不等式的基本知识
一、解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式()0002
2
≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42
-=∆，则
不等式的解的各种情况如下表： 0>∆
0=∆
0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
一元二次方程
()的根
00
2
>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根
a
b x x 221-
==
无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}2
1
x x x x x ><或
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅
∅
2、标根法：其步骤是：
1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；
3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202
3
3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()
()
0()()0;0()0()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩
4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
二、线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：
关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解
三、基本不等式2
a b
ab +≤
1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.
2、如果a,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 变形： 有:a+
b ≥ab 2；ab ≤2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.
3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;
如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4
2
S .
注：
1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有： 12222211
a b a b ab a b
++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b m
a a m
+<
+（糖水的浓度问题）。
