黄冈中学数学高考模拟试题(一)

黄冈中学高考数学模拟测试题（理科）1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）1．数列{a n }的通项a n ＝anbn ＋1(a ＞0，b ＞0)，则a n 与a n ＋1的大小关系为( )A ．a n ＞a n ＋1B ．a n ＜a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 取值有关2．若函数f(x)＝log a (x 2－ax ＋3)在区间(－∞，a 2]上为减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，23)D ．(0，1)∪(1，23) 3．等差数列{a n }的首项a 1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的项为( )A ．a 6B ．a 8C ．a 9D ．a 104．在△ABC 中，条件甲：A ＜B ，甲 乙：cos 2A ＞cos 2B ，则甲是乙的( ) A ．仅充分条件 B ．仅必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件5．已知f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则有A ．b ＜0B ．0＜b ＜1C ．1＜b ＜2D ．b ＞26．设平面向量＝(x ，y)，＝(x 2，y 2)，＝(1，－1)，＝(19，－14)，若·＝·＝1，则这样的向量的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．47．以椭圆的两焦点为直径端点的圆与椭圆有两个交点，则椭圆的离心率的变化范围是( )A ．(0，22) B ．(0，33) C ．(22，1) D ．(33，1) 8．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋发生的概率为( )A ．13B ．12C ．23D ．569．不等式t t 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0，2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[16，1]B ．[213，1]C ．[116，413]D ．[16，22]10．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，xG 、H 、I 分别为DE 、FC 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、FD 折成三棱锥以后，BG 与IH 所成角的弧度数为( )A ．π6B ．π3C ．arccos 23D ．arccos33第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上）11．海面上，地球球心角1'所对的大圆弧长为1海里,在赤道上,车经140°与西经130°的海面上有两点A 、B ，则A 、B 两点的球面距离是＿＿＿＿海里．12．已知Sn 为数列{a n }的前n 项和，且Sn 与1a n 的等比中项为n(n ∈N ＋)，a 1＝12，则lim n →∞Sn ＝＿＿＿＿＿．13．设x 1、x 2、x 3依次是方程log eq 12x ＋2＝x ，log 2(x ＋2)＝－x ，2x＋x ＝2的实数根，则x 1、x 2、x 3的大小关系为＿＿＿＿＿．14．关于函数f(x)＝sin 2x －(23)|x|＋12，有下列结论：①f(x)为奇函数；②f(x)最大值为32；③x ＞2018时，f(x)＞12；④f(x)最小值为－12．其中正确命题的序号为＿＿＿＿． 15．有浓度为90％的溶液100g ，现从中倒出10g ，再加进10g 水，要使其浓度低于10％，这种操作至少应进行的次数为(lg9＝0.9542)三．解答题（本大题共6个小题，共75分）．16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知＝(bcosc ，－1)，＝((c －3a)cosB ，1)，且与为共线向量，求sinB ．17．已知f(x)＝－4cos 2x ＋43asinxcosx ，将f(x)图象按向量＝(－π4，2)平移后，图象关于直线x ＝π12对称．(1)求实数a 的值，并求f(x)取得最大值时x 的集合； (2)求f(x)的单调区间．18．设a ＞0，解关于x 的不等式log 2axx －1＜1．19．有一块边长为4米的正方形钢板，现对其进行切割，焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)，有人用数学知识作了如下设计：在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长．(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积v 1；(2)由于上述设计对材料有所浪费，请你重新设计，减少浪费，而且所得长方体容器的容积v 2＞v 1．20．已知数列{a n }中，Sn 是它的前n 项和，且S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1(n ＝1，2，…)． (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，求数列{b n }的通项公式b n ；(2)设C n ＝a n2n ，求证数列{C n }是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ．21．设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数x ，y ，总有f(x ＋y)＝f(x)f(y)，且当x ＞0时，0＜f(x)＜1．(1)求f(0)的值；(2)证明：当x ＜0时，f(x)＞1；(3)证明：f(x)在R 上单调递减；(4)若M ＝{y|f(y)·f(1－a)≥f(1)}，N ＝{y|f(ax 2＋x ＋1－y)＝1，x ∈R}，且M ∩N ≠φ，求a 的取值范围．黄冈中学高考数学模拟测试题1参考答案1．B 2．C3．B 解：S 11＝55⇒d ＝2，55－[－5＋(n －1)·2]＝4·6⇒n ＝8．4．C 解：A －B ＜0⇔cos 2A －cos 2B ＝(cosA ＋cosB)(cosA －cosB)＝－4cos A ＋B 2cos A －B 2·sin A ＋B 2·sin A －B2＝－sin(A ＋B)sin(A －B)＞0⇒甲⇔乙5．A 解：f(x)＝ax(x －1)(x －2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧f(0)＝d ＝0f(1)＝a ＋b ＋c ＝0f(2)＝8a ＋4b ＋c ＝0⇒7a ＋3b ＝0令x ＝3，f(3)＝6a ＞0，∴a ＞0，∴3b ＝－7a ＜0⇒b ＜0．6．A 解：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1x 29－y 24＝1，无交点．7．C 解：将x 2＋y 2＝c 2代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)得(1b 2－1a 2)x 2＝c 2b2－1＞0⇒c 2＞b 2，即c 2＞a 2－c 2⇒22＜e ＜1． 8．C9．B 解：令f(t)＝tt 2＋9，f' (t)＞0，f(t)在(0，2]上↑，∴f(t)max ＝f(2)＝213，g(t)＝t ＋2t2，g' (t)＜0，g(t)在(0，2]上↓，∴g(t)min ＝g(2)＝1．∴213≤a ≤1．10．A 解：画出立体图形，IH ∥AE ，∴∠EAG ＝π6即BG 与IH 所成的角．11．5400 解：d ＝90×60＝5400．12．1 解：∵S n a n ＝n 2，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1⇒a n a n －1＝n －1n ＋1，递推相乘得a n ＝1n(n ＋1)⇒S n ＝nn ＋1⇒lim n →∞S n ＝1．13．x 2＜x 3＜x 1 解：易知x 2＜0，x 1看作y ＝log 1x 和y ＝x －2的交点横坐标，∴x1∈(1，2) x 3看作y ＝2－x 和y ＝2x 交点的横坐标． 且0＜x 3＜1．故得x 2＜x 3＜x 1．14．④ 解：f(x)偶，x ≥0时，f(x)＝sin 2x －(23)x ＋12，x ＝0时，f(x)min ＝－12．15． 21; 解：每操作1次，浓度变为上一次的90％，设至少操作x 次才能使其浓度低于10％， ∴0.9×0.9x＜0.1⇒x ＞11－lg9－1＝20.83．∴x min ＝21．16．解：∵与共线，∴x 1y 2－x 2y 1＝bcosC ＋(C －3a)cosB ＝0 ⇒sinBcosC ＋(sinC －3sinA)cosB ＝0⇒sin(B ＋C)＝3sinAcosB ⇒cosB ＝13，sinB ＝223．17．(1)f(x)＝23asin2x －2cos2x －2按＝(－π4，2)平移后为g(x)＝f(x ＋π4)＋2 ＝23acos2x ＋2sin2x ．∵g(x)图象关于x ＝π12对称，∴g(0)＝g(π6)⇒23a ＝3a ＋3，∴a ＝1，f(x)＝4sin(2x －π6)－2当f(x)max ＝2时，2x －π6＝2k π＋π2即x ∈{x|x ＝k π＋π3，k ∈z}．(2)当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈z 时，f(x)递增． 当2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2即k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈z 时，f(x)递减．F18．解：log 2ax x －1＜1⇒0＜ax x －1＜2，由axx －1＞0且a ＞0⇒x ＜0或x ＞1．由axx －1＜2⇔(x －1)[(a －2)x ＋2]＜0 ① 当a ＝2时，x ＜1当a ＞2时，①化为(x －1)(x ＋2a －2)＜0⇒22－a ＜x ＜1．当0＜a ＜2时，①化为(x －1)(x ＋2a －2)＞0⇒x ＜1或＞22－a ．综上述：当a ＝2时，原不等式解为x ＜0． 当a ＞2时，原不等式解为22－a ＜x ＜0．当0＜a ＜2时，原不等式解为x ＜0或x ＞22－a．19．(1)设切去的小正方形边长为x ，则长方体底面边长为4－2x ，高为x ， ∴V 1＝(4－2x)2·x ＝4(x 3－4x 2＋4x)(0＜x ＜2) ∴V 1'＝4(3x 2－8x ＋4)＝12(x －23)(x －2) 当x ＜23时，V 1'＞0，当23＜x ＜2时，V 1'＜0． ∴当x ＝23时，V 1max ＝12827．