高中数学一轮复习《1集合与充要条件》教学案(可编辑修改word版)

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做__________，判断为假的语句叫做__________．2．四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系．(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题__________(__________或__________)． ②互逆或互否的两个命题__________． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，那么p 是q 的__________，q 是p 的__________． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，那么p 是q 的__________，记作__________．1．若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的( )． A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．不等价命题2．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013山东青岛高三期中)已知a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＞b 3”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题“如果x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆否命题为__________．一、四种命题及其关系【例1－1】(2012重庆高考)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )． A ．若q ，则p B ．若⌝p ，则⌝q C ．若⌝q ，则⌝p D ．若p ，则⌝q【例1－2】(2012湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．3．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p ，则q ”，那么这个原命题的否定是“若p ，则⌝q ”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若⌝p ，则⌝q ”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．请做演练巩固提升1二、充分条件与必要条件的判定【例2－1】(2012湖北高考)设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )．A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件【例2－2】是否存在实数m ，使得2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件？ 方法提炼判断充分条件、必要条件的方法 1．命题判断法设“若p ，则q ”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； (3)原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；(4)原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若AB 时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若BA 时，则p 是q 的必要不充分条件；(3)若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． 请做演练巩固提升2,3三、充分条件与必要条件的证明【例3】求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.方法提炼1．证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论．在这里要注意两种说法：“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”；前者p 是条件，后者q 是条件．2．证明分为两个环节，一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．请做演练巩固提升4等价思想在充要条件中的应用【典例】(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且⌝p 是⌝q的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)先求出p ，q 的解集，即将p ，q 化为最简；(2)再利用p ，q 间的关系列出关于m 的不等式或不等式组得出结论． 规范解答：(方法一)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，(3分)∴⌝q ：A ＝{x |x ＞1＋m ，或x ＜1－m ，m ＞0}．(4分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴⌝p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．(7分) ∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)(方法二)∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件．(3分)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．(6分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．(8分) ∵p 是q 的充分而不必要条件， ∴PQ ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)答题指导：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是( )．A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真2．(2012浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．直线l 1∥l 2的一个充分条件是( )． A ．l 1∥平面α，l 2∥平面αB ．直线l 1⊥直线l 3，直线l 2⊥直线l 3C ．l 1平行于l 2所在的平面D ．l 1⊥平面α，l 2⊥平面α4．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为( )．A．－1＜a＜6 B．－1≤a≤6C．a＜－1或a＞6 D．a≤－1或a≥65．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.参考答案基础梳理自测 知识梳理1．判断真假的陈述句 真命题 假命题 2．(2)①等价 同真 同假 ②不等价3．(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件 p ⇔q 基础自测1．C 解析：因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又命题p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.2．B 解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a ＞－6，则a ＞－3为假命题，则否命题也为假命题．故选B.3．A 解析：由2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或x ＞12，∴“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件．4．C5．如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0 解析：“x ＝2且y ＝－1”的否定为“x ≠2或y ≠－1”，x －2＋(y ＋1)2＝0的否定为x －2＋(y ＋1)2≠0.故逆否命题为：“如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0”． 考点探究突破 【例1－1】A 解析：根据逆命题的定义，命题“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，故选A.