1 第七节 函数的图象
考试要求：1．会画一些函数的图象，理解图象的作用．
2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
一、教材概念·结论·性质重现
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)．
最后：描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)函数图象平移变换八字方针
①“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
②“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
(2)对称变换
①f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称．
②f(x)与－f(x)的图象关于x轴对称．
(3)翻折变换
①|f(x)|的图象是将f(x)的图象中x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，x轴上方的图象不变．
②f(|x|)的图象是将f(x)的图象中x轴右侧的图象不变，再对称翻折到y轴的左侧．
(4)关于两个函数图象对称的三个重要结论
①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
③若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(5)函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
②函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于 2 直线x＝a＋b2对称．
(6)函数图象自身的中心对称
①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
②函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．
§2.7 函数的图象
最新考纲 考情考向分析
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 函数图象的辨析；利用函数图象研究函数性质；数形结合求解函数零点、不等式等，题型以选择题为主，中档难度.
1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数的解析式．(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)．(4)描点连线，画出函数的图象．
2．图象变换 (1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f (x)―――――――→关于x轴对称y＝－f (x)．
②y＝f (x)―――――――→关于y轴对称y＝f (－x)．
③y＝f (x)―――――――→关于原点对称y＝－f (－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)―――――――→关于y＝x对称y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①y＝f (x)――――――――――――――――――――――→a>1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0
②y＝f (x)―――――――――――――――――――→a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变0
(4)翻折变换
①y＝f (x)――――――――――――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f (x)|.
②y＝f (x)――――――――――――→保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f (|x|)． 概念方法微思考
1．函数f (x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f (x)解析式满足什么条件？
提示 f (a＋x)＝f (a－x)或f (x)＝f (2a－x)．
2．若函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f (x)，g(x)的关系是__________．
提示 g(x)＝2b－f (2a－x)
题组一 思考辨析
§2.6 函数与方程
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．
(2)函数有零点的几个等价关系：
方程f(x)＝0有实数根
⇔函数y＝f(x)的图象与x轴
⇔函数y＝f(x) ．
由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈ ，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)
自查自纠
1．(1)f(x)＝0 实数根 交点的横坐标
(2)有交点 有零点 零点 函数y＝f(x)
2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0
(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cosx B．y＝sinx
C．y＝lnx D．y＝x2＋1
解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A. 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解：易知函数f(x)＝2x＋x3－2单调递增，∵f(0)＝1－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f(x)在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B.
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第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一节 函数及其表示
一、基础知识
1．函数与映射的概念
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
关于分段函数的3个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．
考点一 函数的定义域
金榜题名 前程似锦 2 [典例] (1)(2019·长春质检)函数y＝ln1－xx＋1＋1x的定义域是( )
A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B.－1，－12
C．(－1,0) D.12，1
