高中数学人教A版选修2-1高考数学总复习教学案.docx

知识梳理【知识点一空间向量与平行关系】在学习用空间向量方法证明平行关系、垂直关系时，应先复习必修二中学习的线面、面面平行与垂直的判定定理，将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算，体现向量的工具性作用.1．直线的方向向量和平面的法向量能平移到直线上的________向量，叫做直线的一直线的方向向量个方向向量直线l⊥α，取直线l的__________n，叫做平面平面的法向量α的法向量2.空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔________⇔a＝kb (k∈R)线面平行l∥α⇔________⇔________面面平行α∥β⇔________⇔____________线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.【探究点二】用向量法证明立体几何定理例题精讲【例2】证明：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．【方法技巧】在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是重要的工具．【跟踪训练2】用向量方法证明：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．【探究点三】利用空间向量证明平行关系问题：怎样利用向量证明空间中的平行关系？例题精讲【例3】已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【方法技巧】利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．【跟踪训练3】如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、SC 的中点．证明：EF ∥平面SAD.巩固训练1．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 ( ) A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________. 5．正方体ABCD —A1B1C1D1中，证明：平面A1BD ∥平面CB1D1.1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.【知识点二空间向量与垂直关系】在平行关系的基础上，利用直线的方向向量和平面的法向量判定立体几何中的垂直关系，体现了转化的数学思想.空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔________ 设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔__________________若平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔____________【探究点一】证明线线垂直问题怎样证明两条直线互相垂直？例题精讲【例1】如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.【方法技巧】证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．【跟踪训练1】在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.【探究点二】证明线面垂直问题怎样利用向量方法证明线面垂直？例题精讲【例2】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.【方法技巧】本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．【跟踪训练2】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.【探究点三】证明面面垂直问题：怎样证明两个平面垂直？例题精讲【例3】在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.【方法技巧】向量法证明线、面位置关系的优越性体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”．【跟踪训练3】如图所示，在六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.巩固训练1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则 ()A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1、l2相交但不垂直 D．不能确定2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系() A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.【方法技巧】1．用空间向量法解决立体几何中的垂直问题，主要是运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理．2．用法向量来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．【知识点三空间向量与空间角】1．两条异面直线所成的角设两条异面直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝_______. 2．直线和平面所成的角设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝_______.3．二面角的平面角设二面角α—l—β的锐二面角大小为θ，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cos θ＝_______.【探究点一求两条异面直线所成的角】问题1 怎样求两条异面直线所成的角？问题2两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量夹角有什么区别？例题精讲【例1】如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．【方法技巧】建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便，要注意角的范围．【跟踪训练1】长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．【探究点二求直线和平面所成的角】问题1直线和平面所成角的范围是什么？问题2直线与平面所成的角θ和直线方向向量a与平面法向量b的夹角有什么关系？【例2】如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．【方法技巧】借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．【跟踪训练2】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求BD与平面ADMN所成的角．【探究点三求二面角】问题怎样利用向量法求两个平面所成的二面角的大小？【例3】在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．【方法技巧】当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．【跟踪训练3】如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，PA＝AB＝a，点M 是PC的中点．(1)求BP与DM所成的角的大小；(2)求二面角M—DA—C的大小．【例4】甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值．【方法技巧】若AB，CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直→→【跟踪训练4】 已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为________．课后作业【基础巩固】1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c2．已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则( ) A ．α⊥βB ．α∥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对3．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD → ＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝n·a|n||a |B ．cos θ＝|n·a||n||a |C ．sin θ＝n·a|n||a |D ．sin θ＝|n·a||n||a |6．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________.7．已知A (2,1,0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1,2)，则点B 的坐标是_______________________．8.已知四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中 点，问向量P A →、MB →、MD →是否可以组成一个基底，并说明理由．9.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，试证明ME ∥NF .【能力提升】1．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，△BCD 是 ( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不确定2．在以下命题中，不．正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. A ．2B ．3C ．4D ．13.已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ， PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.P A →与CD →4．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．65.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ， BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2D. 36．