3．3.1二元一次不等式(组)与平面区域(一)明目标、知重点 1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax ＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．[情境导学]上节我们用一元二次不等式表示了生活中一种量的不等关系，在现实生活和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，怎样表示现实生活中存在的一些不等关系？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一二元一次不等式(组)的有关概念问题一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？思考1 假设信贷部用于企业投资的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元．那么x 和y 应满足哪些不等关系？答 分析题意，我们可得到以下式子 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25 000 000，12x ＋10y ≥3 000 000，x ≥0，y ≥0.思考2 思考1中得出的不等关系有什么特点？答 未知数x 和y 要同时满足4个不等式组成的不等式组，每一个不等式最多含有两个未知数，并且未知数的次数是1次．小结 (1)我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；(2)我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组；(3)满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(x ，y )，所有这样的有序数对(x ，y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．思考3 有序实数对可以看成直角坐标系内点的坐标．二元一次不等式(组)的解集可以看成什么？答 可以看成直角坐标系内的点构成的集合． 探究点二 二元一次不等式表示的平面区域思考1 在平面内画一条直线x －y ＝6，这条直线将平面分为几个部分？答 在直角坐标系中，所有点被直线x －y ＝6分成三类：一类是在直线x －y ＝6上的点；二类是在直线x －y ＝6左上方的区域内的点；三类是在直线x －y ＝6右下方的区域内的点． 思考2 如下图，设点P (x ，y 1)是直线上的点，选取点A (x ，y 2)满足不等式x －y <6.你能完成下面的表格吗？横坐标x －3 －2 －1 0 1 2 3 点P 的纵坐标y 1 点A 的纵坐标y 2答横坐标x－3－2－10123点P的纵坐标y1－9－8－7－6－5－4－3点A的纵坐标y2>－9>－8>－7>－6>－5>－4>－3思考3当点A与点P有相同的横坐标时，他们的纵坐标有什么关系？直线l左上方点的坐标与不等式x－y<6有什么关系？直线l右下方点的坐标呢？答当点A与点P有相同的横坐标时，点A的纵坐标大于点P的纵坐标．即x－y2<6.在直角坐标系中，以二元一次不等式x－y<6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式x－y<6.因此，在直角坐标系中，不等式x－y<6表示直线x－y ＝6左上方的平面区域．类似地，不等式x－y>6表示直线x－y＝6右下方的平面区域．小结一般地，在直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，表示区域不包括边界．而不等式Ax＋By＋C≥0表示区域时则包括边界，把边界画成实线．思考4如何判断二元一次不等式表示哪个平面区域？答对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得符号都相同，所以只需在直线的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号确定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．例1画出x＋4y<4表示的平面区域．解先作出边界x＋4y＝4，因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋4y－4，因为0＋4×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方．如下图所示．反思与感悟画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是，当C≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点．跟踪训练1不等式x－2y＋6>0表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的()A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方答案B解析在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，观察图象知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B.例2用平面区域表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y<－3x＋12，x<2y的解集．分析由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分．解不等式y<－3x＋12即3x＋y－12<0，表示的平面区域在直线3x＋y－12＝0的左下方；不等式x<2y即x－2y<0，表示的是直线x－2y＝0左上方的区域．取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集．反思与感悟在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．跟踪训练2画出下列不等式组所表示的平面区域．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x－2y≤3，x＋y≤3，x≥0，y≥0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x－y<2，2x＋y≥1，x＋y<2.解(1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方区域；x ≥0表示y 轴及其右边区域； y ≥0表示x 轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．(2)x －y <2，即x －y －2<0，表示直线x －y －2＝0左上方的区域； 2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方区域； x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方区域． 综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示．1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)答案 D解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内，故选D.2．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6>0，x <0.B.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0.C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6>0，x ≤0.D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6<0，x <0. 答案 C解析 观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2上方，且不包含直线y ＝－2，故可得不等式y >－2.又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0，故可得不等式x ≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)、点(0,3)，故可得直线3x －2y ＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O (0,0)在阴影部分，故可得不等式3x －2y ＋6>0.观察选项可知选C.3．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6) B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案 A解析 由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0， 即(a ＋1)(a －6)<0，∴－1<a <6.4．画出下面二元一次不等式表示的平面区域． (1)x －2y ＋4≥0；(2)y >2x . 解 (1)画出直线x －2y ＋4＝0，∵0－2×0＋4＝4>0，∴x －2y ＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界． (2)画出直线y －2x ＝0， ∵0－2×1＝－2<0，∴y －2x >0(即y >2x )表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．[呈重点、现规律]1．对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B >0时，(1)Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；(2)Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．一、基础过关1．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k＝73.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x＋3y≤12，x－y>－1，y≥0表示的平面区域内整点的个数是()A．2个B．4个C．6个D．8个答案C解析画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(3,0)共6个．3．直线2x＋y－10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个答案B解析画出可行域如图阴影部分所示．∵直线过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0)．4．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的平面区域为()答案B解析不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x－y>0，x＋2y－2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x－y<0，x＋2y－2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.5．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．答案－1<a≤0解析根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，a＋1≤0，无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a＋1>0，∴－1<a≤0.综上所述，－1<a≤0.6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤1，x－y≤1，－x＋y≤1，－x－y≤1表示的平面区域的形状为_____________________________．答案正方形解析如图所示的阴影部分，不等式组表示的平面区域是边长为2的正方形．7．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y>0，x＋y－3<0表示的平面区域．解不等式x>0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集合(不含边界)．不等式y>0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含边界)．不等式x ＋y －3<0表示直线x ＋y －3＝0左下方的点的集合(不含边界)． 所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．8．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域．解 先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O (0，0)，代入x －y ＋5，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x －y ＋5>0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合． 所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分． 二、能力提升9．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( ) A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min ＝4. 10．下列平面区域所对应的二元一次不等式(组)分别为：(1) (2)(3)(1)___________________；(2)___________________；(3)____________________．答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，－1≤y ≤1；(2)x ＋y ≤1；(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y >0，x ≤1.11．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数m 的值为________．答案 －3解析 由点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离d ＝|4m －9＋1|5＝4，得m ＝7或m ＝－3.又点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，当m ＝－3时，点P 的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m ＝7时，点P 的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去．综上，m ＝－3.12．在△ABC 中，A (3，－1)、B (－1,1)、C (1,3)，写出△ABC 区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组．解如图所示，可求得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0,2x ＋y －5＝0. 由于△ABC 区域在直线AB 右上方，∴x ＋2y －1≥0；在直线BC 右下方，∴x －y ＋2≥0；在直线AC 左下方，∴2x ＋y －5≤0.∴△ABC 区域可表示为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.三、探究与拓展13．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，y ≥2，6x ＋7y ≤50的整数解．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．把x ＝3代入6x ＋7y ≤50，得y ≤327，又∵y ≥2， ∴整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；把x ＝4代入6x ＋7y ≤50，得y≤26，7∴整点有(4,2)，(4,3)．，把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤207∴整点有(5,2)；把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤8，与y≥2不符．7∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．。
