不等式知识的探究与延伸

不等式知识的探究与延伸

一、 不等式的一个重要性质

设m ，n 为正整数，若m>n ，则m 1+≥n

例1、己知正整数a ，b ，c ，d 满足a<2b ，3b<4c ，5c<6d ，7d<2003，则a 的最大值是

解 a ，b ，c ，d 为正整数且a<2b ，3b<4c ，5c<6d ，7d<2003，

∴286,200317≤≤+d d ∴d 的最大值为286．

又∴≤≤+343,615c d c c 的最大值为343

又b b c b ∴≤≤+457,413的最大值为457

又a a b a ∴≤≤+913,21的最大值为913.

二、 用不等式求最大值或最小值

在不等式a x ≤中x=a 是最大值，在不等式x ≥b ，x=b ，是最小值

例2、己知三个非负数a ，b ，c 满足3a 十2b 十c=5，2a 十b 一3c=1，若m=3a 十b 一7c 求m 的最大值和最小值

解： 3a 十2b 十c=5，2a 十b 一3c=1

∴3a 十2b=5-c(1)，2a 十b =1+3c(2)

（1）（2）式中消去含b 的项，得a=7c 一3（3）

（1）（2）式中消去含a 的项，得b=7一11c （4）

a ，

b ，

c 为非负数

可得0

0117037≥≥-≥-c c c 解得11773≤≤c 由m=3c-2可得m 的最大值为111-最小值为75- 三、 双向不等式的简捷解法

双向不等式aa 且y

若a

例3解不等式21423

x --<<- 解：原不等式等价于

212142033x x --⎛⎫⎛⎫++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

()()211250x x ∴++<

根据积的符号法则有:

(1)2110250x x +<⎧⎨+>⎩(2)2110250x x +>⎧⎨+<⎩

不等式（1）无解． 不等式（2）的解集是11522

x -

<<- 故原不等式的解集是11522x -<<- 四、 最佳方案的决策方法

我们知道运用数学知识解决实际问题的方法是：从实际问题中获取所需的信息---分析处理有关信息---将实际问题转化为数学问题---解答原实际问题．

例4、某学校刻录一批教学用的VCD 光盘，若要电脑公司刻录，每张需9元，（包括空白VCD 光盘费），若学校自刻，除学校租用刻录机需120元外，每张还需成本4元，（VCD 光盘费）问刻录这批VCD 光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由？

解：设需刻录x 张VCD 光盘，到电脑公司刻录需9x 元，则刻需（120十4x ）元．

当9x>120十4x 时，即x>24时，自刻费用省．

当9x=120十4x 时，即x=24时，到电脑公司与自刻费用一样．

当9x<120十4x 时即x<24时到电脑公司刻录费用省．