(2)重新设计如下：如图示：先在正方形一边的两个角处各切下一个边长为1米的小正方形， 再将这两个小正方形焊在另一边的中间，然后焊成长方体容器，其 容积V 2＝3×2×1＝6m 3＞V 1．20．解：(1)∵S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2相减得 a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 2－2a 1＝3，∴b n ＝3×2n －1．(2)c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝b n 2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34，∴{c n }是等差数列． (3)c 1＝12，∴c n ＝14(3n －1)∴a n ＝2n ·c n ＝2n ·14(3n －1)＝(3n －1)·2n －2，S 1＝a 1＝1n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2满足S 1，故S n ＝(3n －4)·2n －1＋2．21．解：(1)显然，f(x)不恒等于0，令x ＝1，y ＝0时，得f(0)＝1；(2)令y ＝－x ≥0则1＝f(x －x)＝f(x)·f(－x)，即f(－x)＝1f(－x)．由题0＜f(－x)＜1 ∴f(x)＞1；(3)设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，由题得(2)知f(x)＞0．∴f(x 2)－f(x 1)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]－f(x 1)＝f(x 2－x 1)·f(x 1)－f(x 1) ＝f(x 1)[f(x 2－x 1)－1]＜0 ∴f(x 2)＜f(x 1)． ∴f(x)在R 上单调递减；(4)由已知及(3)得：M ＝{y|y ≤a}，N ＝{y|y ＝ax 2＋x ＋1，x ∈显然，当a ≤0时，M ∩N ≠φ当a ＞0时，N ＝{y|y ＝a(x ＋12a )2＋1－14a ，x ∈R} 要使M ∩N ≠φ，必须1－14a ≤a ． 即4a 2－4a ＋1≥0 a ∈R故所求的a 的取值范围是a ∈R ．y ＝a。

仿真模拟训练(一)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若纯虚数z 满足(1＋i )z ＝1－a i ，则实数a 等于( )A ．0B ．－1或1C ．1D ．－12．[2018·重庆西南附属中学月考]设曲线y ＝x 2及直线y ＝1所围成的封闭图形为区域D ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，0≤y ≤1所确定的区域为E ，在区域E 内随机取一点，则该点恰好在区域D 内的概率为( )A .14B .13C .23D .343．[2018·华中师范大学附属中学模拟]在高校自主招生中，某中学获得6个推荐名额，其中中南大学2名，湖南大学2名，湖南师范大学2名，并且湖南大学和中南大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男3女共6个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A ．54B ．45C ．24D ．724．[2018·安徽省皖江八校联考]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，四点P 1(4,2)，P 2(2,0)，P 3(－4,3)，P 4(4,3)中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A .52B .52C .72D .725．[2018·陕西吴起高级中学期中考试]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .73B .83C .8－π3D .7－π36．[2018·保定联考]设有下面四个命题：P 1：若x>1，则0.3x >0.3;P 2：若x ＝log 23，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝16； P 3：若sin x>33，则cos 2x<13；P 4：若f(x)＝tan πx 3，则f(x)＝f(x ＋3)．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(0<ω<10)的图象与g(x)＝cos (x ＋φ)(0<φ<3)的图象都关于直线x ＝－π12对称，则ω与φ的值分别为( )A ．8，7π12B ．2，7π12C ．8，π12D ．2，π128．[2018·天津一中、益中学校月考]已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(x －1)．则关于m 的不等式f(1－m)＋f(1－m 2)<0的解集为( )A ．[0,1)B ．(－2,1)C ．(－2，2)D ．[0，2)9．[2018·重庆西南大学附中月考]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是4 0352 018，则( )A ．a ＝2 016B ．a ＝2 017C ．a ＝2 018D ．a ＝2 01910．[2018·山东烟台月考]某传媒大学的甲乙丙丁四位学生分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且选修课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；②乙不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息推断丙同学选修的课程是( )A ．影视配音B ．广播电视C ．公共演讲D ．播音主持11．[2018·安徽宿州模拟]在等差数列{a n }中，a 7a 6<－1，若它的前n 项和S n 有最大值，则当S n >0时，n 的最大值为( )A ．11B ．12C ．13D ．1412．设函数f(x)＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g(x)＝x －1a e 2x ，若∀x 1∈R ，∃x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)<g (x 2)，则正数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0，e －3)D ．(e －3，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2018·云南昆明第八次月考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，若抛物线y 2＝8x 的焦点与双曲线C 的焦点重合，则双曲线C 的方程为________．14．[2018·河北武邑中学第六次模拟]设平面向量m 与向量n 互相垂直，且m －2n ＝(11，－2)，若|m |＝5，则|n |＝________.15．[2018·湖南益阳月考]分别在曲线y ＝ln x 与直线y ＝2x ＋6上各取一点M 与N ，则MN 的最小值为________．16．[2018·河南南阳一中月考]在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若12b cos A ＝sin B ，且a ＝23，b ＋c ＝6，则△ABC 的面积为________________________________________________________________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本题满分12分)[2018·湖南郴州第六次月考]已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(2n ＋1－1)·S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18.(本题满分12分)[2018·贵州凯里一中月考]第三届移动互联创新大赛，于2017年3月～10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一种子选手甲．再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为34，35，23，且各场输赢互不影响．(1)求甲恰好获胜两场的概率；(2)求甲获胜场数的分布列与数学期望．19．(本题满分12分)[2018·河北武邑中学模拟]如图，已知平面ADC ∥平面A 1B 1C 1，B 为线段AD 的中点，△ABC ≌△A 1B 1C 1，四边形ABB 1A 1为边长为1的正方形，平面AA 1C 1C ⊥平面ADB 1A 1，A 1C 1＝A 1A ，∠C 1A 1A ＝π3，M 为棱A 1C 1的中点．(1)若N 为线DC 1上的点，且直线MN ∥平面ADB 1A 1，试确定点N 的位置；(2)求平面MAD 与平面CC 1D 所成的锐二面角的余弦值．20．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点围成的菱形的面积为43，点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为32(点O 为坐标原点)．(1)求C 的方程； (2)直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，且△POQ 的面积为335，求l 的斜率．21．(本题满分12分)[2018·益阳调研]已知函数f (x )＝(2e ＋1)ln x －3a 2x ＋1，a ∈R ，(e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝23时，x e x ＋m ≥f (x )恒成立，求实数m 的最小值．请考生在22,23两题中任选一题作答．22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)[2018·六安一中月考]在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t y ＝k (t －1)(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f (x )＝|3x －2|.(1)若不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23≥|t －1|的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，求实数t 的值； (2)若不等式f (x )≤|3x ＋1|＋3y ＋m ·3－y 对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范围．