2019-2020人教A版数学必修1专题强化训练(五) 三角函数

专题强化训练(五) 三角函数

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．已知角θ的终边上一点P(a，－1)(a≠0)，且tan θ＝－a，则sin θ的值是( )

A．±22 B．－22

C.22 D．－12

B [由题意得tan θ＝－1a＝－a，

所以a2＝1，

所以sin θ＝－1a2＋－12＝－22.]

2．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

C

[设扇形的半径为r，中心角为α，

根据扇形面积公式S＝12lr得6＝12×6×r，所以r＝2，

所以α＝lr＝62＝3.]

3．将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )

A．y＝sin12x B．y＝sin12x－π2

C．y＝sin12x－π6 D．y＝sin2x－π6

C [函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y＝sin12x－π3，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到函数y＝sin12x＋π3－π3＝

sin12x－π6.]

4．函数y＝cos2x－π12＋sin2x＋π12－1是(

)

A．最小正周期为2π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为π的奇函数

D．最小正周期为2π的偶函数

C [y＝1＋cos2x－π62＋1－cos2x＋π62－1

＝12cos2x－π6－12cos2x＋π6

＝12 cos 2xcosπ6＋sin 2xsinπ6－cos 2xcosπ6

＋sin 2xsinπ6＝12sin 2x，

∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．]

5．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

A.kπ－14，kπ＋34，k∈Z

B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z

C.k－14，k＋34，k∈Z

D.2k－14，2k＋34，k∈Z

D [由图象知，周期T＝254－14＝2，

∴2πω＝2，∴ω＝π.

由π×14＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π4，

∴f(x)＝cosπx＋π4.

由2kπ<πx＋π4<2kπ＋π，得2k－14

∴f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z.故选D.]

二、填空题

6．已知sin α＝13，且α是第二象限角，那么cos(3π－α)的值为________．

223 [cos(3π－α)＝－cos α＝－(－1－sin2α)＝1－132＝223.]

7．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________.

4 [观察图象可知

函数y＝sin(ωx＋φ)的半个周期为π4，

所以2πω＝π2，ω＝4.]

8．若α、β为锐角，且满足cos α＝45，cos(α＋β)＝513，则sin β＝________.

3365 [∵α、β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．

由cos α＝45，求得sin α＝35，

由cos(α＋β)＝513求得sin(α＋β)＝1213，

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝1213×45－513×35＝3365.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝2sin2x＋π3＋1

(1)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时x的值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

[解] (1)当2x＋π3＝2kπ＋π2，取x＝kπ＋π12(k∈Z)时，f(x)max＝3.

(2)当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，

即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12时，函数f(x)为增函数．

故函数f(x)的单调递增区间是kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．

10．已知函数f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若π4＜α＜π2，且f(α)＝－5213，求sin 2α的值．

[解] (1)因为f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x，

所以f(x)＝sin 2x－sin2x＋cos2x

＝sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π4，

所以函数f(x)的最小正周期是π.

(2)f(α)＝－5213，即2sin2α＋π4＝－5213，

sin2α＋π4＝－513.

因为π4＜α＜π2，所以3π4＜2α＋π4＜5π4，

所以cos2α＋π4＝－1213，

所以sin 2α＝sin2α＋π4－π4

＝22sin2α＋π4－22cos2α＋π4＝22×－513－22×－1213＝7226.

[等级过关练]

1．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f23π6＝( )

A.12 B.32

C．0 D．－12

A [∵f(x＋π)＝f(x)＋sin x，

∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.

∴f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)．

∴f(x)是以2π为周期的周期函数．

又f23π6＝f4π－π6＝f－π6.

f－π6＋π＝f－π6＋sin－π6，

∴f5π6＝f－π6－12.

∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f5π6＝0，

∴f23π6＝f－π6＝12.故选A.]

2．已知函数f(x)＝－2tan(2x＋φ)(|φ|＜π)，若fπ16＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是( )

A.3π16，11π16 B.π16，9π16

C.－3π16，5π16 D.π16，5π16

A [由fπ16＝－2得－2tanπ8＋φ＝－2，

所以tanπ8＋φ＝1，又|φ|＜π，

所以φ＝π8，f(x)＝－2tan2x＋π8，

令kπ－π2＜2x＋π8＜kπ＋π2，k∈Z得

kπ2－5π16＜x＜kπ2＋3π16，k∈Z.

可得f(x)的单调递减区间是kπ2－5π16，kπ2＋3π16，k∈Z

令k＝1，可得f(x)的一个单调递减区间是3π16，11π16.]

3．函数y＝2＋cos x2－cos x(x∈R)的最大值为________．

3 [由题意有y＝42－cos x－1，因为－1≤cos x≤1，所以1≤2－cos x≤3，则43≤42－cos x≤4，由此可得13≤y≤3，于是函数y＝2＋cos x2－cos x(x∈R)的最大值为3.]

4．函数f(x)＝sin 2xcos x1－sin x的值域为________．

－12，4 [f(x)＝2sin xcos2x1－sin x＝2sin x1－sin2x1－sin x

＝2sin x(1＋sin x)

＝2sin x＋122－12，

由1－sin x≠0得－1≤sin x＜1，

所以f(x)＝sin 2xcos x1－sin x的值域为－12，4.]

5．已知函数f(x)＝a(cos2x＋sin xcos x)＋b.

(1)当a＞0时，求f(x)的单调递增区间；

(2)当a＜0且x∈0，π2时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．

[解] f(x)＝a·1＋cos 2x2＋a·12sin 2x＋b

＝2a2sin2x＋π4＋a2＋b.

(1)2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)，即x∈kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z，

故f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.

(2)0≤x≤π2，π4≤2x＋π4≤5π4，

－22≤sin2x＋π4≤1，

f(x)min＝1＋22a＋b＝3，f(x)max＝b＝4，

∴a＝2－22，b＝4.