【例1－2】C 解析：命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．【例2－1】A 解析：1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab abc ＝bc ＋ac ＋ab ≤b ＋c 2＋a ＋c2＋a ＋b2＝a ＋b ＋c (当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，但反之，则不成立(譬如a ＝1，b ＝2，c ＝3时，满足1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1)．【例2－2】解：欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－m 2⊆{x |x ＜－1，或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件． 【例3】证明：(1)充分性：∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，且3m ＞0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，3m>0，∴0＜m ＜13.综合(1)(2)可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜13. 演练巩固提升1．D 解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx＋c ＜0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.2．C 解析：l 1与l 2平行的充要条件为a ×2＝2×1且a ×4≠－1×1，得a ＝1，故选C.3．D 解析：平行于同一平面的两直线有三种位置关系，故A 错误；同理判断B ，C 错误，故D 正确．4．B 解析：设q ，p 表示的范围分别为集合A ，B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.故选B. 5．3或4 解析：∵方程有实数根， ∴Δ＝16－4n ≥0. ∴n ≤4.原方程的根x ＝4±16－4n2＝2±4－n 为整数，则4－n 为整数．又∵n ∈N *，∴n ＝3或4.反过来，当n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；当n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0的两根相等且为2，是整数．。

一、知识梳理１．命题在数学中，可以判断真假用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．２．四种命题及其关系（１）四种命题间的相互关系（２）四种命题的真假关系１两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；２两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．３．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q错误!pp是q的必要不充分条件p错误!q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!p从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：（１）若A⊆B，则p是q的充分条件；（２）若A⊇B，则p是q的必要条件；（３）若A＝B，则p是q的充要条件；（４）若A B，则p是q的充分不必要条件；（５）若A B，则p是q的必要不充分条件；（6）若A错误!B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．二、教材衍化１．命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是________，是________命题（填“真”或“假”）．解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．答案：若x≤y，则x２≤y２假２．设x∈R，则“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的________条件．解析：２—x≥0，则x≤２，（x—１）２≤１，则—１≤x—１≤１，即0≤x≤２，据此可知：“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的必要不充分条件．答案：必要不充分３．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac２＞bc２”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c＝0时，ac２＝bc２，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac２＞bc２，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有２个．答案：２一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x２＋２x—３<0”是命题．（）（２）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．（）（３）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（）（４）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（５）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）命题的条件与结论不明确；（２）含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；（３）对充分必要条件判断错误．１．命题“若a２＋b２＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a２＋b２≠0．２．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0．３．条件p：x>a，条件q：x≥２．（１）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；（２）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥２}，（１）因为p是q的充分不必要条件，所以A B，所以a≥２；（２）因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a<２．答案：（１）a≥２（２）a<２四种命题的相互关系及真假判断（自主练透）１．命题“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是（）Ａ．若x２≥１，则x≥１或x≤—１Ｂ．若—１<x<１，则x２<１Ｃ．若x>１或x<—１，则x２>１Ｄ．若x≥１或x≤—１，则x２≥１解析：选Ｄ．命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是“若x≥１或x≤—１，则x２≥１”．１“若xy＝１，则x，y互为倒数”的逆命题；２“面积相等的两个三角形全等”的否命题；３“若m≤１，则x２—２x＋m＝0有实数解”的逆否命题；４“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是（）Ａ．１２Ｂ．２３Ｃ．４Ｄ．１２３解析：选Ｄ．１原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝１”，是真命题；２原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；３若m≤１，Δ＝４—４m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；４由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故１２３正确．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４解析：选Ｃ．因为P＝错误!＝错误!{k∈Z}，Q＝错误!，所以P Q，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为２．错误!（１）写一个命题的其他三种命题时需关注２点１对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；２若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．