仿真模拟训练(二)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·四川双流中学模拟]若a ∈R ，则“复数z ＝5－a i i 在复平面内对应的点在第三象限”是“a >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知R 为实数集，A ＝{x |y ＝lg(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则∁R (A ∪B )＝( )A ．{x |x >－3}B ．{x |x <－3}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |x ≤－3}3．[2018·武威六中诊断考试]设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．34．[2018·安徽六安月考]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 11＝a 9＋7，则S 25＝( )A.1452 B ．145 C.1752 D ．1755．[2018·厦门外国语学校适应考试]我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分析(100，σ2)，(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则他速度超过120的概率为( )A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.26．[2018·哈尔滨市第六中学模拟]已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3y ≥x x ≥1，那么x ＋3y 的最大值是( ) A ．4 B ．6 C ．7 D ．87．[2018·黄冈中学模拟考试]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为( )(参考数据：sin20°≈0.342 0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫203°≈0.116 1)A ．S ＝12×n ×sin 180°n ，24B ．S ＝12×n ×sin 180°n ，18C ．S ＝12×n ×sin 360°n ，54D ．S ＝12×n ×sin 360°n ，188．[2018·江西省重点中学协作体联考]函数f (x )＝ln|x －1|－ln|x ＋1|的大致图象为( )9．已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233B. 3C.255D. 510．[2018·福建南平月考]已知顶点在同一球面O 上的某三棱锥三视图中的正视图，俯视图如图所示．若球O 的体积为43π，则图中的a 的值是( )A.352 B ．2 2 C.354 D ．2 3 11．[2018·泉州质量检查]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，F 2也是抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线AF 1的倾斜角为45°，则C 的离心率为( ) A.5－12 B.2－1 C ．3－ 5 D.2＋112．已知定义域为正整数集的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，f (1)＝1，则数列{(－1)n f (n )f (n ＋1)}(n ∈N *)的前99项和为( )A ．－19 799B ．－19 797C ．－19 795D ．－19 793二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．若(1＋2x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x n 的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含1x 2项的系数是________．14．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝1，则|a－2b |＝________.15．[2018·南山中学月考]已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为________．16．[2018·天津一中月考]已知点P (x ，y )在椭圆x 23＋2y 23＝1上运动，则1x 2＋21＋y 2最小值是______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本题满分12分)[2018·广西南宁第二中学6月月考]如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3b sin A ＝c ，D 为AC 边上一点．(1)若D 是AC 的中点，且A ＝π4，BD ＝26，求△ABC 的最短边的边长；(2)若c ＝2b ＝4，S △BCD ＝53，求DC 的长．18．(本题满分12分)[2018·东北三省四市模拟]直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝4，AC ⊥BC .(1)证明：AC 1⊥A 1B ；(2)当BC 的长为多少时，直线A 1B 与平面ABC 1所成角的正弦值为13.19．(本题满分12分)某菜园要将一批蔬菜用汽车从所在城市甲运至哈尔滨，已知从城市甲到哈尔滨只有两条公路，且运费由菜园承担．若菜园恰能在约定日期(×月×日)将蔬菜送到，则哈尔滨销售商一次性支付给菜园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给菜园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给菜园1万元．为保证蔬菜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送蔬菜，已知下表内的信息：(1)记汽车走公路1时菜园获得的毛利润为ξ(单位：万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ；(2)假设你是菜园的决策者，你选择哪条公路运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多？20．(本题满分12分)设离心率为22的椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为2－1.(1)求E的方程；(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线y＝x＋2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为1123，求直线AB的方程．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－ax (a 为常数)有两个极值点．(1)求实数a 的取值范围；(2)设f (x )的两个极值点分别为x 1，x 2，若不等式f (x 1)＋f (x 2)<λ(x 1＋x 2)恒成立，求λ的最小值．请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)[2018·四川广元适应性考试]已知平面直角坐标系中，曲线C ：x 2＋y 2－6x －8y ＝0，直线l 1：x －3y ＝0，直线l 2：3x －y ＝0，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立坐标系．(1)写出曲线C 的参数方程以及直线l 1，l 2的极坐标方程； (2)若直线l 1与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 分别交于O ，B 两点，求△AOB 的面积．23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)[2018·安徽合肥一中最后Ⅰ卷]已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋2|.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)∃x 0∈R ，f (x 0)≤|2a ＋1|，求a 的取值范围．仿真模拟训练(三)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |2x ≥4}，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B ＝( )A ．[1,2)B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝cos xC ．y ＝2xD ．y ＝|ln x |3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＋a 11＝18，S 3＝－3，那么a 5等于( )A ．4B ．5C ．9D ．184．已知OA →＝(cos15°，sin15°)，OB →＝(cos75°，sin75°)，则|AB →|＝( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．15．过原点且倾斜角为π3的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 36．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出l ∥m 的是( )A ．l ∥α，m ⊥β，α⊥βB ．l ⊥α，m ⊥β，α∥βC ．l ∥α，m ∥β，α∥βD ．l ∥α，m ∥β，α⊥β7．函数y ＝log a (x －3)＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，其中m >0，n >0，则mn 的最大值为( )A.116B.18C.14D.12 8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n ＝2a n －3，则S n ＝( )A ．2n ＋1B ．2n ＋1－1 C ．3·2n －3 D ．3·2n －19．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为 ( )A ．4B ．2 C.43 D.2310．千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )A ．111B ．117C ．