人教版A版高中数学必修4_三角函数知识点例题
- 格式：doc
- 大小：687.00 KB
- 文档页数：7
三角函数知识点总结⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．{符号看象限，就是把α看作是某一个锐角（例如30°、45°、60°之类），然后π+α、π-α、-α就看作是π与这个锐角相加减或者相反后的角，然后根据这个角在第几象限，来判断三角函数的正负。
例如把α看作是30°，所以π+α为210°第三象限角，所以sin 为负、cos 为负、tan 为正，也就是诱导公式二了。
结论：当把把α看作是某一个锐角时，π+α、π-α、-α就分别为第三、第二、第四象限角了，又例如：sin （3π+α）先化成sin 【2π+（π+α）】，再化成sin （π+α），因为π+α第三象限角，而第三象限角的sin 为负，所以sin （π+α）=-sin α，用等式表示为sin （3π+α）=sin 【2π+（π+α）】=sin （π+α）=-sin α}()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．（这里的符号看象限，跟上面的一样道理，不同的是π减小到一半而已，其他没变，同样把α看作是某一个锐角，然后来判断）三角函数的图象与性质※※※ 知识点归纳一、三角函数的图象与性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =； 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．函 数 性 质2、正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个关键点是： (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度要求不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握。
优点是方便，缺点是精确度不高。
二、函数y A x =+sin()ωϕ的图象1、由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ωϕ的图象。
有两种主要途径： “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一：先平移后伸缩y x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()()()||向左或向右平移个单位ϕϕϕϕ00横坐标变为原来的倍纵坐标不变1ωωϕ−→−−−−−−−=+y x sin()纵坐标变为原来的倍横坐标不变A y A x −→−−−−−−−=+sin()ωϕ法二：先伸缩后平移y x=−→−−−−−−−sin 横坐标变为原来的倍纵坐标不变1ωy x y x =−→−−−−−−−=+><sin sin()()()||ωωϕϕϕϕω向左或向右平移个单位00纵坐标变为原来的倍横坐标不变A y A x −→−−−−−−−=+sin()ωϕ注意：第一种方法平移||ϕ个单位，第二种方法平移||ϕω个单位。
原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的。
因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则必然会出现错误。
2、函数y A x =+sin()ωϕ[)+∞∈,0x 其中)0,0(>>ωA 的物理意义：函数yA x =+sin()ωϕ[)+∞∈,0x 其中)0,0(>>ωA 表示一个振动量时：A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”. T ：. 2T 间，称为“周期”往复振动一次所需的时ωπ=f ：. 2T 1次数，称为“频率”单位时间内往返振动的πω==f :ϕω+x ：称为“相位” .ϕ：x =0时的相位，称为“初相”.※※※ 例题选讲例1、函数y =的定义域。
解：由tan 0x -≥ 得tan x ≥(),32k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，例2、求函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2πx y 的单调递减区间． 解：由)(,2234222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ解得)(,858Z k k x k ∈+≤≤+ππππ； 函数的递减区间为)(,85,8Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；例3、用两种方法将函数y x =sin 的图象变换为函数y x =+sin()23π的图象。
分析1：x x x →+→+ππ323解法1：y x=−→−−−−−sin 向左平移个单位π3 y x =+−→−−−−−−−sin()π312横坐标缩短到原来的纵坐标不变y x =+sin()23π分析2：x x x x →→+=+22623()ππ解法2：y x=−→−−−−−−−sin 横坐标缩短到原来的纵坐标不变12 y x=−→−−−−−sin 26向左平移个单位πy x x =+=+sin[()]sin()2623ππ 注意：在解法1中，先平移，后伸缩；在解法2中，，先伸缩，后平移。
表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的（即6π和3π），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。
※※※ 巩固练习1、已知ΔABC 中，125tan -=A ，则A cos 等于（ ）D A 、1312 B 、135 C 、135- D 、1312-2、化简)22cos()2sin(++-ππ的结果等于（ ）AA 、0B 、-1C 、23D 、23-3、下列等式中，恒成立的是（ ）C A 、)2cos()2sin(x x -=-ππB 、x x sin )sin(-=-πC 、x x sin )2sin(=+πD 、x x cos )cos(=+π 4、函数)(),42sin(3)(R x x x f ∈-=π的最小正周期为（ ）DA 、2πB 、πC 、π2D 、π4 5、函数)43sin(π-=x y 是图象的一个对称中心是（ ）BA ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,127π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,127π． D.⎪⎭⎫⎝⎛0,1211π． 6、在下列各区间中，函数y =sin （x ＋4π）的单调递增区间是（ ）BA.［2π，π］ B.［0，4π］ C.［－π，0］ D.［4π，2π］7、当函数1cos 2-=x y 取得最大值时，x 的取值为（ ）C A 、Z k k x ∈+=,22ππ B 、Z k k x ∈-=,22ππC 、Z k k x ∈=,2πD 、Z k k x ∈+=,2ππ8、函数)3x 2sin(3y π+=的图象可看作是函数x 2sin 3y =的图象，经过如下平移得到的，其中 正确的是（ ）.DA 、向右平移3π个单位B 、向左平移3π个单位 C 、向右平移6π个单位 D 、向左平移6π个单位 9、已知sin αcos α = 18,则cos α－sin α的值等于 （ ）BA 、±34 B 、±23 C 、23 D 、－2310、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是（ ）AA 、－43B 、43C 、－43D 、4311、函数)62sin()(π-=x x f 的单调递减区间是 。
