间是（0，+∞）．【解答】解：由x+1＞0，得：f（x）定义域为（﹣1，+∞），又，∵x＞﹣1，∴x+1＞0且x+2＞0，由f′（x）=0得x=0，令f′（x）＞0得x＞0∴增区间为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（5分）已知△ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sinA=，则cosB=．【解答】解：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理2sinA=，可得2a++3c=，则2a+=﹣3c=﹣3c（﹣），即（2a﹣3c）=，又因∵不共线，则2a﹣3c=0，，即2a==3c∴，，∴．故答案为：．15．（5分）定义函数f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{﹣2.5}=﹣2．当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则=．【解答】解：由题意易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A1={1}，a1=1；当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A2={1，3，4}，a2=3；当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，所以A3={1，3，4，7，8，9}，a3=6；当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以A4={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a4=10；当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以A 5={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a5=15，由此类推：a n=a n﹣1+n，所以a n﹣a n﹣1=n，即a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，a4﹣a3=4，…，a n﹣a n﹣1=n，以上n﹣1个式子相加得，a n﹣a1=，解得，所以，则，故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（0）=3得，c=3．∴f（x）=ax2+bx+3．又f（x+1）﹣f（x）=4x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=4x+1，即2ax+a+b=4x+1，∴，∴．∴f（x）=2x2﹣x+3．（2）f（x）＞6x+m等价于2x2﹣x+3＞6x+m，即2x2﹣7x+3＞m在[﹣1，1]上恒成立，令g（x）=2x2﹣7x+3，则g（x）min=g（1）=﹣2，∴m＜﹣2．17．（12分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），且{b n}的前n项和T n．求证：T n≥2．【解答】（1）解：设公比为q，由题意：q＞1，a1=1，则a 2=q，，∵S3=2S2+1，∴a1+a2+a3=2（a1+a2）+1，…（2分）则1+q+q2=2（1+q）+1，解得：q=2或q=﹣1（舍去），∴．…（4分）（2）证明：b n=2n﹣1+a n=2n﹣1+2n﹣1，…（6分）=+=n2+2n﹣1．…（8分）又∵在[1，+∞）上是单调递增的，∴T n≥T1=2，∴T n≥2．…（10分）18．（12分）已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．【解答】解：（1）∵∴∴（2分）（6分）（2）由正弦定理得，（a＜b，即A＜B），所以A=（9分）∵∴所以（12分）19．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【解答】解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8﹣）x≥25×8，整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（2）依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8+50+（x2﹣600）+x有解，等价于x＞25时，a≥+x+有解．由于+x≥2 =10，当且仅当=，即x=30时等号成立，所以a≥10.2．当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．20．（13分）已知函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x的导数为f′（x），且数列{a n}满足a n+1+a n=nf′（）+3（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，求a1的值；（2）当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若对任意n∈N*，都有≥4成立，求a1的取值范围．【解答】解：函数f（x）=lnx+cosx﹣（﹣）x，∴，则，故a n+1+a n=4n+3（1）若数列{a n}是等差数列，由a n+1+a n=4n+3得（a1+nd）+[a1+（n﹣1）d]=4n+3，解得：（2）由．得a n+2+a n+1=4n+7两式相减，得a n+2﹣a n=4故数列{a2n﹣1}是首项为a1，公差为4的等差数列．数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列，由a2+a1=7，a1=2，得a2=5，所以①当n为奇数是，a n=2n，an+1=2n+3.=；②当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+…+a n=；（3）由（2）知，，①当n为奇数时，a n=2n﹣2+a1，a n+1=2n+5﹣a1．由．令，∴f（n）max=f（1）=﹣21，∴．解得．②当n为偶数时，a n=2n+3﹣a1，a n +1=2n+a1．由．令，∴g（n）max=g（2）=﹣21，∴解得a1∈R综上，a1的取值范围是．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（Ⅰ）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1）n∈N，求n；（Ⅲ）当b=a﹣2时，若x1，x2是F（x）的两个极值点，当|x1﹣x2|＞1时，求证：|F（x1）﹣F（x）|＞3﹣4ln2．