118D ．12311．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率为( )A.103B.43C.53 D ．2 12．设函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，若x ＝1是函数f (x )的极大值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．已知正方形ABCD 边长为2，M 是CD 的中点，则AM →·BD →＝________.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥1，y ≥x －1，则2x ＋y 的最大值为________．15．直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同两点A ，B ，若M (x 0,4)是AB 中点，则直线l 的斜率k ＝________.16．钝角△ABC 中，若A ＝3π4，|BC |＝1，则22|AB |＋3|AC |的最大值为________________________________________________________________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，求f (x )的值域； (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．18．(本大题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼的时间单位：分钟)外体育达标”．(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表：(2)的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考格式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d19．(本大题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝120°且AC ＝BC ＝AA 1＝2，E 是棱CC 1上的动点，F 是AB 的中点．(1)当E 是CC 1中点时，求证：CF ∥平面AEB 1； (2)在棱CC 1上是否存在点E ，使得平面AEB 1与平面ABC 所成锐二面角为π6，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由．20．(本大题满分12分)已知F 是椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．(1)若x 1＋x 2＝3，求AB 弦长；(2)O 为坐标原点，∠AOB ＝θ，满足3OA →·OB →tan θ＝46，求直线l 的方程．21．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋2)＋21＋x.(x ≥0)．(1)当a ＝2时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )≥2ln2＋1恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在极坐标系中，曲线C 1的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 2的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋32t y ＝12t(t 为参数)．(1)求曲线C 1的参数方程和曲线C 2的普通方程； (2)求曲线C 1上的点到曲线C 2的距离的最大值． 23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f (x )＝2|x －a |－|x ＋2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当a ＝2时，函数f (x )的最小值为t ，1m ＋14n ＝－t (m >0，n >0)，求m ＋n 的最小值．仿真模拟训练(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(i ＋1)z ＝－2，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知集合A ＝{x |x 2－16≤0}，B ＝{x |lg|x －2|>0}，则A ∩B ＝( )A ．[－4,1)∪(3,4]B ．[－4，－3)∪(－1,4]C ．(－4,1)∪(3,4)D ．(－4，－3)∪(－1,4)3．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝2x D ．y ＝log 2|x |4．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4)．现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品估计有( )附：若X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.954 5.A ．3 413件B ．4 772件C ．6 826件D ．8 186件 5．已知△ABC 与△BCD 均为正三角形，且AB ＝4.若平面ABC ⊥平面BCD ，且异面直线AB 和CD 所成的角为θ，则cos θ＝( )A ．－154 B.154 C ．－14 D.146．如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211BC →，则实数m 的值为( )A ．1 B.13 C.911 D.5117．已知不等式ax －2by ≤2在平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}上恒成立，若a ＋b 的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－28．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A.3πB.32π C ．3π D ．4π 9．已知函数f (x )＝sin ωx的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92 D ．610．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过F 的直线交C 于A ，B 两点，交l 于点E ，直线AO 交l 于点D .若|BE |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|BD |＝( )A ．1B ．3C ．3或9D ．1或912．若关于x 的方程(ln x －ax )ln x ＝x 2存在三个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e －e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2－1e ，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2－1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e ，0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －45的展开式中，x 3的系数是________．14．更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是依据更相减损术写出的，若输入a ＝91，b ＝39，则输出的a 值为________．15．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥，已知同底的两个正四棱锥内接于同一个球，它们的底面边长为a ，球的半径为R ，设两个正四棱锥的侧面与底面所成的角分别为α，β，则tan(α＋β)＝________.16．在数列{a n }中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k＋1成等差数列，其公差为2k ，则a n ＝________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本大题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos C sin B ＝b sin B ＋ccos C .(1)求sin(A ＋B )＋sin A cos A ＋cos(A －B )的最大值；(2)若b ＝2，当△ABC 的面积最大时，求△ABC 的周长．18．(本大题满分12分)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试(1)有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？(2)能力测试，记抽到水平一的男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＋d.19．(本大题满分12分)如图，在正棱锥P－ABC中，平面P AB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝23，AC＝26，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC.(1)求证：PD⊥平面ABC；(2)若直线P A与平面ABC所成的角为π4，求平面P AC与平面PDE所成的锐二面角．20．(本大题满分12分)已知直线l过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P (2,2)，过点(－2,4)的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，设直线P A 与PB 的斜率分别为k 1和k 2，求证：k 1k 2为定值，并求出此定值．21．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝ln(ax )＋bx 在点(1，f (1))处的切线是y ＝0.(1)求函数f (x )的极值；(2)若mx 2e x ≥f (x )＋1－e e x (m <0)恒成立，求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底数)．请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A，B两点．(1)求|AB|的值；→的值．(2)若F为曲线C的左焦点，求F A→·FB23．