主要内容
※EKF的特点
※最小模型误差准则
※非线性预测滤波
※非线性预测卡尔曼滤波
※分段自调整加权的非线性预测滤波※总结
EKF的特点
EKF的优点
EKF是卡尔曼滤波在非线性系统中的扩展应用，其典型特征是在系统模型设计中采用状态空间表达式。
（1）适于对多维随机过程进行估计；
（2）算法具有递推性，便于在计算机上实现。
EKF的不足
EKF有效的前提条件是：
1）要求系统模型准确已知；
2）过程噪声被假设为协方差已知的零均值高斯白噪声过程。
在扩展卡尔曼滤波器的设计中，系统动态模型中存在的误差被作为过程噪声来处理，而且一般假定为零均值、协方差已知的高斯白噪声。然而，这种假设往往缺少理论根据，不能正确反映模型误差的真实特性，从而导致状态估计精度的下降，甚至使滤波器发散。
为了解决上述问题，Mook等人提出了一种新的最优估计准则，即最小模型误差准则（MME：Minimum Model Error）。
最小模型误差准则
最小模型误差准则
考虑某一系统的状态矢量的动态特性可被建模为
测量方程具有如下的离散形式
且测量噪声满足
考虑在存在建模误差的动态模型中增加修正项，此
时方程(1)被修改为
[]t t f t ),()(x x =&[])(),()(k k k k t t t h t v x y +={}0)(=k t E v {}kj j T
k R t t E δ=)()(v v （1）
（2）
[]()()t t G t t f t d x x
+=),()(&()t d ()t G 为模型误差矢量；为模型误差分配矩阵。
对于连续-离散系统
[]()()t t G t t f t d x x
+=),()(&[])
(),()(k k k k t t t h t v x y +
=最小模型误差估计的最优准则是，寻找满足协方差约束条件
的模型误差矢量的最小估计值。是时刻的测量噪声方差阵。在测量噪声是平稳随机过程的典型情况下，协方差约束条件可被描述为
[]{}[]{}k
T k k k k k k R t t x h t t t x h t ≈−−),(ˆ)(),(ˆ)(y y ()t d k R k t []{}[]{}R t t h t t t h t
M M k T
k k k k k k ≈−−∑=1),(ˆ)(),(ˆ)(1
x y x y （3）
指标函数：
[][][])()(2
1)(ˆ)()(ˆ)(21)(1t W t t t t t R t t t t t J T T d d y y y y d +∆+−∆+∆+−∆+=−由两项罚函数组成：
（1）测量残差的加权平方和；
（2）模型误差的加权平方和。
()t d ()()()t t t t t ∆+−∆+=y y e ˆ第一项用于权衡的比重，最小化此项使状态估计值趋近于真实测量值。加权矩阵选为测量噪声方差的逆，使准确的测量值（这时较小）比不准的测量值（这时较大）所占的比重大。
第二项反映了要使加入原始模型中的误差校正量达到最小。
()t e R R R ()t d
为半正定的模型误差加权矩阵。
两项罚函数之间的平衡依赖于的选取：
（1）当满足（3）式的协方差约束条件时，两项罚函数达到最佳平衡状态。
（2）如果减小，则模型误差校正量增大，使状态估值更加接近于测量值。
（3）如果增大，则模型误差校正量减小，使状态估计更加接近于原始状态传播模型。
W W W W W
两类解法
（1）MME非线性估计器
使指标函数达到最小的必要条件将导致一个两点边界值问题（TPBVP：Two-Point-Boundary-Value Problem），求解TPBVP，则状态估值与动态模型误差作为解的一部分被确定。MME估计器是一个批处理（离线）算法。
（2）非线性预测滤波器
借鉴预测跟踪方法的实现思想，基于测量矢量估计值的泰勒级数展开，Crassidis和Markley提出的一种求解最小模型误差准则的递推算法（实时）。
非线性预测滤波
李导数
给定一个光滑标量函数和一个维的向量场记
对的李（Lie ）导数是一个新的标量函数，定义为
λ()x λ()x f n ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∂∂=
n x x x d λλ
λλλL
2
1
x f ()()()()
x f x x f x
x ,λλ
λd L f =∂∂=函数对向量场的李导数实际上就是在向量场方向的变化率。
λf
李导数的运算可以重复进行。例如，先沿，后沿的李导数为
()x λ()x f ()x g ()()()
x g x x
∂∂=
λλf f g L L L 沿的次李导数定义为
()x λ()x f k ()()()()()x f x f x
x λλ
λ11−−=∂∂=k f
k f
k f
L d L L ()()
x x λλ=0f
L 此时
非线性预测滤波原理
（1）滤波器模型
[]()()t t G t t f t d x x
+=),()(&对于连续-离散系统
（4）（5）
[])
(),()(k k k k t t t h t v x y +=可建立滤波器模型[]()()t t G t t f t d x x
+=),(ˆ)(ˆ&（7）（8）
[]t t h t ),(ˆ)(ˆx y
=()t x
ˆ1×n 1×m ()t d 1×l ()t G l n ×是维状态矢量；是维模型误差矢量；是维的误差分配矩阵；是维测量矢量。)(ˆt y