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 7. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线 EF 和BC 1的夹角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°8．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．9.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ (θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2)， AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面N 内，BC 在l 上，CD 在平面M 内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．10.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上 一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°.11．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，F 为A 1B 1的中点．求二面角A —BF —D 的余弦值．12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，且P A⊥平面ABCD，P A＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．13.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．知识梳理【知识点一空间向量与平行关系】在学习用空间向量方法证明平行关系、垂直关系时，应先复习必修二中学习的线面、面面平行与垂直的判定定理，将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算，体现向量的工具性作用.1．直线的方向向量和平面的法向量能平移到直线上的________向量，叫做直线的一直线的方向向量个方向向量直线l⊥α，取直线l的__________n，叫做平面平面的法向量α的法向量2.空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔________⇔a＝kb (k∈R)线面平行l∥α⇔________⇔________面面平行α∥β⇔________⇔____________线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.【探究点二】用向量法证明立体几何定理例题精讲【例2】证明：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．【方法技巧】在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是重要的工具．【跟踪训练2】用向量方法证明：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．【探究点三】利用空间向量证明平行关系问题：怎样利用向量证明空间中的平行关系？例题精讲【例3】已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【方法技巧】 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．【跟踪训练3】如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、SC 的中点．证明：EF ∥平面SAD.巩固训练1．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 ( ) A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________. 5．正方体ABCD —A1B1C1D1中，证明：平面A1BD ∥平面CB1D1.1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.【知识点二空间向量与垂直关系】在平行关系的基础上，利用直线的方向向量和平面的法向量判定立体几何中的垂直关系，体现了转化的数学思想.空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b ＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔________ 设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔__________________若平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔____________【探究点一】证明线线垂直问题怎样证明两条直线互相垂直？例题精讲【例1】如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.【方法技巧】证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．【跟踪训练1】在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.【探究点二】证明线面垂直问题怎样利用向量方法证明线面垂直？例题精讲【例2】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.【方法技巧】本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．【跟踪训练2】如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.【探究点三】证明面面垂直问题：怎样证明两个平面垂直？例题精讲【例3】在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.【方法技巧】向量法证明线、面位置关系的优越性体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”．【跟踪训练3】如图所示，在六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.巩固训练1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则 ()A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1、l2相交但不垂直 D．不能确定2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系() A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.【方法技巧】1．用空间向量法解决立体几何中的垂直问题，主要是运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理．2．用法向量来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．【知识点三空间向量与空间角】1．两条异面直线所成的角设两条异面直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝_______. 4．直线和平面所成的角设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin θ＝_______.5．二面角的平面角设二面角α—l—β的锐二面角大小为θ，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cos θ＝_______.【探究点一求两条异面直线所成的角】问题1 怎样求两条异面直线所成的角？问题2两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量夹角有什么区别？例题精讲【例1】如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．【方法技巧】建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便，要注意角的范围．【跟踪训练1】长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．【探究点二求直线和平面所成的角】问题1直线和平面所成角的范围是什么？问题2直线与平面所成的角θ和直线方向向量a与平面法向量b的夹角有什么关系？【例2】如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．【方法技巧】借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．【跟踪训练2】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求BD与平面ADMN所成的角．【探究点三求二面角】问题怎样利用向量法求两个平面所成的二面角的大小？【例3】在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角．【方法技巧】当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．【跟踪训练3】如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，PA＝AB＝a，点M 是PC的中点．(1)求BP与DM所成的角的大小；(2)求二面角M—DA—C的大小．【例4】甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值．【方法技巧】 若AB ，CD 分别是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的平面角就是向量AC →与BD →的夹角(如图所示)．【跟踪训练4】 已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为________．课后作业【基础巩固】1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c2．已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则( ) A ．α⊥βB ．α∥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对3．已知向量a ＝(0,2,1)，b ＝(－1,1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD → ＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝n·a|n||a |B ．