三角函数ppt

根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z． 所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．
归纳小结
问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中， 涉及哪些数学思想？
答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满 足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过 数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
新知探究
4．建模解模
解：（1）∵ s 3cos( g t ) ，∴可得s的最大值为3．
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
新知探究
4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π = 1 s，解得ω=100π；

习题与练习
基础习题
01
求三角函数值
已知正弦函数的图像上一点的横坐标 ，求该点的纵坐标；
02
图像变换
已知一个三角函数的图像，求该函数 的另一个图像；
03
周期性
已知正弦函数的周期，求该函数的系 数的值。
进阶习题
图像识别
根据图像的形状和特点，判断一 个函数是否为正弦函数；
三角函数不等式
证明或否定一个关于三角函数的 不等式；
正弦函数是周期函数，其周期为2π。
详细描述
正弦函数y=sin(x)的图像表现为一个波动曲线，每隔2π重复一次，即f(x+2πn)=f(x)，其中n为任意整数。
振幅与相位
总结词
正弦函数的振幅为1，相位直接影响函数图像的起始位置。
详细描述
正弦函数的振幅为1，即|sin(x)|=1。同时，相位是影响正弦 函数图像起始位置的重要因素，通过改变相位，可以使得函 数图像向左或向右平移。
三角函数的应用
三角函数在电路分析中的应用
01
交流电的电压、电流和功率的计算
02
变压器和电感器的分析和设计
电路的频率响应和稳定性分析
03
三角函数在波动分析中的应用
波的传播和反射 波的叠加和干涉 波的调制和解调
三角函数在信号处理中的应用源自01信号的采样和量化
02
信号的压缩和编码
03
信号的滤波和还原
05
零点与极点
总结词
零点确定函数图像与x轴交点，极点确定函数图像的对称轴。
详细描述
正弦函数的零点是函数值为0的点，即sin(x)=0的解。极点是函数值取得最值（最大值或最小值）的点，即 sin(x)=±1的解。这些点在函数图像中具有重要的意义，可以用来确定函数图像与x轴的交点以及对称轴的位置 。

01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。

（2） 电压值重复出现一次的时间间隔；
（3） 电压的最大值和第一次取得最大值的时间.
探究二 三角函数模型在生活中的应用 例2 如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟， 其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮， 那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻 开始计时，请回答下列问题：
（1） 作出函数的图象； [答案] 函数的图象如图所示.
（3） 当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置的位移是多少?
（4） 单摆来回摆动一次需要多长时间?
解题感悟 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单 摆的运动等有关问题考查的最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置 等物理概念的意义和表示方法.
5.7三角函数的应用
学习目标
1．会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问
题．
2．能将某些实际问题抽象为三角函数模型．
要点梳理
1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中
周期现象 的一种数学
模型，可以用来研究很多问题，在刻画
周期变化 规ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、预
测未来等方面发挥重要作用．
[激趣诱思] 江心屿,位于浙江省温州市区北面瓯江中游,属于中国四大 名屿.该屿风景秀丽,东西双塔凌空,映衬江心寺,历来被称 为“瓯江蓬莱”. 江心寺为全国32所观音道场之一,分前、中、后三殿,殿内槛联匾额,琳琅 满目.寺院大门两边有一著名的叠字联: “云朝朝,朝朝朝,朝朝朝散;潮长长,长长长,长长长消 (念‘yúnzhāocháo,zhāozhāocháo,zhāocháozhāosàn;cháochángzhǎng, chángchángzhǎng,chángzhǎngchángxiāo’).”该对联巧妙地运用了叠字 诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.

A
cos A AD 3 AD 3 2 3 3
AC 2
2
D
B
tan B CD 3 BD 2
BD
3 2 2 3
AB AD BD 3 2 5
9
练习
1. 求下列各式的值：
（1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（3）
1
cos 60 sin 60
60°
3 2
1 2
3
5
例1求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
（2）
cos 45 sin 45
tan
45
(3)tan450.sin450-4sin300.cos450+cos2300
解： （1） cos260°＋sin260°
1 2
2
2
3 2
＝1
（2）
cos 45 sin 45
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正） 对于cosα，角度越大，函数值越小。
14
B
求∠A、∠B的度数．
7
解： 由勾股定理
A
C
21
2
2
AB AC2 BC2 21 7 28 2 7
sin A BC 7 1 AB 2 7 2
∴ A=30°
∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
12
1?
sin 230 +tan 245 +sin 260 cos 245 +tan30 cos30
米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