【解答】解：（I），g'（x）=2x+b…（1分）由题知，即…（2分）解得（II）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣（x2+bx），由题知，即解得a=6，b=﹣1…（6分）∴F（x）=6lnx﹣（x2﹣x），=∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，故F（x）至多有两个零点，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞）…（7分）又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0∴x0∈（3，4），故n=3 …（9分）（III）当b=a﹣2时，F（x）=alnx﹣[x2+（a﹣2）x]，=，由题知F'（x）=0在（0，+∞）上有两个不同根x1，x2，则a＜0且a≠﹣2，此时F'（x）=0的两根为﹣，1，…（10分）由题知|﹣﹣1|＞1，则+a+1＞1，a2+4a＞0又∵a＜0，∴a＜﹣4，此时﹣＞1则F（x）与F'（x）随x的变化情况如下表：（﹣∴|F（x1）﹣F（x2）|=F（x）极大值﹣F（x）极小值=F（﹣）﹣F（1）=aln（﹣）+a2﹣1，…（11分）设，则，，∵a＜﹣4，∴＞﹣，∴＞0，∴Φ'（a）在（﹣∞，﹣4）上是增函数，Φ'（a）＜Φ'（﹣4）=ln2﹣1＜0从而Φ（a）在（﹣∞，﹣4）上是减函数，∴Φ（a）＞Φ（﹣4）=3﹣4ln2∴|F （x 1）﹣F （x ）|＞3﹣4ln2．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

湖北省黄冈中学2015届高三（上）期中考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1.函数()lg(1)f x x =-的定义域是（ ）A ．(, 2]-∞ B.(2,)+∞ C.(1,2] D.(1,)+∞ 2．已知{}n a 是等差数列，1732,2a a a +=-=，则{}n a 的公差d = ( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－43.在锐角△ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于( )A . 30B .45 C .60 D .754．已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 的零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4) D ．(4,)+∞5． 已知,x y 满足1029x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ． 12B ．9C ． 6D ．36.设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l α⊂，m β⊂，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m β⊂，则β⊥α，则下列命题为真命题的是 （ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．p ⌝或qD ．p 且q ⌝ 7．已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线 ( ) .A 65π=x .B 34π=x .C 3π=x .D 3π-=x 8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 （ ）A(8)3π+B(82)3π+C(6)3π+D(92)3π+9．已知函数9()4,(0,4)1f x x xx=-+∈+，当x a=时，()f x取得最小值b，则在直角坐标系下函数1()()x bg xa+=的图像为（）A B C D 10．已知函数2()21lnf x x x a x=-++有两个极值点12,x x，且12x x<，则（）A．212ln2()4f x+<-B．212ln2()4f x-<C．212ln2()4f x+>D．212ln2()4f x->第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置．) 11．已知sin2sinαα=-,(,)2παπ∈,则tanα的值是___ _____.12.已知向量()1,2a=，(),2b x=-，且()a a b⊥-，则实数x等于__ _____13.函数()2sinf x x x的零点个数为个.14.定义运算11ab，babaab122122-=则函数()21331x xx xf x+=的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是________________15．已知在四面体ABCD中，E F、分别是AC BD、的中点，若24,CD AB EF AB==⊥，则EF与CD所成的角为16.数列{}na中相邻两项na与1na+是方程230nx nx b++=的两根，已知1017a=-，则51b等于______________3122俯视图17.下列命题：①数列{}n a 为递减的等差数列且051=+a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则当4=n 时，n S 取得最大值；②设函数2()=+f x x bx c +，则0x 满足关于x 的方程20x b +=的充要条件是对任意xR 均有0()()f x f x ；③在长方体1111ABCDA B C D 中，121ABBCAA ，，直线1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为105；④定义在R 上的函数()y f x 满足(5)()f x f x +=-且/5()()02xf x ，已知21x x <，则)()(21x f x f >是521<+x x 的充要条件.其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）.三、解答题：(本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，已知222b c a bc +=+． （1）求角A 的大小； （2）若222sin 2sin 122B C+=，求角B 的大小．19.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，21a +是1a 与3a 的等差中项，设1(1,2),(,)n n x y a a +==，且满足//x y .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 前n 项的和为n S ，若数列{}n b 满足2log (2)n n n b a S =+，试求数列{}n b 前n 项的和n T .20.（本小题满分13分）如图，C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 31=，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积．21.