cos θ＝|n·a||n||a |C ．sin θ＝n·a|n||a |D ．sin θ＝|n·a||n||a |6．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________.7．已知A (2,1,0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1,2)，则点B 的坐标是_______________________．8.已知四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中 点，问向量P A →、MB →、MD →是否可以组成一个基底，并说明理由．9.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，试证明ME ∥NF .【能力提升】1．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，△BCD 是 ( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不确定2．在以下命题中，不．正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②对a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④|(a·b )·c |＝|a|·|b|·|c |. A ．2B ．3C ．4D ．13.已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ， PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.P A →与CD →4．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．65.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ， BD 与面M 成30°角，则C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2C. 2D. 36．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( ) A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 7. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1的夹角是( ) A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°8．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．9.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ (θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2)， AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面N 内，BC 在l 上，CD 在平面M内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．10.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°.13．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，F 为A 1B 1的中点．求二面角A —BF —D 的余弦值．14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，且P A⊥平面ABCD，P A＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．13.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．试一试：解设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．∵n ⊥AB →且n ⊥BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，令x ＝1，得y ＝z ＝1. ∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．例1、解 (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，∴a ·b ＝8－6－2＝0，∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)，∴v＝－3u，∴v∥u，即α∥β.(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)，∴a·u≠0且a≠k u(k∈R)，∴a与u既不共线也不垂直，即l与α相交但不垂直．(4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)，∴a·u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，即l⊂α或l∥α.跟踪训练1解(1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a ·b ≠0且a ≠k b (k ∈R ∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面．(3)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u ·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β.(4)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u ·v ≠0且u ≠k v (k ∈∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直．(5)∵a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)，∴u ＝－14a ，∴u ∥a ，即l ⊥α.例2、证明 设相交直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，因为l∥β，m∥β，所以a⊥v，b⊥v.所以a·v＝0，b·v＝0.因为l，m⊂α，且l，m相交，所以α内任一直线的方向向量p可以表示为如下形式p＝x a＋y b，x，y∈R.因为p·v＝(x a＋y b)·v＝x a·v＋y b·v＝0，即平面β的法线与平面α内任一直线垂直．所以平面β的法向量也是平面α的法向量，即u∥v.因此，α∥β.跟踪训练2证明设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α的法向量分别为u.因为l∥m，所以a＝k b，k∈R.又因为u⊥α，m⊂α，所以u⊥b，因此u·b＝0，u·a＝u·k b＝0.所以l∥α.例3、证明(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA →＝2x 1＝0n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝－2y 1， 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)∵C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .跟踪训练3证明 建立如图所示的空间直角坐标系．设A (a,0,0)，S (0,0，b )，则B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，b 2.EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2.取SD 的中点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，b 2，连接AG ，则AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，b 2.因为EF →＝AG →，所以EF ∥AG ，又AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ，所以EF ∥平面SAD .练一练 1-4 BAA -85、证明 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)．∴A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1B →＝(0,1，－1)，D 1B 1→＝(1,1,0)，D 1C →＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1D →＝0，n 1·A 1B →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0，令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1DB 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)．设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·D 1B 1→＝0，n 2·D 1C →＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0，令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1，∴n 2＝(－1,1,1)，∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2.∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.空间向量垂直关系例1、证明 ∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，B ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，∴AC →·BC 1→＝0.∴AC ⊥BC 1.跟踪训练1证明 以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )．∵A 1F →·C 1E →＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0，∴A 1F →⊥C 1E →，即A 1F ⊥C 1E .例2、证明 方法一 如图取D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别作x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则O (1,1,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，∴OA 1→＝(1，－1,2)，OB →＝(1,1,0)，BG →＝(－2,0,1)，而OA 1→·OB →＝1－1＋0＝0，OA 1→·BG →＝－2＋0＋2＝0.∴OA 1→⊥OB →，OA 1→⊥BG →，即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG ，而OB ∩BG ＝B ，∴OA 1⊥平面GBD .方法二 同方法一建系后，设面GBD 的一个法向量为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ BG →·n ＝0BD →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋z ＝0－2x －2y ＝0，令x ＝1得z ＝2，y ＝－1，∴平面GBD 的一个法向量为(1，－1,2)，。