于点 D，则下列结论不正确的是( C )
A．sin B＝AADB C．sin B＝AADC
B．sin B＝ABCC D．sin B＝CADC
感悟新知
知1－练
2．如图，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC
＝8，则 sin A 等于( A )
3
4
3
4
A.5
B.5
C.4
D.3
感悟新知
知识点 2 余弦函数
知2－导
如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫
做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
cosA=
A的邻边 斜边
AC AB
b. c
感悟新知
知识点
例2 求例1中∠A的余弦函数值、正切函数值.
解：
cos A AC 12 , AB 13
tan A BC 5 . AC 12
B．cos A＝1123 D．tan B＝152
感悟新知
知识点 3 锐角三角函数的取值范围
知3－导
1.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数． 要点精析：在锐角三角函数的概念中，∠A是自变量，其取值范 围是0°＜∠A＜90°.三个比值是因变量，当∠A确定时，三个比 值 (正弦、余弦、正切)分别唯一确定，因此，锐角三角函数是以 角为自变量，以比值为因变量的函数．
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
第2课时
锐角的三角函数—— 正弦与余弦
学习目标
1 课时讲解 正弦函数、余弦函数、
锐角三角函数的取值范围
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 正弦函数

这些公式通过角度的加、减、乘、除和周期性，将任意角度的三角函数转换为基 本角度（0度、90度、180度、270度、360度）的三角函数。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。

②化简题：一定要在有意义的前提下进行。 ③证明问题。
16
17
25 5
tan sin 4 5 4 cos 5 3 3
当 是第二象限角时，cos 0
cos 9 3
25 5
tan sin 4 ( 5) 4 cos 5 3 3
6
变式2、已知tan 3，求sin,cos的值
解：tan sin
{ cos
sin 3
sin 2 3
cos { 1sin2 ,当是一、四象限时 1sin 2 ，当是二、三象限时 8
2、公式 sin tan 的特点 cos
变形：
cos sin tan
由正弦正切，求余弦
sin cos tan 由余弦正切，求正弦
由正弦余弦，求正切 sin tan cos
注：
所得三角函数值的符号是由另外两个三角 函数值的符号确定的。
同角三角函数的基本关系式
1
y
一：温故知新
问题1. 如图1，设 是一个任意角， 它的
终边 与单位圆交于 P(x, y)，那么由三
角函数的定义可知：
sin y ； cos x ； tan
P
（x,y） 1
MO
A(1,0)
x
y x (x 0)
T
图1
问题2. 图1中的三角函数线是：
正弦线 MP ；余弦线 OM ；正切线 AT .
结论：对于任意角 ( R），都有 平方关系
sin2α cos2α 1
3
2.观察任意角 的三角函数的定义
sin y, cos x, tan y ,(x 0)
思考：
s
i
n、co
x
s、tan有什么样的关系呢？

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新知探究
特殊的45°角的三角函数值归纳如下：
45°
Hale Waihona Puke sin A22
cos A
2
2
tan A
1
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新知学习
特殊角的三角函数值：
sin A cos A tan A
30°
1 2
3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
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60°
3 2
1 2
3
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新知学习
观察表格中的数据，你发现有什么规律？
（1）由表中的数值变化知：正弦值、正切值随角度的增 大而增大，余弦值随角度的增大而减小. （2）sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°， 进而由定义 可知 sin α=cos (90°－α)，
cos α=sin (90°－α). （3）锐角A的正弦、余弦的取值范围分别为： 0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1.
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例题讲解
例1 求下列各式的值.
(1)cos2 60 sin2 60; (2) cos 45 tan 45. sin 45
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新知探究
问题2：等腰直角三角形的锐角是多少度？它有 哪些性质？

1
∠ 的对边 ＝
＝ .