【选修4－5不等式选讲】(本题满分10分)已知函数f(x)＝x2＋2，g(x)＝|x－a|－|x－1|，a∈R.(1)若a＝4，求不等式f(x)＞g(x)的解集；(2)若对任意x1，x2∈R，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．仿真模拟训练(五)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|y＝log2(2－x)}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，则∁AB＝()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)2．在复平面内，复数2－3i3＋2i＋z对应的点的坐标为(2，－2)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知△ABC中，sin A＋2sin B cos C＝0，则tan A的最大值是()A.33 B.233 C. 3 D.4334．设A＝{(x，y)|0<x<m,0<y<1}，S为(e＋1)n的展开式的第一项(e为自然对数的底数)，m＝nS，若任取(a，b)∈A，则满足ab>1的概率是()A.2e B.2e C.e－2e D.e－1e5．函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()ABCD6．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π＋48，则该几何体的表面积为( )A ．24π＋48B ．24π＋90＋641C ．48π＋48D ．24π＋66＋6417．已知a ＝17117，b ＝log 1617，c ＝log 1716，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a8．执行如下程序框图，则输出结果为( )A ．20200B ．－5268.5C ．5050D ．－51519．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是( )A.12B.23C.13D.1410．设函数f (x )为定义域为R 的奇函数，且f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝sin x ，则函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，92上的所有零点的和为( ) A ．6 B ．7 C. 3 D ．1411．已知函数f (x )＝22019x＋1＋sin x ，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，求f (2018)＋f (－2018)＋f ′(2019)＋f ′(－2019)＝( )A ．2B ．2019C ．2018D ．012．已知直线l ：y ＝ax ＋1－a (a ∈R )，若存在实数a 使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a |，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出的四条曲线方程：①y ＝－2|x －1|；②(x －1)2＋(y －1)2＝1；③x 2＋3y 2＝4；④y 2＝4x .其中直线l 的“绝对曲线”的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，y ≤x ＋1，且m ＝x ＋3y ＋4x ＋1，则实数m 的取值范围为________．14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左右焦点分别为F 1、F 2, P 是双曲线右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，PI 交x 轴于Q 点，若|F 1Q |＝|PF 2|，且|PI |:|IQ |＝2:1，则双曲线的离心率e 的值为________．15．若平面向量e 1，e 2满足|e 1|＝|3e 1＋e 2|＝2，则e 1在e 2方向上投影的最大值是________．16．观察下列各式： 13＝1； 23＝3＋5； 33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19； ……若m 3(m ∈N *)按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(本大题满分12分)已知等差数列{a n }中，公差d ≠0，S 7＝35，且a 2，a 5，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，且存在n ∈N *，使得T n－λa n ＋1≥0成立，求λ的取值范围．18．(本大题满分12分)为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数．(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列．(3)试比较男生学习时间的方差s 21与女生学习时间方差s 22的大小．(只需写出结论)19．(本大题满分12分)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，已知P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝BC ＝1，AB ＝2，过底面对角线AC 作与PB 平行的平面交PD 于E .(1)试判定点E 的位置，并加以证明； (2)求二面角E －AC －D 的余弦值．20．(本大题满分12分)在平面直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为B (0，－1)，C (0,1)，平面内两点P 、Q 同时满足：①P A →＋PB→＋PC →＝0；②|QA →|＝|QB →|＝|QC →|；③PQ →∥BC →. (1)求顶点A 的轨迹E 的方程；(2)过点F (2，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1，l 2与点A 的轨迹E 相交弦分别为A 1B 1，A 2B 2，设弦A 1B 1，A 2B 2的中点分别为M ，N .①求四边形A 1A 2B 1B 2的面积S 的最小值；②试问：直线MN 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．21．(本大题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)ax ＋1.(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)若函数f (x )在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：(3x －1)ln (x ＋1)x －1＋(3y －1)ln (y ＋1)y －1＋(3z －1)ln (z ＋1)z －1≤0.请考生在22,23两题中任选一题作答． 22．【选修4－4 坐标系与参数方程】(本题满分10分)在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ＝244cos θ＋3sin θ，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22xy ′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN |的最小值．23．【选修4－5 不等式选讲】(本题满分10分)已知f (x )＝|2x －a |－|x ＋1|(a ∈R )．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>2.(2)若不等式f (x )＋|x ＋1|＋x >a 2－12对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．仿真模拟训练(一)1．C z ＝1－a i 1＋i＝1－a 2－1＋a2i ，z 为纯虚数， ∴1－a2＝0，∴a ＝1.故选C. 2．C D ＝⎠⎛1－1(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪⎪1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝43，∴P ＝432＝23，故选C .3．A 第一类：将3个男生每个大学各推荐1人，有A 33A 33＝36种方法，第二类：将3个男生推荐给湖南大学和中南大学有C 23A 22C 23＝18种方法，故共有36＋18＝54种推荐方法，故选A . 4．C 由题可知，P 2，P 3，P 4在双曲线上，∴⎩⎨⎧4a 2－0b 2＝1，16a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3∴c 2＝a 2＋b 2＝7，∴e ＝c a ＝72，故选C . 5．C 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖去半个圆锥，∴V ＝13×2×2×2－13π×12×2×12＝83－π3，故选C . 6．C y ＝0.3x 为减函数，∴0.3x <0.3，P 1错；由x ＝log 23，得2x＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝12x ·12＝16，P 2正确； cos 2x ＝1－2sin 2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13，P 3正确；f(x ＋3)＝tan π(x ＋3)3＝tan πx3＝f(x)，P 4正确，故选C . 7．D 由题可得，⎩⎨⎧－πω12－π3＝π2＋k π，k ∈Z－π12＋φ＝k π，∵0<ω<10,0<φ<3，∴ω＝2，φ＝π12，故选D.8．A 由题可知f (x )在[－1,1]上为减函数， 由f (1－m )＋f (1－m 2)<0得f (1－m )<f (m 2－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤1－m ≤1，－1≤1－m 2≤1，1－m >m 2－1，∴0≤x <1，故选A. 9．B 由程序框图可得s ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1i (i ＋1)＝1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1i －1i ＋1＝2－1i ＋1＝4 0352 018∴i ＝2 017，∴i ≤2 017，∴a ＝2 017，故选B.10．