(8)
计算容积点经状态方程的传播:
X
∗ i,k
−1|k
−1
=
f ( X i,k −1|k −1)
(9)
计算状态预测:
2n
∑ Xˆ k|k −1 =
ωi
X
∗ i,k
−1|k
−1
i =1
方差开方矩阵的预测:
(10)
Sk|k −1
=
Tria
([
X
∗ k|k
−1
SQ ])
(11)
式中:Tria(·)表示对 M×N 阶(M﹤N)矩阵的转置矩阵进 行 QR 分解, 取 R 矩阵中前 M×M 部分, 再对获得 M×M 矩阵取转置。SQ 是状态噪声协方差矩阵 Qk 的 开方, 且有:
2 问题描述
考虑如下非线性非高斯模型:
X k +1 = f ( X k ) &+ Vk
(2)
式中:f 和 h 为非线性函数, Xk、Wk 为 n 维状态向量和
状态噪声, Zk、Vk 分别为 m 维量测向量和量测噪声, 状
态和量测噪声都为非高斯的且相互独立。
滤波目的是根据量测集{Z1, Z2,…, Zk}来求解 k 时 刻状态的后验分布 p(Xk|Z1, Z2,…, Zk), 进而求取状态 估计值 Xˆ k|k 和估计误差协方差 Pk|k 。具体可由如下递 推式表示:
在非高斯条件下, 高斯滤波器会导致很大误差甚 至发散。传统方法是采用 GSF 和 PF 算法, 其中 PF 利用大量的随机样本描述概率分布[10]。而传统 PF 采 用未含当前量测数据的状态转移先验分布作为重要 性密度函数, 引入较大的权重方差, 为克服这一问题, 文献[11-13]分别用 EKF、UKF 和 CKF 设计粒子重要 性密度函数, 由于融入了量测数据, 三种算法的滤波 精度都高于传统 PF。但由于都是在粒子滤波框架下推 导, 算法的计算量比传统 PF 要大, 对实时性要求较 高的情况很难满足应用需求。GSF 方法是基于高斯和 的理论, 采用多个相同滤波算法, 如 KF、EKF、UKF 或 PF, 作为子滤波器, 运用并行计算的方式来得到全 局滤波估计。GSF 方法一般采用较少的高斯项对非高 斯近似, 相比 PF 框架下 EPF、UPF 和 CPF 的计算量 要小很多。文献[14]在 GSF 框架下采用 KF 作为子滤 波器提出一种衰减记忆高斯和滤波(fading memory Gaussian sum filter, FMGSF), 由于算法采用 KF 作为 子滤波器, 对非线性情况无法处理。文献[1]推导了完 全非线性、非高斯情况下的 GSF, 分别采用 EKF、GHF 作为子滤波器, EKF 存在的问题使得 GSEKF 对非线 性程度高的非高斯情况滤波效果不好。文献[15]采用 均差滤波(divided difference filter, DDF)作为子滤波器, 改进了似然密度位于条件转移概率密度拖尾处时的 滤波精度, 与 GHF、UKF、CKF 相似, DDF 在每次滤 波过程中都存在对协方差矩阵开方操作, 矩阵的非正 定会导致算法的终止, 严重影响算法的稳定性。文献 [16]采用 PF 作为子滤波, 二者的结合会产生较大的计 算量。