（２）判断命题真假的２种方法１直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；２间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断（师生共研）（１）（２0２0·郑州模拟）已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“错误!>错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0２0·延安模拟）已知p：x＝２，q：x—２＝错误!，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【解析】（１）若错误!>错误!，则错误!—错误!＝错误!>0．当0<a<b时，错误!>错误!成立；当a>0，b<0时，满足错误!>错误!，但0<a<b不成立．故“b>a>0”是“错误!>错误!”的充分不必要条件，故选Ａ．（２）当x—２＝错误!时，两边平方可得（x—２）２＝２—x，即（x—２）（x—１）＝0，解得x１＝２，x２＝１．当x＝１时，—１＝错误!，不成立，故舍去，则x＝２，所以p是q的充要条件，故选Ｃ．【答案】（１）A （２）C错误!判断充要条件的３种常用方法（１）定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．（２）等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（３）利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意３点（１）要分清条件与结论分别是什么．（２）要从充分性、必要性两个方面进行判断．（３）直接判断比较困难时，可举出反例说明．１．（２0１9·高考天津卷）设x∈R，则“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由x２—５x<0可得0<x<５．由|x—１|<１可得0<x<２．由于区间（0，２）是（0，５）的真子集，故“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的必要而不充分条件．２．（２0２0·安徽淮南二模）设λ∈R，则“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．当λ＝—３时，两条直线的方程分别为6x＋４y＋１＝0，３x＋２y—２＝0，此时两条直线平行；若直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行，则２λ×（１—λ）＝—6（１—λ），所以λ＝—３或λ＝１，经检验，两者均符合．综上，“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的充分不必要条件，故选Ａ．充分条件、必要条件的探求及应用（典例迁移）（１）设集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）Ａ．—１<x≤１Ｂ．x≤１Ｃ．x>—１Ｄ．—１<x<１（２）已知P＝{x|x２—8x—２0≤0}，非空集合S＝{x|１—m≤x≤１＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．【解析】（１）因为集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，又因为“x∈A且x∉B”，所以—１<x<１；又当—１<x<１时，满足x∈A且x∉B，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是“—１<x<１”．故选Ｄ．（２）由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，所以P＝{x|—２≤x≤１0}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则错误!所以0≤m≤３．所以当0≤m≤３时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，３]．【答案】（１）D （２）[0，３]【迁移探究】（变问法）本例（２）条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒P.所以[—２，１0][１—m，１＋m]．所以错误!或错误!所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．错误!根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项（１）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．（２）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．１．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Ａ．a≥9 Ｂ．a≤9Ｃ．a≥１0 Ｄ．a≤１0解析：选Ｃ．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”⇔“对任意的x∈[１，３]，x２≤a”⇔9≤a.则a≥１0是命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选Ｃ．２．若“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x２—x—6>0，解得x<—２或x>３．因为“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<—２或x>３}的真子集，即a≥３，故a的最小值为３．答案：３[基础题组练]１．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p的（）Ａ．逆命题Ｂ．否命题Ｃ．逆否命题Ｄ．否定解析：选Ｂ．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．２．“若x，y∈R，x２＋y２＝0，则x，y全为0”的逆否命题是（）Ａ．若x，y∈R，x，y全不为0，则x２＋y２≠0Ｂ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２＝0Ｃ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２≠0Ｄ．若x，y∈R，x，y全为0，则x２＋y２≠0３．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x ＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．１“若a≤b，则a＜b”的否命题；２“若a＝１，则ax２—x＋３≥0的解集为R”的逆否命题；３“周长相同的圆面积相等”的逆命题；４“若错误!x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为（）Ａ．２４Ｂ．１２３Ｃ．２３４Ｄ．１３４解析：选Ｂ．对于１，逆命题为真，故否命题为真；对于２，原命题为真，故逆否命题为真；对于３，“面积相等的圆周长相同”为真；对于４，“若错误!x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选Ｂ．５．设a，b均为单位向量，则“|a—３b|＝|３a＋b|”是“a⊥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．因为|a—３b|＝|３a＋b|，所以（a—３b）２＝（３a＋b）２，所以a２—6a·b＋9b２＝9a２＋6a·b＋b２，又因为|a|＝|b|＝１，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选Ｃ．6．（２0２0·咸阳模拟）已知p：m＝—１，q：直线x—y＝0与直线x＋m２y＝0互相垂直，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由题意得直线x＋m２y＝0的斜率是—１，所以错误!＝—１，m＝±１．所以p是q的充分不必要条件．故选Ａ．7．（２0２0·郑州模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·（b—c）＝0”是“b＝c”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由b＝c，得b—c＝0，得a·（b—c）＝0；反之不成立．故“a·（b—c）＝0”是“b ＝c”的必要不充分条件．8．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是（）Ａ．a＋b＞0 Ｂ．a—b＞0Ｃ．ab＞１Ｄ．错误!＞１解析：选Ａ．