A 由题可知，甲、丙选择影视配音和公共演讲，乙选择影视播音或播音主持；若甲选影视配音，丙选公共演讲，乙选播音主持，则丁选广播电视，与③矛盾；若甲选公共演讲，丙选影视配音，乙选播音主持，则丁选广播电视，符合条件，故选A.11．A 由a 7a 6<－1，得a 7a 6＋1<0，得a 7＋a 6a 6<0，若S n 有最大值，则d <0，∴a 6>0，a 7＋a 6<0，∴S 11＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 7＋a 6)<0，∴使S n >0时，n 的最大值为11，故选A.12．C f (x )＝12sin x (sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12sin x (2sin 2x －1)令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，∴h (t )＝12t (2t 2－1)＝12()2t 3－t ，t ∈[－1,1]，h ′(t )＝12(6t 2－1)，令h ′(t )＝0，∴t ＝±66，∴当－1<t ＜－66，66<t <1时，h ′(t )>0，h (t )为增函数，当－66<t <66时，h ′(t )<0，h (t )为减函数， h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－66＝618，h (1)＝12，∴h ⎝⎛⎭⎪⎫－66<h (1)，∴h (t )在[－1,1]上的最大值为h (1)＝12，g ′(x )＝3－2xa e 2x ，令g ′(x )＝0，得x ＝32，则当a >0时，g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞为减函数，∴g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12a e 3. 由题可知f (x )max <g (x )max ， ∴12<12a e 3，∴a <1e 3，又a >0，∴0<a <e －3，故选C. 13.x 23－y 2＝1解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝33，c ＝2∴a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. 14．5解析：由m －2n ＝(11，－2)， 得|m －2n |2＝125， ∴m 2－4m ·n ＋4n 2＝125， ∴25＋4n 2＝125， n 2＝25，∴|n |＝5. 15.(7＋ln2)55解析：由y ＝ln x (x >0)，得y ′＝1x ，令1x ＝2，∴x ＝12，y ＝ln 12＝－ln2，∴曲线y ＝ln x 上与直线y ＝2x ＋6平行的切线的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln2，则 |MN |＝|2×12＋ln2＋6|5＝(7＋ln2)55. 16．2 3解析：由12b cos A ＝sin B ， 得12cos A ＝sin B b ＝sin A a ， ∴12cos A ＝sin A a ，∴tan A ＝a2＝3，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3， 由a 2＝b 2＋c 2－2b cos A ， 得12＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·12，bc ＝8，∴S ＝12bc sin A ＝12×8×32＝2 3.17．解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝14，a 3＋a 5＝564， ∴14q 2＋14q 4＝564，∴q 2＝14，∴q ＝±12，∵a n >0，∴q ＝12，∴a n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∵a 1＝14， ∴S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2n －12n ＋1， b n ＝1(2n ＋1－1)S n ＝2n ＋1(2n ＋1－1)(2n－1) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1－1. ∴T n ＝2⎝⎛1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－⎭⎪⎪⎫12n ＋1－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1－1. 18．解析：(1)设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A ，B ，C∴P (A )＝34，P (B )＝35，P (C )＝23. ∴甲恰好获胜两场的概率 P ＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －) ＝14×35×23＋34×25×23＋34×35×13 ＝920.(2)设甲获胜场次为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3P (X ＝0)＝P (A －B －C －)＝14×25×13＝130；P (X ＝1)＝14×25×23＋14×35×13＋34×25×13＝1360；P (X ＝2)＝920；P (X ＝3)＝34×35×23＝310； ∴X 的分布列为∴EX ＝0×130＋1×1360＋2×920＋3×310＝12160. 19．解析：(1)连接A 1D ，∵MN ∥平面ADB 1A 1， MN ⊂平面A 1C 1D ，平面C 1DA 1∩平面ADB 1A 1＝A 1D ，∴MN ∥A 1D ， 又M 为C 1A 1的中点，∴MN 为△C 1A 1D 的中位线， ∴N 为DC 1的中点．(2)A 1B 1＝1，∴AA 1＝1，CC 1＝1， ∵B 为AD 的中点， ∴AD ＝2，∵△ABC ≌△A 1B 1C 1，平面A 1B 1C 1∩平面A 1ACC 1＝A 1C 1， ∴A 1C 1∥AC ，∴四边形A 1ACC 1为平行四边形， 又A 1C 1＝A 1A ，∴四边形A 1ACC 1为菱形，∠C 1A 1A ＝π3，A 1M ＝12，∴AM ＝32，∴AM ⊥AC ，∵AD ⊥AA 1，平面ADB 1A 1⊥平面ACC 1A 1， ∴AD ⊥平面A 1ACC 1， ∴AD ⊥AM ，AD ⊥AC ， ∴AM ，AD ，AC 两两互相垂直，以A 为坐标原点，AD ，AC ，AM 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，∴A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，C 1⎝⎛⎭⎪⎫0，12，32， ∴DC →＝(－2,1,0)，DC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，12，32，设平面CC 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，－2x ＋12y ＋3z 2＝0∴令z ＝23，∴x ＝3，y ＝6， ∴n ＝(3,6,23)， 又AC ⊥平面MAD ， ∴AC→＝(0,1,0)， ∴cos 〈n ，AC →〉＝657＝25719.20．解析：(1)∵S △MOF ＝32， ∴12bc ＝32，∴bc ＝3，又S 菱形＝43，∴12×2a ×2b ＝43，∴ab ＝23，∴c ＝3b ，a ＝23b ，由a 2－c 2＝b 2，12b 2－3b 2＝b 2， ∴b 2＝3，a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝my －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6m 3m 2＋42＋363m 2＋4＝12m 2＋13m 2＋4， ∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝6m 2＋13m 2＋4＝335，解得m 2＝2，∴k l ＝1m ＝±22.21．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝2e ＋1x －3a2，当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当a >0时，0<x <2(2e ＋1)3a ，f ′(x )>0， x >2(2e ＋1)3a ，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，2(2e ＋1)3a ，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2(2e ＋1)3a ，＋∞. (2)当a ＝23时，f (x )＝(2e ＋1)ln x －x ＋1， 由x e x ＋m ≥f (x )，得x e x ＋m －(2e ＋1)ln x ＋x －1≥0恒成立． 令g (x )＝x e x ＋m －(2e ＋1)ln x ＋x －1. g ′(x )＝(x ＋1)e x－2e ＋1x ＋1.g ″(x )＝(x ＋2)e x＋2e ＋1x 2>0，∴g ′(x )为增函数，又g ′(1)＝2e －2e －1＋1＝0， ∴当0<x <1时，g ′(x )<0， 当x >1时，g ′(x )>0， ∴g (x )≥g (1)＝e ＋m . ∴e ＋m ≥0，∴m ≥－e. ∴实数m 的最小值为－e.22．解析：(1)C 1的普通方程为y ＝k (x －1)， C 2的直角坐标方程：x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0. (2)C 2表示圆心(－5,3)，半径为1的圆， 圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|6k ＋3|1＋k2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k2－1＝2，解得k ＝0或k ＝－43.23．解析：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23＝|3x |，∴|3x |≥|t －1|，∴x ≥|t －1|3或x ≤－|t －1|3， ∴|t －1|3＝13，∴t ＝0或t ＝2. (2)原不等式等价于|3x －2|－|3x ＋1|≤3y ＋m ·3－y 恒成立． |3x －2|－|3x ＋1|≤3. ∴3y ＋m ·3－y ≥3.∴m ≥3y (3－3y )恒成立，∵[3y (3－3y )]max ＝94，∴m ≥94.当且仅当y ＝log 232时成立．。

4．由 1，2，3，4 这四个数字组成四位数 abcd （数字可重复使用），要求满足 a c b d .