模块复习课[核心知识回顾] 一、常用逻辑用语1．命题及其关系(1)原命题：若p，则q.则逆命题：若q，则p.否命题：若﹁p，则﹁q.逆否命题：若﹁q，则﹁p.(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件．(4)若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．3．简单的逻辑联结词(1)命题p∧q的真假：“全真则真”，“一假则假”．(2)命题p∨q的真假：“一真则真”，“全假则假”．(3)命题﹁p的真假：p与﹁p的真假性相反．4．全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定p：∀x∈M，p(x)．﹁p：∃xM，﹁p(x0)．0∈(2)特称命题的否定p：∃x0∈M，p(x0)．﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．二、圆锥曲线与方程1．椭圆(1)椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆． (2)椭圆的标准方程焦点在x 轴上：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点在y 轴上：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．(3)椭圆的几何性质①范围：对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b .②对称性：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，关于x 轴，y 轴及原点对称．③顶点：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的顶点坐标为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )．④离心率：e ＝c a，离心率的范围是e ∈(0,1)． ⑤a ，b ，c 的关系：a 2＝b 2＋c 2. 2．双曲线(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，叫做双曲线．(2)双曲线的标准方程焦点在x 轴上：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点在y 轴上：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)；(3)双曲线的几何性质①范围：对于双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R ，②对称性：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)关于x 轴，y 轴及原点对称．③顶点：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为A 1(－a,0)，A 2(a,0)，双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为A 1′(0，－a )，A 2′(0，a )，④渐近线：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±abx .⑤离心率：e ＝c a，双曲线离心率的取值范围是e ∈(1，＋∞)， ⑥a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2＋b 2. 3．抛物线 (1)抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线． (2)抛物线的标准方程焦点在x 轴上：y 2＝±2px (p >0)， 焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p >0)． (3)抛物线的几何性质①范围：对于抛物线x 2＝2py (p >0)，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)②对称性：抛物线y 2＝±2px (p >0)，关于x 轴对称， 抛物线x 2＝±2py (p >0)，关于y 轴对称．③顶点：抛物线y 2＝±2px 和x 2＝±2py (p >0)的顶点坐标为(0,0)．④离心率：抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e ＝1.三、空间向量与立体几何 1．空间向量及其运算(1)共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0) (2)P ，A ，B 三点共线⇔OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1) (3)共面向量定理：p 与a ，b 共面⇔p ＝x a ＋y b(4)P ，A ，B ，C 四点共面⇔OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)， (5)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．(6)空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ①a ±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3)， ②λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， ③a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3，④a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3， ⑤a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0， ⑥|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23，⑦cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝ ⑧若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)，|AB →|＝2．立体几何中的向量方法 (1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角为θ，两条异面直线的方向向量分别为a ，b ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a ||b |，(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |(3)二面角二面角为θ，n 1，n 2为两平面的法向量，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|[易错易混辨析]1．一个命题的逆命题和否命题有相同的真假性．(√)[提示] 一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，因此具有相同的真假性． 2．使a >b 成立的充分不必要条件是a >b －1.(×) [提示] a >b －1⇒/a >b .3．“p ∧q ”的否定为“(﹁p )∨(﹁q )”，“p ∨q ”的否定为“(﹁p )∧(﹁q )”．(√)[提示] “且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”．4．命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，则x 2＋2x ＋1>0，则﹁p 为：∃x 0∈(－∞，0]，使x 20＋2x 0＋1≤0.(×)[提示]﹁p 应为∃x 0∈(0，＋∞)，使x 20＋2x 0＋1≤0.5．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是“若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数”．(×)[提示] 命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．6．命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题．(×) [提示] 此命题是全称命题，但是是假命题． 7．“x >6”是“x >1”的充分但不必要条件．(√) [提示] x >6⇒x >1，但x >1⇒/x >6.8．若命题p ∧q 为假，且﹁p 为假，则q 假．(√) [提示] 由p 为真，p ∧q 为假知，q 为假．9．椭圆上的点到焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －C ．(√) [提示] 椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值．10．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×)[提示] |F 1F 2|＝8，故点的轨迹是线段F 1F 2.11．椭圆2x 2＋3y 2＝12的焦点坐标为(0，±2)．(×)[提示] 椭圆标准方程为x 26＋y 24＝1，c 2＝a 2－b 2＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)．12．已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m2＝1(m >0)，焦距为6，则实数m 的值为4. (×)[提示] 当焦点在x 轴上时，由25－m 2＝9得m ＝4，当焦点在y 轴上时，m 2－25＝9得m ＝34.13．