因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a—b＞0，ab ＞１，错误!＞１，故选Ａ．9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．答案：充要１0．在命题“若m>—n，则m２>n２”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝２，n＝３，则２>—３，但２２<３２，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝—３，n＝—２，则（—３）２>（—２）２，但—３<２，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为３．答案：３１１．（２0２0·齐鲁名校调研）给出下列说法：１“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；２“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；３“a＝１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；４命题“若x<—１，则x２—２x—３>0”的否命题为“若x≥—１，则x２—２x—３≤0”．以上说法中正确的是________（填序号）．解析：对于１，“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝错误!”，当x＝0，y＝错误!时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝错误!，故逆命题为假命题，１正确；对于２，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，２正确；对于３，“a＝±１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故３错误；对于４，根据否命题的定义知４正确．答案：１２４[综合题组练]１．（２0２0·抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为6５分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是（）Ａ．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格Ｂ．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分Ｃ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分Ｄ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选Ｃ．根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选Ｃ．２．（２0２0·合肥模拟）若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是（）Ａ．a＝b＝１Ｂ．a，b至少有一个为１Ｃ．a＝b＝２Ｄ．a＞１且b＞１解析：选Ｂ．因为a＋b＞ab，所以（a—１）（b—１）＜１．因为a，b∈N+，所以（a—１）（b—１）∈N，所以（a—１）（b—１）＝0，所以a＝１或b＝１．故选Ｂ．３．若命题“ax２—２ax—３>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax２—２ax—３≤0恒成立，当a＝0时，—３≤0成立；当a≠0时，得错误!解得—３≤a<0，故实数a的取值范围是—３≤a≤0．答案：[—３，0]４．已知命题p：x２＋２x—３＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x２＋２x—３＞0，得x＜—３或x＞１，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥１．答案：[１，＋∞）。

第19课时充要条件（二）§1.8.2 充要条件教学目标1.理解充要条件的意义．2.掌握判断命题的条件的充要性的方法．3.进一步培养学生简单逻辑推理的思维能力．教学重点理解充要条件意义及命题条件的充要性判断.教学难点命题条件的充要性的判断.教学方法讲、练结合教学教具准备多媒体教案教学过程一、复习回顾由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，即有哪四类？答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件．本节课将继续研究命题中既充分又必要的条件．二、新课：§1.8.2 充要条件问题：请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件？答：命题（1）中因：a是无理数⇒a+5是无理数，所以“a是无理数”是“a+5是无理数”的充分条件；又因：a+5是无理数⇒a是无理数，所以“a是无理数”又是“a+5是无理数”的必要条件。

因此“a是无理数”是“a+5是无理数“既充分又必要的条件．由上述命题（1）的条件判定可知：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q.“⇔”叫做等价符号。

p⇔q表示p⇒q且q⇒p．这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．续问：请回答命题（2）、（3）．答：命题（2）中因：a>b⇒a+c>b+c.又a+c>b+c⇒a>b,则“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件．命题（3）中因：一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根⇒Δ>0，又由Δ>0⇒一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等根，故“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”是“判别式Δ>0”的充要条件．生：（1）因x-2=0 ⇒(x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0⇏x-2=0.所以p 是q 的必要而不充分条件．（2）因同位角相等⇔两直线平行，所以p 是q 的充要条件．（3）因x=3⇒x 2=9,而x 2=9⇏x=3，所以p 是q 的充要分而不必要条件．（4）因四边形的对角线相等⇏四边形是平行四边形，又四边形是平四边形⇏四边形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．（5）因 ,解得x=0或x=3.q:2x+3=x 2得x=-1或x=3。

2019-2020年高考数学复习第06课时第一章集合与简易逻辑-充要条件名师精品教案一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定；2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断是否正确的本质是判断命题“若，则”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在中，，（2）对于实数，，或（3）在中，，（4）已知，，解：（1）在中，有正弦定理知道：∴又由所以，即是的的充要条件．（2）因为命题“若且，则”是真命题，故，命题“若，则且”是假命题，故不能推出，所以是的充分不必要条件．（3）取，不能推导出；取，不能推导出所以，是的既不充分也不必要条件．（4）因为，或，，所以，是的充分非必要条件．例2．设，则是的（）、是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择B，D．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲，因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ．例4．设，求证：成立的充要条件是．证明：充分性：如果，那么，①② ③于是如果即或，当时，，当时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当时，．必要性：由及得即222222||x xy y x xy y ++=++得所以故必要性成立，综上，原命题成立．例5．已知数列的通项1113423n a n n n =++++++，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意恒成立的充要条件． 