2
斜边
A
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管.
C
知识讲解
1.正弦
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计
算∠A的对边与斜边的比
A
BC
AB
，你能得出什么结论？
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°
时，不管这个直角三角形的大小如何，这
数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦
、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”；
3.sinA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序,且在直角
三角形中sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角
切比3，分子根号别忘添.
30°，45°，60°角的正切值可以看成是 3， 9 ， 27.
当A、B为锐角时，
若A≠B，则
sinA≠sinB，
cosA≠cosB，
tanA≠tanB.
知识讲解
注意
1.从函数角度理解∠A的锐角三角函数：把∠A看成自
变量，其取值范围是0°<∠A<90°，sinA，cosA，
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,
那么∠ A 的对边与斜边的比、邻
边与斜边的比都是一个定值.
B
斜
边
A
∠A的邻边
∠A的对边
┌
C
知识讲解
归纳：
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜
边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.

斜边c
B ∠A的对边a
sin A= ∠A的对边
斜边
A ∠A的邻边b C
∠A的邻边
cos A=
斜边
tan A= ∠A的对边 ∠A的邻边
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
已知直角三角形两边求锐角三角函数的值
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，
即tan A＝ a . b
B
斜边c
∠A的对边a
A
┌ ∠A的邻边b C
再见
在Rt△ABC中，∠C＝90°锐角正弦的定义
斜边 A
B
∠A的对边
┌
C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° 我们把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
B
斜边 ∠A的对边
┌ A ∠A的邻边 C
例1 如图,在 Rt△ABC 中，∠C =90°,AB=10,BC=6,求
sin A, cos A,tan A的值.
tanA的值. 解：由勾股定理,得
B 10
6
A
C
因此 sin A BC = 6 = 3， AB 10 5
cos A AC 8 4 , tan A BC = 6 = 3 .
AB 10 5
AC 8 4
利用勾股定理求三角函数值方法
已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路 是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值； 当所涉及的边是未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的 长度，然后根据定义求锐角三角函数值．
课堂练习
1. 如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则
1

cosθ = 邻边/斜边
正切函数
tanθ = 对边/邻边
余切函数
cotθ = 邻边/对边
正割函数
secθ = 斜边/邻边
余割函数
cscθ = 斜边/对边Fra bibliotek 三角函数的性质
01
02
03
04
周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切、余切函数周期为π
奇偶性
正弦、正切、余割为奇函数， 余弦、余切、正割为偶函数
有界性
证明问题
利用诱导公式证明三角恒等式
通过角度的变换和诱导公式的应用，可以将一些复杂的三角 恒等式转化为简单的等式进行证明。
利用诱导公式证明几何定理
在几何问题中，经常需要利用三角函数来解决。通过诱导公 式的应用，可以将几何问题转化为三角函数的计算问题，从 而证明几何定理。
解方程问题
利用诱导公式解三角方程
复变函数中三角函数的性质
复变函数中三角函数的应用
探讨了复变函数中三角函数的性质，如周 期性、奇偶性、可微性等，并与实数域中 的性质进行了比较。
举例说明了复变函数中三角函数在解析函 数、微分方程等方面的应用，展示了其在 复数域中的独特作用。
感谢观看
THANKS
教学内容与方法
教学内容
三角函数诱导公式的推导 过程、记忆方法和应用举 例。
教学方法
采用讲解、示范、练习等 多种方式进行教学，注重 学生的参与和互动。
教学手段
使用PPT课件、数学软件 等辅助工具进行演示和讲 解，提高教学效果。
02
三角函数基本概念
三角函数的定义
正弦函数
sinθ = 对边/斜边
余弦函数
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可用于 计算建筑物的倾斜度、角度和高

问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜
边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
B
由 sin A BC 得 AB
BC AB sin A 6sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
α
A
C
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数
由于
B
cos a AC 2.4 0.4
AB 6
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
例题示范
例3： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° B
1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA
2.求证：tan A sin A ;tan A 1
cos A
tan B
3.求证：sin2 A cos2 A 1
A
C
sin2 A sin A sin A
如图，Rt△ABC中，直角边AC、BC小于斜边AB，
sin A BC ＜1
AB
sin B AC AB
＜1
A
C
所以0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, 如果∠A ＜ ∠B,则BC＜AC , 那么0＜ sinA ＜sinB ＜1
探究
精讲
如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，当锐角A确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确 定，此时，其他边之间的比 是否也确定了呢？为什么？