已知F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则点P 的轨迹是双曲线的右支．(×)[提示] 点P 的轨迹是一条射线． 14．“0≤k <3”是方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线的充要条件．(×)[提示] 当0≤k <3时，方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线，若方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线，则有(k ＋1)(k －5)<0，即－1<k <5，故原命题错误．15．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长为2.(×)[提示] 双曲线标准方程为x 24－y 28＝1，因此双曲线的实轴长为4.16．等轴双曲线的渐近线相同．(√)[提示] 等轴双曲线的渐近线方程都是y ＝±x .17．到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(×) [提示] 当定点在定直线上时点的轨迹是一条直线．18．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(×)[提示] 抛物线标准方程为x 2＝12y ，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.19．抛物线y 2＝2px (p >0)中过焦点的最短弦长为2p .(√) [提示] 抛物线中通径是最短的弦长．20．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程为y ＝2，则实数a 的值是18.(×)[提示] 抛物线标准方程为x 2＝1a y ，则－14a ＝2，解得a ＝－18.21．若空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C 满足OP →＝12OA →＋32OB →－OC →，则点P 与A ，B ，C 共面．(√)[提示] 12＋32－1＝1，故四点共面．22．a ，b 为空间向量，则cos 〈a ，b 〉＝cos 〈b ，a 〉．(√) [提示] 〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉，则cos 〈a ，b 〉＝cos 〈b ，a 〉． 23．两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直．(√) [提示] 由平面法向量的定义可知．24．直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量垂直．(×) [提示] 直线的方向向量与平面的法向量平行．25．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.(√)[提示] 假设k 1≠0，则e 1＝－k 2k 1e 2－k 3k 1e 3，则e 1，e 2，e 3共面．26．若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为150°，则直线与平面所成的角为30°.(×)[提示] 直线与平面所成的角为60°.27．若直线与平面所成的角为0°，则直线在平面内．(×) [提示] 直线与平面也可能平行．28．两个平面的法向量所成的角为120°，则两个平面所成的二面角也是120°.(×) [提示] 二面角的度数是120°或60°.29．两条异面直线所成的角为30°，则两条直线的方向向量所成的角可能是150°.(√) [提示] 根据向量所成角的定义知正确．30．若二面角是30°，则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是30°.(×)[提示] 在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是30°或150°.[高考真题感悟]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1B [由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B ．]2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )【导学号：46342195】A ．63 B ．33C ．23D ．13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A ．]3．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233A [设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ．]4．已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．32 B ．155 C ．105D ．33C [方法1：将直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD ．图①由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C ．方法2：以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．②由已知条件知B 1(0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(1,0,0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1,0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→|·|BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成的角的余弦值为105. 故选C ．]5．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10A [因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝4(1＋k 2)k 2.同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k2＋4(1＋k 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．故选A ．]6．如图1，四棱锥P ­ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．图1(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M ­AB ­D 的余弦值.【导学号：46342196】[解] (1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD ．由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF ═∥BC ， 四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF .又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE ∥平面PAB ．(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则 BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°，|z |(x －1)2＋y 2＋z2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →，则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝105.因此二面角M ­AB ­D 的余弦值为105. 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程．(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |＜2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m ＞－1时，Δ＞0， 于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．8．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【导学号：46342197】[解] (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .。

第一章 常用逻辑用语第一讲 命题及其关系、充要条件与必要条件 [知识梳理]1．陈述句 真命题 假命题 2．命题的条件 命题的结论3．若q 则p 若p ⌝则q 若q ⌝则p ⌝ （1）逆命题（2）否命题（3）逆否命题 4．（1）真假性 （2）没有关系 5．它的逆否命题为真命题 反证法（1）假设命题的结论不成立 （2）这个假设 （3）从而肯定命题的结论正确 6．充分 必要 充分必要 充要 7．充分不必要 必要不充分8．(1)充分不必要 (2)必要不充分 (3)充要 (4)既不充分也不必要9．(1)充分 充分不必要 (2)必要 必要不充分 (3)充要 既不充分也不必要 [基础闯关]1．B 2．C 3．B 4．2 5．充分不必要 6．充分不必要 [典例精析] 变式训练1．（1）是假命题；（2）是假命题；（3）不是命题，是疑问句；（4）不是命题，是开语句；（5）是真命题. 2.存在一个奇数，它的立方是偶数. 3.若b a ≤，则122-≤ba .4. 解：逆命题为：已知函数)(x f y =在),(+∞-∞上是增函数，R b a ∈,。

若)()()()(b f a f b f a f -+->+，则0>+b a .它是真命题。

证明如下：若0≤+b a ,则b a -≤， )(x f 在),(+∞-∞上是增函数，∴)()(b f a f -≤；同理可证)()(a f b f -≤，两式相加，得)()()()(b f a f b f a f -+-≤+与已知条件)()()()(b f a f b f a f -+->+矛盾。

故所写的逆命题为真命题。

5. (反证法)假设三个方程都有相等的实根，则02=-ac b ，02=-ab c ，02=-bc a ，∴0222=---++bc ac ab c b a ，即0)()()(222=-+-+-a c c b b a 从而c b a ==这与已知条件“c b a ,,为互不相等的实数”矛盾.故题设中三个方程不可能都有等根。

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