（本小题满分14分）据气象中心的观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v /)km h （与时间)t h （的函数图像如图所示，过线段OC 上一点(,0)T t 作横轴的垂线l ，则梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内沙尘暴所经过的路程()S km ．(1)当4t =时，求S 的值；(2)将S 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地为650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城．如果会，在沙尘暴发生多长时间后它将侵袭到N 城；如果不会，请说明理由．22.（本小题满分14分）已知函数1()ln1x f x x +=- （Ⅰ）求函数的定义域，并证明1()ln1x f x x +=-在定义域上是奇函数； （Ⅱ）对于[2,6]x ∈，()ln(1)(7)mf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）当*n N ∈时，试比较(2)(4)(6)...(2)f f f f n ++++与222n n +的大小关系．教师版湖北省黄冈中学2015届高三（上）期中考试数学（文）试题命题： 胡小琴 审题： 高三文科数学备课组本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．） 1.函数()lg(1)f x x =-的定义域是A ．(, 2]-∞ B.(2,)+∞ C.(1,2] D.(1,)+∞ 【答案】：C2．已知{}n a 是等差数列，1732,2a a a +=-=，则{}n a 的公差d = ( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4 解析：1744221a a a a +==-⇒=- 又32,3a d ==- 【答案】：C3.在锐角△ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于( )A. 30B. 45C. 60D.75【答案】：A4．已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 的零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4) D ．(4,)+∞ 【答案】 C5． 已知,x y 满足1029x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ． 12B ． 9C ． 6D ． 3 【答案】：B6.设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l α⊂，m β⊂，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m β⊂，则β⊥α，则下列命题为真命题的是 （ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．p ⌝或qD ．p 且q ⌝ 【答案】C7．已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线 ( ) .A 65π=x .B 34π=x .C 3π=x .D 3π-=x 【答案】D8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 （ ）A (8)3π+ B (82)3π+C (6)3π+ D (92)3π+【答案】：A9．已知函数9()4,(0,4)1f x x x x =-+∈+，当x a =时，()f x 取得最小值b ，则在直角坐标系下函数1()()x bg x a+= 的图像为（ ）A B C D【答案】B10．设函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则（ ）A ．212ln 2()4f x +<- B ．212ln 2()4f x -<C ．212ln 2()4f x +>D ．212ln 2()4f x ->【答案】D解析：()f x 的定义域为()0,+∞，求导得2'22()x x af x x-+=，因为()f x 有两个极值点12,x x ，3122俯视图所以12,x x 是方程2220x x a -+=的两根，又12x x <，且121x x +=，所以2112x <<又22222a x x =-，所以()()()2222222122ln f x x x x x =-+-，令()()22()122ln g t t t t t =-+-112t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，()()'212ln 0g t t t =->所以()g t 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()112ln 224g t g -⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以2122()4ln f x ->第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置．)11． 设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan α的值是________.【答案】___12． 已知向量()1,2a =，(),2b x =-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于________【答案】 9解析：()1,4a b x -=-，由()a ab ⊥-得180x -+=，解得：9x = 13.函数()2sin f x x x 的零点个数为 个.【答案】 1【解析】 因为()'2cos 0f x x =->在R 上恒成立，所以函数()2sin f x x x =-在R 上单调递增.又因为()00f =，所以函数()2sin f x x x =-只有一个零点0. 14.定义运算11a b ，b a b a a b 122122-=则函数()13312x x x x x f +=的图象在点⎪⎭⎫⎝⎛31,1处的切线方程是________________ 【答案】: 6350x y --= 由定义可知()213313213x x xx f x x x x +==+-，故()2'21f x x x =+-.则()'12f =.所以函数()f x 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1处的切线方程为()1213y x -=-，化为一般式为6350x y --=， 15．已知在四面体ABCD 中，E F 、分别是AC BD 、的中点，若24,CD AB EF AB ==⊥， 则EF 与CD 所成的角为______________【答案】30 取AD 中点G ，则取AD 中点G ，则//,//90EG CD FG AB EFG ∴∠=，FEG ∠ 为EF 与CD 所成的角。