定积分典型例题20例

§6.3定积分

【复习目标】

（1）通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念；会求简单的定积分。

（2）通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。

【重点难点】

定积分的几何意义；利用定积分性质化简被积函数；求定积分值。

【知识梳理】

（1）概念

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

In＝nif1＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：badxxf)(。

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做

被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

基本的积分公式：dx0＝ ；dxxm＝ （m∈Q， m≠－1）；

x1dx＝ ；dxex＝ ；dxax＝aaxln＋C；xdxcos＝ ；xdxsin＝ （表中C均为常数）。

（2）定积分的性质

①()bakfxdx （k为常数）；

②()()bafxgxdx ；

③bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中a＜c＜b)。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x＝a，x＝b（a

(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。

如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），

及直线x＝a，x＝b（a

S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝

。

【课前预习】

1.已知2()fxx,则与10()fxdx的值最接近的是（ ）

A．10111()1010iif B．100111()100100iif

- 1 - 定积分分部积分典型例题

定积分是数学中用来求不定积分的一个重要工具。定积分可以帮助我们简化不定积分的求解步骤，并让不定积分的计算变得更加容易。定积分本质上是在求一个函数下面围成的积分，该函数受到某个固定值的控制。因此，要求出定积分，我们必须首先确定它的上下限，然后使用不定积分法求得相应的积分值。

定积分的求解有很多方法，其中一种最常用的方法就是按照定积分的特殊形式来求解。只要按照定积分的特定形式，就可以得到定积分的解，而不必对函数进行求导或积分处理。

二、定积分典型例题

1.解：

$$int_{0}^{ pi/2 }sin(2x)dx$$

解：设$u=2x，du=2dx$，原式变为：

$$frac{1}{2}int_{0}^{pi}sin(u)du$$

由公式知，$int sin(u)du= -cos(u) + C$，

所以：

$$frac{1}{2}int_{0}^{pi}sin(u)du =

-frac{1}{2}cos(u)bigg|_0^{pi} = -frac{1}{2}(cos pi - cos 0) =

-frac{1}{2}(0 - 1) = frac{1}{2}$$

2.解：

$$int_{3}^{ 7} xsqrt{x^2 - 9}dx$$

解：设$u = x^2 - 9，du = 2x dx$，原式变为： - 2 - $$frac{1}{2}int_{3}^7 u^{frac{1}{2}}du$$

由公式知，$int u^{frac{1}{2}}du = frac{2}{3}u^{frac{3}{2}}

+ C$，

所以：

$$frac{1}{2}int_{3}^7 u^{frac{1}{2}}du =

frac{1}{3}u^{frac{3}{2}}bigg|_3^7 =

定积分试题及答案大学

# 定积分试题及答案

试题1： 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

答案： 首先，我们需要找到函数 \(f(x) = x^2\) 的原函数。对于这个函数，原函数是 \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\)。然后，我们计算在区间 \([0, 1]\) 上的定积分：

\[

\int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3}(1)^3 -

\frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}

\]

试题2： 求定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。

答案： 函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 的原函数是自然对数函数

\(F(x) = \ln|x|\)。计算定积分：

\[

\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = F(2) - F(1) = \ln(2) - \ln(1) =

\ln(2)

\]

试题3： 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx\)。

答案： 函数 \(f(x) = \sin(x)\) 的原函数是 \(-\cos(x)\)。计算定积分：

\[

\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) -

(-1) = 2

\]

试题4： 求定积分 \(\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx\)。

答案： 函数 \(f(x) = x^2 - 1\) 的原函数是 \(F(x) =

\frac{1}{3}x^3 - x\)。计算定积分：

\[

\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) dx = F(1) - F(-1) =

\left(\frac{1}{3}(1)^3 - 1\right) - \left(\frac{1}{3}(-1)^3 -

- 1 - 定积分的几何应用例题

定积分，又称定积分法，是一种求取特定函数积分的方法，它是集概率论、统计学和运筹学于一体，是微分几何学中的重要内容。它在微分几何中一般用来求取曲面积、表面积、空间积分、距离长度等。下面将介绍几个典型的定积分的几何应用例题，以便读者更好的理解定积分的几何应用。

例题一：求抛物线y=x2的截面积，其中抛物线两端上的y值分别为a和b。

答：这里的抛物线的截面积S=∫a b x2dx。因此，将原积分变形可得S=(1/3)∫a b (x3+a3-b3)dx，于是，将积分变量替换，此时，S=(1/3)[(b3-a3)/2]。

例题二：求圆柱体的体积，其中圆柱体的底面半径为a，高度为h。

答：首先，将圆柱体拆成无穷多个小圆柱体，那么，圆柱体的体积V=∫0 hπa2dh。将原积分变形可得V=πa2∫0 hdh=(πa2h2)/2，可见，圆柱体的体积大小取决于高度h和底面半径a的平方乘积。

例题三：求圆锥的表面积，其中圆锥的底面半径为a，高度为h，底面圆心角为2α。

答：此时，圆锥的表面积S=∫0 hΠa2sindαdh，将原积分变形可得S=Πa2∫0 hsindαdh=(2Πahcosα)/2，可以得出，圆锥的表面积大小取决于高度h、底面半径a以及底面圆心角2α

因此，定积分在几何学中具有重要意义，可以求出各类几何体的 - 2 - 表面积、体积等，解决实际问题。上面提供了典型的定积分的几何应用例题，可以让读者对定积分的几何应用有一个深入的理解。

定积分的计算方法广泛，不仅可以采用数值积分法，还可以采用把积分分解为若干小段然后求和的方法。同时，它还可以利用积分变量的变换，把定积分变为求解较为容易的积分，可以较好地解决实际问题。总之，定积分是一门极其重要的数学科学，在几何学和实际问题中都有重要的应用，使用正确的计算方法，可以较好地解决实际问题。