这样的四位数共有
（）
A．36 个.
B．40 个.
C．44 个.
D．48 个. ．
5、已知△ ABC 为锐角三角形，⊙ O 经过点 B，C，且与边 AB，AC 分别相交于点 D，E． 若
⊙ O 的半径与△ ADE 的外接圆的半径相等，则⊙ O 一定经过△ ABC 的（ ）．
（ ）．
（A）10 （B）9 （C）7 （D）5
8、设方程组 x3-xyz=-5, y3-xyz=2, z3-xyz=21 的正实数解有（
）
A、1 组 B、2 组 C、3 组 D、4 组
二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）
9．在△ABC 中，已知 AB＝AC，∠A＝40°，P 为 AB 上一点，∠ACP＝20°，则 BC ＝
（Ⅱ）解法一 设 PC a ， DQ b ，不妨设 a ≥ b >0，
由（Ⅰ）可知
∠ ABP =∠ ABQ 30 ， BC = 3a ， BD = 3b ，
所以 AC = 3a 2 ， AD = 2 3b . 因为 PC ∥ DQ ，所以△ ACP ∽△ ADQ .
于是 PC AC ，即 a 3a 2 ．所以 a b 3ab ． DQ AD b 2 3b
( xP
xQ )
3. 3
同理，若 xQ
3，可得 xP
3 ，从而 2
2 k 3 (xP xQ )
3. 3
所以，直线 PQ 的函数解析式为
y 3 x 1 ，或 y 3 x 1. ……………………………………19、如图，△ABC 为等腰

黄冈中学数学高考模拟试题（一）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知0[∈x ,]π2，如果x y cos =是增函数，且x y sin =是减函数，那么（ ）．A ．2π0<<x B ．π2π<<x C ．23ππ<<x D ．π223π<<x2．已知映射f ：A B →，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：y x x 22+-=，对于实数B k ∈，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是（ ）．A ．1>kB ．1≥kC ．1<kD ．1≤k3．若不等式组⎩⎨⎧<->-ax a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．（-1，3）B ．[-3，1]C ．[-1，3]D ．（-∞，-1） （3，＋∞） 4．已知1)(+=bx x f 为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且=)(n g⎩⎨⎧≥-=，，)1()]1([)0(1n n g f n 设)1()(--=n g n g a n )(*N ∈n ，则数列}{n a 为（ ）． A ．等差数列 B ．等比数列 C ．递增数列 D ．递减数列5．已知直线l ，m 与平面γβα，，满足ααγβ⊂=m l l ，，// ，α⊂m 和γ⊥m ，那么必定有（ ）．A ．γα⊥且m l ⊥B ．γα⊥且β//mC ．β//m 且m l ⊥D ．βα//且γα⊥ 6．在复平面上，到复数i 331+-对应点F 的距离与到直线l ：0233=++z z 的距离相等的点的轨迹是（ ）．A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线 7．已知ξ的分布列为且设12+=ξη，则η的期望值是（ ）．A ．32 B ．61- C ．1 D ．3629 8．做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的铁架框，在下列四种长度的铁管中，最合理（够用，又浪费最少）的是（ ）．A ．4.6米B ．4.8米C ．5米D ．5.2米9．有一个各条棱长约为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠．那么包装纸的最小边长为（ ）． A ．a )262(+ B ．a )62(+ C ．a )31(+ D ．a )231(+ 10．已知函数)(x f y =（x ∈R ）满足)1()1(-=+x f x f ，且x ∈[-1，1]时，2)(x x f =,则)(x f y =与x y 5log =的图象的交点个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．511．该圆C 过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，且圆心在该双曲线上，则 圆心到该双曲线的中心的距离是（ ）．A ．34 B ．1034 C ．316D ．5 12．设函数3)(x x f =（x ∈R ），若2π0≤≤θ时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．（0，1）B ．（-∞，0）C ．-∞(，)21D ．-∞(，)1二、填空题（每小题4分，共16分）13．若点α(cos P ，)sin α在直线x y 2-=上，则αα2cos 22sin +＝________． 14．一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A ：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球．那么事件A 发生的概率为________．15．在圆x y x 522=+内，过点25(，)23有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差61(∈d ，)31，那么n 的取值集合为________．16．P -ABCD 是棱长均为a 的正四棱锥，则由侧面△PAD 的中心1O 沿表面走到相对侧面△PBC 的中心2O 的最短距离等于________．三、解答题（第17～21题每题12分，第22题14分，共74分） 17．设向量a ＝（cos23°，cos67°），b ＝（cos68°，cos22°），u ＝a ＋t b （t ∈R ）． （1）求a ·b ；（2）求u 的模的最小值． 18．（注意：考生在甲、乙两题中选一题作答，若两题都答，只以甲题计分）（甲）如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 是PB 的中点，与AE 夹角的余弦值为33．（1）建立适当的空间坐标系，写出点E 的坐标； （2）在平面P AD 内求一点F ，使EF ⊥平面PCB ．（乙）如图所示，已知直三棱柱111C B A ABC -中，ACB ∠＝90o ，侧面1AB 与侧面1AC 所成的二面角为60°，M 为1AA 上的点，=∠11MC A 30°，=∠1CMC 90°，a AB =．（1）求BM 与侧面1AC 所成角的正切值； （2）求顶点A 到面1BMC 的距离．19．已知椭圆的焦点是3(1-F ，)0和3(2F ，)0，离心率为23=e ． （1）求椭圆上的点到直线0832=++y x 距离的最大值； （2）若P 在椭圆上，3221=⋅PF PF ，求△21F PF 的面积．20．}{n a 和}{n b 分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合21{a A =，22a ，23a ，…，}2n a ，1{b B =，2b ，3b ，…，}n b ．求证：≠⊂B A ．21．