解：∵11111111()()02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++， 则1221n n n a a a a a -->>>>>， 欲使得题设中的不等式对任意恒成立，只须的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可， 又因为，即只须且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<， 解得，即，解得实数应满足的关系为且．例6．（1）是否存在实数，使得是的充分条件？（2）是否存在实数，使得是的必要条件？解：欲使得是的充分条件，则只要或，则只要即，故存在实数时，使是的充分条件．（2）欲使是的必要条件，则只要或，则这是不可能的，故不存在实数时，使是的必要条件．（四）巩固练习：1．若非空集合，则“或”是“”的条件．2．是的条件．3．直线和平面，的一个充分条件是（）A. B.C. D.2019-2020年高考数学复习第08课时第二章函数-函数的概念名师精品教案一．课题：函数的概念二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；2．函数的传统定义和近代定义；3．函数的三要素及表示法．（二）主要方法：1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．（三）例题分析：例1．（1），，；（2），，；（3），，．上述三个对应（2）是到的映射．例2．已知集合，映射，在作用下点的象是，则集合（）{}(,)|1,0,0=>>x y xy x y+=>>{}(,)|2,0,0x y x y x y{}x y xy x y(,)|2,0,0=>>x y xy x y=<<{}(,)|2,0,0解法要点：因为，所以．例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（ ）8个 12个 16个 18个解法要点：∵为奇数，∴当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法．故映射的个数是．例4．矩形的长，宽，动点、分别在、上，且，（1）将的面积表示为的函数，求函数的解析式；（2）求的最大值．解：（1）2111()408(5)5(8)222ABCD CEF ABE ADF S f x S S S S x x x ∆∆∆==---=--⨯⨯--⨯⨯- 22113113169()22228x x x =-+=--+． ∵，∴， ∴函数的解析式：2113169()()(05)228S f x x x ==--+<≤； （2）∵在上单调递增，∴，即的最大值为．例5．函数对一切实数，均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且，（1）求的值；（2）对任意的，，都有成立时，求的取值范围．解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令，得，又∵，∴．（2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令得，由（1）知，∴． ∵，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，当时，,显然不成立． 当时，，∴0113log 24a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得 ∴的取值范围是．（四）巩固练习：1．给定映射，点的原象是或．2．下列函数中，与函数相同的函数是 （ ）3．设函数3,(10)()((5)),(10)x xf xf f x x-≥⎧=⎨+<⎩，则＝．。

第三节充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/ B)两者的不同．『试一试』1．(2013·南通一模)已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的____________(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)．『解析』因为命题q的题设与结论恰好是命题p的题设与结论的否定，故两者之间互否．『答案』否命题2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：___________.『解析』原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，『结论』∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．『答案』“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B A时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．『练一练』1．(2014·苏锡常镇调研)“x>3”是“x>5”的______________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．『解析』“x>3”不一定能推出“x>5”，但“x>5”一定能推出“x>3”，故“x>3”是“x>5”的必要不充分条件．『答案』必要不充分2．(2013·苏锡常镇一调)已知命题p：直线a，b相交，命题q：直线a，b异面，则綈p是q 的________条件．『解析』因为綈p：直线a，b不相交，即两条直线平行或异面，所以綈p是q的必要不充分条件．『答案』必要不充分考点一 命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是_________________________________． 『解析』命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 『答案』“若tan α≠1，则α≠π4” 2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．『解析』对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④. 『答案』②④『备课札记』 『类题通法』在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.考点二 充分必要条件的判定『典例』 (1)(2014·泰州期末)设a ∈R ，s ：数列{(n －a )2}是递增数列，t ：a ≤1，则s 是t 的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．(2)(2013·北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件．『解析』 (1)由s ：数列{(n －a )2}是递增数列，知(n －a )2<『(n ＋1)－a 』2，则2a <2n ＋1得a <32， 所以s 是t 的必要不充分条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．『答案』(1)必要不充分 (2)充分不必要『备课札记』 『类题通法』充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q ”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B ”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．『针对训练』下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.『解析』(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q .又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件.考点三 充分必要条件的应用『典例』 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．『解析』 (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． 『备课札记』保持本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.『解析』由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴『－2,10』『1－m,1＋m 』．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是『9，＋∞)．『类题通法』利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ；(2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ；(3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .『针对训练』(2014·无锡期末)已知p ：|x －a |<4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』由题意知p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，因为“綈p ”是“綈q ”的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件．所以⎩⎪⎨⎪⎧3≤a ＋4，2≥a －4，解得－1≤a ≤6. 『答案』『－1,6』『课堂练通考点』1．(2014·苏州期末)命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题(填“真”或“假”)． 『解析』命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是“若x ≤0，则x 2≤0”，是假命题．也可以由逆命题为“若x 2>0，则x >0”来判断，逆命题为假命题，因此否命题是假命题．『答案』假2．(2013·盐城二模)直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行的充要条件是m ＝________.『解析』由题意，m ≠0，所以－2m ＝3，所以m ＝－23. 『答案』－233．已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的____________条件．『解析』依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．『答案』充分不必要4．设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的____________条件． 『解析』如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/ A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．『答案』充分不必要5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________．『答案』若a ≤b ，则a －1≤b －16.创新题已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.『答案』(4，＋∞)。

章节一：集合与充要条件1.集合的概念一般地，由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称为集.组成这个集合的对象叫做这个集合的 元素.集合常用大写英文字母A ，B ，C ，…表示.集合的元素常用小写英文字母a ，b ，c ，…表示. 2.3.(1)按集合中元素的个数分类有限集：含有有限个元素的集合. 无限集：含有无限个元素的集合. (2)按集合中元素的属性分类 点集：由点组成的集合. 数集：由数组成的集合. 4.几种常见的集合 (1)空集不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.空集是有限集. 5.集合的常见表示法 (1)列举法把集合的所有元素一一列出，中间用逗号隔开，并用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.例如，方程x 2-1=0的解组成的集合用列举法可表示为{-1,1}. (2)描述法利用元素的特征性质来表示集合的方法叫做描述法.用描述法表示集合时，在花括号“{ }”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质.例如，比3大的实数组成的集合用描述法可表示为{x ∈R ｜x >3}. 6.子集一般地，如果集合A 的每一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.任何一个集合都是它本身的子集，即A A ⊆.规定：空集是任何集合的子集，即对于任何集合A ，都有A ∅⊆. 如果集合A 不是集合B 的子集，记作A ⊈B （或B ⊉A ），读作“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）. 7.真子集一般地，如果集合A 是集合B 的子集，并且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⫋B （或B ⫌A ），读作“A 真包含于B ”（或“B 真包含A ”）.空集是任何非空集合的真子集，即对于任何非空集合A ，都有∅⫋A . 8.集合相等一般地，如果集合A 的元素与集合B 的元素完全相同，则称集合A 与集合B 相等，记作A B ＝.也就是说，当集合A 的每一个元素是集合B 的元素，同时集合B 的每一个元素也是集合A 的元素，即A B ⊆且B A ⊆时，A B ＝. 9.交集的定义一般地，对于给定的集合A 与集合B ，由既属于集合A 又属于集合B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集，记作B A .读作“A 交B ”.即{}A B x x A x B ∈∈＝且.10.交集的性质对于任意的两个集合A ，B ，有 （1）A ∩B =B ∩A ； （2）A ∩A =A ；关系 内容 表示 读法 属于 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A a ∈A a 属于A不属于 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A a ∉A a 不属于A 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集记法 N N *或N + Z Q R（3）A ∩∅=∅∩A =∅； （4）A ∩B ⊈A ，A ∩B ⊈B . 11.并集的定义一般地，对于给定的集合A 与集合B ，由集合A 与集合B 的所有元素组成的集合叫做集合A 与集合B 的并集，记作A ∪B .读作“A 并B ”.即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 12.并集的性质对于任意的两个集合A ，B ，有 （1）A ∪B =B ∪A ； （2）A ∪A =A ；（3）A ∪∅=∅∪A =A ； （4）A ⊈A ∪B ，B ⊈A ∪B . 13.补集的定义在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这个给定的集合叫做全集，通常用字母U 表示.在研究数集时，通常把实数集R 作为全集.一般地，若集合A 是全集U 的一个子集，则由集合U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集，记作∁U A .即∁U A ={x |x ∈U 且x ∉A }. 14.补集的性质对于任意集合A ，有 （1）A ∩∁U A =∅； （2）A ∪∁U A =U ； （3）∁U （∁U A ）=A . 15.充要条件已知条件p 和结论q ：（1）若由条件p 成立推出结论q 成立，则称条件p 是结论q 的充分条件，记作p ⇒q . （2）若由结论q 成立推出条件p 成立，则称条件p 是结论q 的必要条件，记作q ⇒p . （3）若p ⇒q ，并且q ⇒p ，则称条件p 是结论q 的充要条件，记作p ⇔q . 例题例1.下列各结论中，正确的是（ ）A .{0}是空集B .{x |x 2+x +2=0}是空集C .{1，2}与{2，1}是不同的集合D .方程x 2-4x +4=0的解集是{2，2}B 【解析】集合{0}中的元素是0，所以{0}不是空集.因为x 2+x +2=212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+74≥74，所以方程x 2+x +2=0无解，则集合{x |x 2+x +2=0}中没有元素，故集合{x |x 2+x +2=0}是空集.因为集合中的元素具有无序性，所以{1，2}与{2，1}是相同的集合.解方程x 2-4x +4=0，得x =2，因为集合中的元素具有互异性，所以方程x 2-4x +4=0的解集是{2}.例2.已知集合A ={x |kx 2+5x +2=0}，若A ≠∅，且k ∈N ，求k 的所有值组成的集合.【解析】当k =0时，方程5x +2=0，解得25x =-，所以集合A =25⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，此时满足A ≠∅.当k ≠0时，由A ≠∅，得方程kx 2+5x +2=0有解，即Δ=52-4×k ×2=25-8k ≥0，解得k ≤258，因为k ∈N ，所以k 的可能取值为1，2，综上可得，k 的所有可能取值为0，1，2，3.故k 的所有值组成的集合为{0,1,2,3}. 例3..设集合M ={x |0≤x ＜1}，则下列关系正确的是（ ）A .0⊆MB .{0}∈MC .{0}⊆MD .M =∅ C 【解析】因为集合M 中的元素x 满足0≤x ＜1，所以0∈M ，则M ≠∅，{0}⊆M . 