3．2 平面对量基本定理
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1．问题导航
(1)平面对量基本定理与向量的线性运算有何关系？
(2)在平面对量基本定理中为何要求向量e1，e2不共线？
(3)对于同一向量a，若基底不同，则表示这一向量a的实数λ1，λ2的值是否相同？
2．例题导读
P86例4.通过本例学习，学会应用平面对量基本定理解决实际问题．
试一试：教材P87习题2－3 A组T7你会吗？
P86例5.通过本例学习，学会用已知向量表示其他向量．
试一试：教材P87习题2－3 A组T5，T6你会吗？
1．平面对量基本定理
(1)定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底．
2．三点共线的充要条件
平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β，使得OA→＝αOB→＋βOC→.其中α＋β＝1，O为平面内任意一点．
1．推断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内全部向量的基底．( )
(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内全部向量．( )
(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.( )
解析：(1)错误．依据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．
(2)正确．依据平面对量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示．
(3)错误．当e1与e2共线时，结论不肯定成立．
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内全部向量基底的是( )
A.AB→，DC→ B.AD→，BC→
第二章 平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
[A组 学业达标]
1．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下面关于向量a，b的判断正确的是( )
A．a与b一定共线
B．a与b一定不共线
C．a与b垂直
D．a与b中至少有一个为0
解析：由平面向量基本定理可知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.
答案：B
2.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP→＝aOP1→＋bOP2→，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足 (
)
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0，b<0.
答案：B
3．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有
( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②
解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2 ＝0时，这样的λ有无数个．故选B.
答案：B 4．在△ABC中，点D在BC边上，且BD→＝2DC→，设AB→＝a，AC→＝b，则AD→可用基底a，b表示为 ( )
A.12(a＋b) B.23a＋13b
C.13a＋23b D.13(a＋b)
解析：∵BD→＝2DC→，∴BD→＝23BC→.
1 2.1平面向量的实际背景及基本概念（第一课时）
龙宝中学 李连代
教学目标：
知识与技能：
了解向量的物理背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
过程与方法：
经历类比方法的学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生感受向量的概念，方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣。
重点：
理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念、会表示向量。
难点：
向量的相关概念，平行向量
学法指导：
探究式和类比式学习
教学设计：
章头图解释
重庆实施畅通重庆以来，万州的高速的得到突飞猛进的发展，这是渝宜高速路上的一张图片，加入你开着一辆小车行驶在这条路上，看到路标，你想到了什么？
T:这就是本章所研究的——平面向量，平面向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，就像图中的高速路一样，是解决几何问题的高速路，本章主要研究5个方面的内容，下面我们听着音乐带着问题进入今天的课堂。
展示课题——2.1平面向量的实际背景及基本概念学案（第一课时） 2
一、向量概念的形成
1、让学生感受引入概念的必要性
引子： 新华网东京3月30日电：日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能落入日本境内的朝鲜发射物。不考虑其他因素，导弹击中拦截目标取决于导弹运行的路程还是位移？
意图：向量概念不是凭空产生的．用这一简单、直观例子中的“位移不仅有大小，而且有方向”，让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容．
S:位移
T;路程和位移的区别？（根据物理知识学生容易回答）
T：问题1： 你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？
意图：激活学生的已有相关经验．
（学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量．）
6．1 平面向量的概念
考点
学习目标
核心素养
平面向量的相关概念 了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念 数学抽象
平面向量的几何表示 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念 数学抽象
相等向量与共线向量 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念 数学抽象、逻辑推理
问题导学
预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
3．两个向量(向量的模)能否比较大小？
4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB→与向量BA→是相等向量吗？
1．向量的概念及表示
(1)概念：既有大小又有方向的量．
(2)有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB→．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段AB→的长度，记作|AB→|.
(3)向量的表示
■名师点拨
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
(2)用有向线段表示向量时，要注意AB→的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．
2．向量的有关概念
(1)向量的模(长度)：向量AB→的大小，称为向量AB→的长度(或称模)，记作|AB→|．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b.
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．
(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.
■名师点拨
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