某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时)204(≤≤v 从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以匀速ω千米/时)10030(≤≤ω自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4时至9点到达C 市．设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x 、y 小时． （1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；（2）如果已知所要的经费)8(2)5(3100y x p -+-+=⋅⋅（元），那么v 、ω分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？22．已知)(x f 是定义在1[-，0()0 ，]1上的奇函数，当1[-∈x ，]0时，212)(x ax x f +=（a 为实数）． （1）当0(∈x ，]1时，求)(x f 的解析式；（2）若1->a ，试判断)(x f 在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当0(∈x ，]1时，)(x f 有最大值6-．参考答案1．C 2．A 3．A 4．B 5．A 6．D 7．A 8．C 9．C 10．C 11．C 12．D 13．52-14．30715．{4，5，6} 16．a 17．a ＝（cos23°，sin23°），b ＝（cos68°，sin68°）， （1）a ·b ＝ cos23°cos68°＋sin23°＋sin68°＝ cos45°＝22． （2）a 2＝2cos 23°＋2sin 23°）＝1，b 2＝2cos 68°＋2sin 68°＝1，|u |2＝u 2＋（a＋t b ）2＝a 2＋2t b 2＋2t a ·b ＝21)22(2122++=++t t t ，所以当22-=t 时，|u |22m in =18．（甲）（1）如题图以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系⇒A （2，0，0）、B （2，2，0），C （0，2，0），设P （0，0，2m ）⇒E （1，1，m ），则=（-1，1，m ），=（0，0，2m ），133211222=⇒=++=⋅m mm m ，所以E 点的坐标是（1，1，1）．（2）∈F 平面P AD ，可设x F (，0，)z 1(-=⇒x EF ，1-，)1-z ，⊥EF 平面1(-⇒⊥⇒x PCB ，1-，2()1⋅-z ，0，10)0=⇒=x ．则1(-⇒⊥x ，1-，0()1⋅-z ，2，)2-00=⇒=z ，所以点F 的坐标是（1，0，0），即点F 是DA 的中点．（乙）（1）三棱柱111C B A ABC -为直棱柱，BAC ∠为二面角111C AA B --的平面角，所以=∠BAC 60°，又=∠ACB 90°．⊥BC 侧面1AC ．连接MC ，则MC 是MB 在侧面1AC 上的射影．所以BMC ∠为BM 与侧面1AC 所成的角．又=∠1CMC 90°，=∠11MC A 30°，所以=∠AMC 60°．设m BC =，则m AC 33=，m MC 32=．所以23tan =∠BMC ．（2）过A 作MC AN ⊥．垂足为N ，因为1//MC AN ，所以//AN 面1MBC ．面1M B C MB C ⊥，过N 作MB NH ⊥，垂足为H ，则NH 是N 到面1MBC 的距离，也即A 到1MBC 的距离．a AB =，2a AC =，且=∠ACN 30°，可得4aAN =，且=∠AMN 60°．所以a MN 123=．a a BMC MN NH 5239133123sin =⨯=∠=⋅．说明：本题（2）亦可利用11AMC B MBC A V V --=来求解19．设椭圆12222=+b y a x ，半焦距为c ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==．b a b a a ac c 14322332422，，，椭圆方程为1422=+y x ．设椭圆上的点为θcos 2(P ，)sin θ．P 到直线0832=++y x 的距离131313138)sin(5138sin 3cos 4=≤++=++=ϕθθθd ，当且仅当1)sin(=+ϕθ时取“＝”（其中34tan =ϕ），椭圆上的点到直线0832=++y x 的最大值为13． （2）2121|PF PF PF PF ⋅⋅=32=，又2221221||||||PF PF F F += ||21PF-2||PF ⋅，4||||21=+PF PF ，即||)||(|12221PF PF += 21|||2PF PF ⋅-212134||||232||||216232PF PF ⇒=⇒=-=-⋅⋅⋅⋅，212=PF ⇒，23=，21||||21PF PF S ⋅=∆33233421==⋅⋅ 20．证明：等比数列}{n a 中，⎩⎨⎧=+=;90120424a a S ，当1≠q 时，⎪⎩⎪⎨⎧=+=--,90,1201)1(31141q a q a q q a 化简得0342=+-q q ，所以3=q ，31=a ，nn a 3=，等差数列}{n b 中，⎩⎨⎧=+=，，3460424b b S '⎪⎩⎪⎨⎧=+++=⨯+，，343602344111d b d b d b 解得⎩⎨⎧==，，491d b 所以54+=n b n ．19{=A ，29，39，…，}9n ， B ＝{9，13，17，…，4n ＋5}．设A 中任意元素为)(9*N ∈k k，则需证k9是B 中的一个元素，设其为)(54*N ∈+m m ，则需证549+=m k，即)(459*N ∈-=m m k ，则需证59-k 是4的倍数．因为111885)18(59--+++=-+=-k k k k k k k C C 118858-+=-+⋅k k k k k C C481-++⋅-k k C ，所以以上多项式各项都是4的倍数，59-k 能被4整除．所以集合A中的任意元素都是B 中的元素，又B ∈13，A ∉13，所以≠⊂B A 21．（1）依题意得y v 50=，x300=ω，204≤≤v ，10030≤≤ω，所以103≤≤x ，22525≤≤y ……①．由于汽车、摩托艇所需要的时间和y x +应在9至14时之间，即149≤+≤y x ……②．因此，满足①、②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）．（2）)8(2)5(3100y x p -+-+=⋅⋅，p y x -=+13123．设k p =-131，那么当k 最大时，p 最小．在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为23-的直线k y x =+23中，使k 值最大的直线必通过点（10，4）．即当10=x ，4=y 时，p 最小．此时，5.12=v ，30=ω，p 的最小值为93元22．（1）设0(∈x ，]1，则1[-∈-x ，)0，212)(x ax x f +-=-，)(x f 是奇函数，则212)(xax x f -=，0(∈x ，]1； （2）)1(222)(33x a x a x f +=+='，因为1->a ，0(∈x ，]1，113≥x，013>+x a ，即0)(>x f '，所以)(x f 在0[，]1上是单调递增的．（3）当1->a 时，)(x f 在0(，]1上单调递增，25)1()(max -=⇒==a a f x f （不含题意，舍去），当1-≤a ，则0)(=x f '，31a x -=，如下表)1()(3max af x f -=0(22226∈=⇒-=⇒-=x a ]1，所以存在22-=a 使)(x f 在0(，]1上有最大值6-．。