例4.设集合A ={b ，c ，d }，则集合A 的子集共有（ ）A .5个B .6个C .7个D .8个 D 【解析】因为集合A 中有3个元素，所以集合A 的子集有23=8个.例5.已知集合A ={x |-3≤x ≤4}，B ={x |-m ＜x ＜m }，且A ⊆B ，则m 的取值范围是（ ）A .{m |0＜m ≤3}B .{m |0＜m ≤4}C .{m |m ＞4}D .{m |m ＞3}C 【解析】因为集合A ={x |-3≤x ≤4}，且A ⊆B ，所以B ≠∅.又因为B ={x |-m ＜x ＜m }，所以034m m m ⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜-，＞，解得m ＞4，故m 的取值范围是{m |m ＞4}.例6.[2018河北第1题]设集合M ={0，1，2，3，4}，N ={x |0＜x ≤3}，则M ∩N =（ ）A .{1，2}B .{0，1，2}C .{1，2，3}D .{0，1，2，3} C 【解析】集合M 和集合N 的公共元素是1，2，3，所以M ∩N ={1，2，3}. 例7.设集合A ={-2，0，4}，B ={m ，2m -2}，如果A ∩B ={0}，求m 的值及集合B . 【解析】因为A ∩B ={0}，所以0∈B ，则m =0或2m -2=0，解得m =0或m =1.当m =0时，集合B ={0，-2}，所以集合A 和集合B 的公共元素是0，-2，即A ∩B ={0，-2}，不符合题意.当m =1时，集合B ={1，0}，所以集合A 和集合B 的公共元素是0，即A ∩B ={0}，符合题意.综上可得，m =1，集合B ={1，0}. 例8.已知集合A ={x |-1＜x ＜2}，B ={x |x ＜-m 或x ＞4-m }，若A ∩B =∅，求实数m 的取值范围.【解析】因为-m ＜4-m 恒成立，所以B ≠∅.又因为A ∩B =∅，所以集合A 与集合B 没有公共元素，则142m m -⎧⎨-⎩≤-，≥，解得1≤m ≤2，故实数m 的取值范围是{m |1≤m ≤2}. 例9.[2021浙江第1题]集合A ={-2，-1，0，1，2}，集合B ={-2，4}，则A ⊈B = （ ）A .{-2，-1，4}B .{-2}C .{0，1，2，4}D .{-2，-1，0，1，2，4}D 【解析】集合A 和集合B 的所有元素是-2，-1，0，1，2，4，所以A ⊈B ={-2，-1，0，1，2，4}. 例10.已知集合A ={x |x ≤-2或x ≥3},B ={x |x ≥m +1}，且A ⊈B =A ，求m 的取值范围.【解析】因为A ⊈B =A ，所以B ⊆A ，则m +1≥3，解得m ≥2，故m 的取值范围是{m |m ≥2}. 例11.已知集合A ={x |6x 2+mx -1=0}，B ={x |3x 2+5x +n =0}，且A ∩B ={-1}，求A ⊈B ．【解析】因为A ∩B ={-1}，所以-1∈A ，-1∈B ，则6×（-1）2+m ×（-1）-1=0，3×（-1）2+5×（-1）+n =0，解得m =5，n =2，所以集合A ={x |6x 2+5x -1=0}，集合B ={x |3x 2+5x +2=0}.解方程6x 2+5x -1=0，得x =-1或x =16，所以集合A =116⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，.解方程3x 2+5x +2=0，得x =-1或x =23-，所以集合B =213⎧⎫-⎨⎬⎩⎭-，.集合A 和集合B 的所有元素是21136--，，，故A ⊈B =21136⎧⎫-⎨⎬⎩⎭-，，.例12.已知全集U ={x |x ＜5，x ∈N }，集合A ={x |x ＞1，x ∈U }，则集合A 在全集U 中的补集为（ ） A .{1} B .{0} C .{0，1} D .{0，1，2}C 【解析】因为全集U ={x |x ＜5，x ∈N }={0，1，2，3，4}，集合A ={x |x ＞1，x ∈U }={2，3，4}，所以集合U 中不属于集合A 的所有元素是0，1，故集合A 在全集U 中的补集为{0，1}. 例13.设A ，B 为两个集合，则“A ⊆B ”是“A ∩B =A ”的（ ）A .充分条件B .必要条件C .充要条件D 既不充分也不必要条件 C 【解析】当A ⊆B 时，A ∩B =A ，所以“A ⊆B ”能推出“A ∩B =A ”.当A ∩B =A 时，A ⊆B ，所以“A ∩B =A ”能推出“A ⊆B ”.故“A ⊆B ”是“A ∩B =A ”的充要条件. 练习1.下列说法正确的是（ ）A .{0，2，4}和{2，4，0}表示两个不同的集合 B.任何一个集合都可以用列举法表示 C .{（3，5）}和{5，3}表示同一个集合 D.{0}和∅表示两个不同的集合2.设a ，b 为非零实数，集合A =a b x x a b ⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭，用列举法写出集合A . 3.集合P ={x |x ≤4}，则（ ）A .π∉PB .π⫋PC .{π}∈PD .{π}⫋P 4.集合{x |0≤x ≤5且为奇数}的真子集个数是（ ）A .9B .8C .7D .65.已知集合A ={x |-1≤x ≤1}，B ={x |a -1＜x ＜2a -1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A .{a |a ≤1}B .{a |a ＜1}C .{a |0≤a ≤1}D .{a |0＜a ＜1} 6.设集合M ={x |x ≤5}，N ={x |x ≥3}，则M ∩N =（ ）A .{x |x ≥3}B .{x |x ≤5}C .{x |3≤x ≤5}D .∅7.已知集合A ={x |-1＜x ＜2}，B ={x |1＜x ≤5}，那么A ⊈B =（ ）A .{x |-1＜x ≤5}B .{x |1＜x ≤2}C .{x |-1＜x ＜5}D .{x |1＜x ＜2} 8.已知全集{}U a b c d =，，，，集合{}M a c =，，则U M =（ ）A.∅B.{}a c ，C.{}b d ，D.{}a b c d ，，， 9.“x =1”是“x 2-3x +2=0”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D 既不充分也不必要条件10.已知集合A ={x |2x 2+x+m =0}，集合B ={x |2x 2+nx+2=0}，且A ∩B =12⎧⎫⎨⎬⎩⎭，求实数m ,n 的值.11.已知集合A ={x |a -1＜x ＜a+1}，B ={x |x ≥4或x ≤1}，若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围.12.设集合A ={x |x ≤-3或x ≥4},B ={x |x +m <1}.若A ⊈B =R ，求m 的取值范围.13.设二次方程x 2-px+15=0的解集为A ，方程x 2-5x+6=0的解集为B ，若A ∩B ={3}，求A ⊈B .。

第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法A B或B A1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C．( )(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1．( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C．( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD [由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A [A∪B＝{1,2,3,4}．]4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝( )A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}C [∁A B＝{0,2,6,10}．]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A [∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 C [由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3. 解得a ＝1.][规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A BD ．B A(2)(2019·大庆模拟)集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B的子集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2(3)已知集合A ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R|ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则A B ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.] A ≠，应分(1)(2018·长沙模拟已知集合合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(1)C (2)[2，＋∞)[(1)由A⊆C⊆B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]►考法1 集合的运算【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝( )A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是( )A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C (2)B (3)B [(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )A．－1＜a≤2B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞2(1)D (2)D (3)C [(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.]( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝( )A．{1} B．{2}C．{1,2} D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C (2)D (3)C (4)A [(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A ＝{1,3,9,27}，B ＝{y |y ＝log 3x ，x ∈A }＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}A [由题意知A ∩B ＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z，y ∈Z}，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z，y ∈Z，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可． 集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]。

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第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求考情分析命题趋势1.理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2017·全国卷Ⅰ,32017·天津卷，42017·北京卷，62016·四川卷，72016·浙江卷，41.判断命题的真假．2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．3．常以函数、不等式等其他知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．4．考题多以选择题、填空题形式出现．分值：5分1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系（1）四种命题间的相互关系若原命题为：若p则q,则逆命题为__若q，则p__，否命题为__若綈p，则綈q__，逆否命题为__若綈q，则綈p__。

（2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们有__相同__的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__无关__。

1.4.2 充要条件一、教学目标1.掌握充要条件的定义；2.会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件；3.理解数学定义与充要条件的关系.二、教学重难点1.教学重点：充要条件的相关概念.2.教学难点：充要条件与教学定义之间的关系的理解.三、教学过程1.复习回顾问题1:我们初中学过的勾股定理内容是什么？答1:设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2.在勾股定理中：“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的____充分___条件;“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的____必要_____条件.问题2:我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？答2:设a,b,c分别是ΔABC的三条边，且a ≤ b ≤ c.勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2，那么ΔABC为直角三角形.在勾股定理的逆定理中：“ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的____必要___条件;“a2+b2=c2” 是“ΔABC为直角三角形”的____充分_____条件.问题3:勾股定理及其逆定理有何关系？答3:勾股定理及其逆定理的条件与结论相反.【教师讲授】将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.【设计意图】通过勾股定理及其逆定理引出原命题与逆命题的概念.同时也为后面的充要条件的定义做好铺垫。

2.数学建构思考1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0；(4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集．答1:(1)和(4)原命题与逆命题都是真命题.【教师讲授】如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q .此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．【设计意图】结合实例，让学生体会和理解原命题与逆命题之间的关系，并掌握充要条件的定义.思考2：判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假.答2:(2)原命题真，逆命题假，即p q⇒，且q p⇒/；(3) 原命题假，逆命题真，即p q⇒；⇒/，且q p3.归纳小结【教师讲授】(1) 若p q⇒，且q p⇒/，则称p是q的充分不必要条件；(2)若p q⇒，则称p是q的必要不充分条件；⇒/，且q p(3)若p q⇒，则称p是q的充要条件；⇒，且q p(4)若p q⇒/，则称p是q的既不充分也不必要条件．⇒/，且q p【设计意图】结合实例，初步认识充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件的定义.4.知识应用【例3】下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1) p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；(2) p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；(3) p:xy>0，q:x>0 ，y>0；(4) p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0 (a ≠ 0)．【设计意图】通过应用，加深学生对充要条件概念的理解，学会判断p是否为q的充要条件的基本方法.同时，还可以引导学生，结合前面的归纳小结，对p不是q的充要条件的题，具体分析出p与q的关系.【探究】你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？答：由定义：“四边形的两组对边分别平行”(1)“四边形的两组对角分别相等”；(2)“四边形的两组对边分别相等”；(3) “四边形的一组对边平行且相等”；(4) “四边形的对角线互相平分”．思考3：你能给出“三角形全等”或“三角形相似”的其他形式的定义吗？【设计意图】先回顾平行四边形的定义，根据定义我们知道“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形”，并给出平行四边形的其他4个充要条件，这样让学生体会到每个充要条件都是平行四边形的一种定义形式，它们是从不同的角度刻画了平行四边形的概念。